3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 第2课时　基本计数原理的应用 知识点一　数字排列问题 1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25 B．20 C．16 D．12 答案：C 解析：分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16. 2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 答案：B 解析：①当从0，2中选取2时，先排2，再排从1，3，5中选出的两个数字，共有2×3×2＝12个奇数；②当从0，2中选取0时，0必须排在十位，从1，3，5中选出的两个数字排在个位和百位，共有3×2＝6个奇数．由分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数． 3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个． 答案：36 解析：解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36. 解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36. 4．用0，1，2，3，…，9这十个数字： (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 解：(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以可以组成9×10×10＝900个三位数． (2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以可以组成9×9×8＝648个无重复数字的三位数． (3)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有9×9＝81个，三位自然数有4×9×8＝288个． 所以可以组成10＋81＋288＝379个小于500且无重复数字的自然数． 知识点二　选取问题 5．现有A，B两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作A种机床．现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 答案：C 解析：分两类：第一类，不选丙，有2×1＝2种选派方法；第二类，选丙，再从甲、乙两人中选一人，有1×2＝2种选派方法．故共有2＋2＝4种不同的选派方法． 6．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各1人，共有多少种不同的选法？ 解：由题意，可得此外语组有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．若既会英语又会日语的人未被选中，则有6×2＝12种选法；若既会英语又会日语的人被选中，则有6＋2＝8种选法．所以共有12＋8＝20种不同的选法． 知识点三　涂色问题 7.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色．现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为________． 答案：720 解析：第一步，涂陕西，有5种选择；第二步，涂湖北，有4种选择；第三步，涂安徽，有4种选择；第四步，涂江西，有3种选择；第五步，涂湖南，有3种选择．根据分步乘法计数原理，共有5×4×4×3×3＝720种不同的涂色方案． 8．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 解：依题意，可分两类： 第一类，①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，完成这件事分为四步： 第一步，涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步，涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步，涂③，与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 由分步乘法计数原理得，不同的涂色方法有5×4×3×2＝120种． 第二类，①④同色，则①②③不同色，完成这件事分成三步： 第一步，涂①④，有5种涂法；第二步，涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 由分步乘法计数原理得，不同的涂色方法有5×4×3＝60种． 综上可知，共有120＋60＝180种不同的涂色方法． 一、单项选择题 1．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为(　　) A．40 B．48 C．52 D．60 答案：B 解析：先从四对双胞胎中选出一对，有4种选法，然后从剩下的6人中选出2人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中各选出1人，共有3×2×2＝12种选法．根据分步乘法计数原理，共有4×12＝48种选法．故选B. 2．从1，3，5，7，9这五个数字中，每次取出两个不同的数字分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 答案：C 解析：分两步完成：第一步，取数字a，有5种不同的取法；第二步，取数字b，有4种不同的取法．所以可以得到5×4＝20个不同的差式lg a－lg b，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值有18个． 3．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有(　　) A．60种 B．40种 C．20种 D．10种 答案：C 解析：设五名护士分别为A，B，C，D，E.其中两人拿到自己的外衣，可能是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况，假设A，B两人拿到自己的外衣，则C，D，E三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取D，D取E，E取C或C取E，D取C，E取D两种情况．所以根据分步乘法计数原理，知有10×2＝20种情况． 4．某密码由4位数字组成，密码组成的数字中，若最大数字与最小数字之差为1，则称为“好”四位密码．例如6556中最大的数字是6，最小的数字是5，它们的差为1，就是一个“好”四位密码，但0561，4444这两个四位密码就不是．则这样的“好”四位密码的个数为(　　) A．119 B．126 C．135 D．144 答案：B 解析：设最大数字为a，最小数字为a－1，a＝1，2，…，9，于是由a和a－1这两种数字组成的四位密码有24－2＝14个，又共有9种取a和a－1的情况，从而共有9×14＝126个这样的“好”四位密码．故选B. 5．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域(A，B，C，D，E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法共有(　　) A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种 答案：D 解析：分四步：①对于区域C，有7种颜色可选；②对于区域A，与区域C相邻，有6种颜色可选；③对于区域B，与区域A，C相邻，有5种颜色可选；④对于区域E，D，若E与A颜色相同，区域D有5种颜色可选，若E与A颜色不相同，区域E有4种颜色可选，区域D有4种颜色可选，则区域E，D有5＋4×4＝21种选择．综上所述，不同的涂色方法共有7×6×5×21＝4410种． 二、多项选择题 6．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著．回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是(　　) A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个 C．2n(n∈N＋)位回文数有10n个 D．2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个 答案：BD 解析：据题意，对于四位回文数，有1001，1111，1221，…，1991，2002，2112，2222，…，2992，…，9009，9119，9229，…，9999，共90个，故A错误，B正确；对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，…，第n位和第n＋1位有10种选法，则共有9×10×10×…×10＝9×10n－1种选法，故C错误；对于2n＋1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，…，第n＋1位数字，即最中间的数字有10种选法，则共有9×10×10×…×10＝9×10n种选法，即2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个，故D正确．故选BD. 7．如图，用n种不同的颜色把图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则下列结论正确的是(　　) A．n≥3 B．当n＝4时，若B，D同色，共有48种涂法 C．当n＝4时，若B，D不同色，共有48种涂法 D．当n＝5时，总的涂色方法有420种 答案：ABD 解析：对于A，由于区域A，B，C两两相邻，所以至少需要3种颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确；对于B，当n＝4时，按照A，B，C的顺序涂，每个区域需要1种颜色，此时有4×3×2＝24种涂法，涂D时，由于B，D同色(D只有1种颜色可选)，所以只需要从剩下的颜色或与A同色的2种颜色中选择1种涂E，故共有24×2＝48种涂法，故B正确；对于C，当n＝4时，按照A，B，C的顺序涂，有4×3×2＝24种涂法，由于B，D不同色(D只有1种颜色可选)，此时A，B，C，D四块区域所用颜色各不相同，涂E只能用与A同色的颜色，此时共有24种涂法，故C错误；对于D，当n＝5时，按照A，B，C的顺序涂，每个区域需要1种颜色，此时有5×4×3＝60种涂法，涂D时，若B，D同色(D只有1种颜色可选)，只需要从剩下的2种颜色中或与A同色的3种颜色中选择1种涂E，则有60×3＝180种涂法，若B，D不同色，此时A，B，C，D四块区域所用颜色各不相同，共有5×4×3×2＝120种涂法，只需要从剩下的颜色或与A同色的2种颜色中选择1种涂E，则有120×2＝240种涂法．综上可知，总的涂色方法共有180＋240＝420种，故D正确．故选ABD. 三、填空题 8．假如某人有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元的纸币各两张，要支付219元的货款，则有________种不同的支付方式． 答案：6 解析：9元的支付方式有两种：5＋2＋2或5＋2＋1＋1，200元的支付方式有三种：2×100或1×100＋2×50或1×100＋1×50＋2×20＋10，10元的支付方式只能用1张10元，所以有2×3×1＝6种不同的支付方式． 9．中国有十二生肖，又叫十二属相，每个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有________种． 答案：100 解析：由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分两种情况讨论：若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有3种选择，丙有10种选择，此时有2×3×10＝60种选择方法；若甲选马作吉祥物，则乙有4种选择，丙有10种选择，此时有1×4×10＝40种选择方法．综上所述，共有60＋40＝100种选择方法． 10．给一个凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但相邻边的颜色不同，则不同的染色方法有________种． 答案：30 解析：如图，染边1时有3种染法，染边2时有2种染法． (1)当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时不同的染色方法共有3×2×1×2×1＝12种； (2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时不同的染色方法共有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18种． 由分类加法计数原理得，不同的染色方法有12＋18＝30种． 四、解答题 11．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，共有几种不同的安排方法？ 解：选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类，2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有3×1＝3种选法． 第二类，2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，只会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理，知共有2×2×3＝12种选法．再由分类加法计数原理，知共有6＋12＝18种选法． 第三类，2人全被选出，同理共有1＋2×3×2＋3＝16种选法． 所以共有3＋18＋16＝37种不同的安排方法． 12．提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，共有多少种不同的涂色方法？ A C F D B E 解：假定涂色顺序为D－C－E－F－A－B. 若C，E涂相同颜色，则有6×5×1×4×4×3＝1440种涂法； 若C，E涂不同颜色，A，E涂相同颜色，则有6×5×4×3×1×4＝1440种涂法； 若C，E涂不同颜色，A，E涂不同颜色，则有6×5×4×3×3×3＝3240种涂法． 由分类加法计数原理得，不同的涂色方法共有1440＋1440＋3240＝6120种． 13．程大位(1533～1606)是明代珠算发明家，徽州人．他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具．算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”．现有一种算盘(如图1)共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5；梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为________． 答案：26 解析：由题意可知，“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有300，700；“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有210，250，201，205，610，650，601，605；“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有120，102，160，106，111，151，115，155，520，502，560，506，511，551，515，555.则符合条件的三位整数的个数为26. 14．在0，1，2，3，4，5这六个数字中选择若干个数字． (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ (5)可以组成多少个大于3000，小于5214的数字不重复的四位数？ 解：(1)若组成数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以可以组成5×5×4＝100个数字不重复的三位数． (2)若组成数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以可以组成5×6×6＝180个数字允许重复的三位数． (3)第一步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； 第二步：再选百位数字，有4种选法； 第三步：最后选十位数字，有4种选法． 由分步乘法计数原理知，可以组成3×4×4＝48个数字不允许重复的三位数的奇数． (4)若组成数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论： ①数字为个位数，共6个； ②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共5×5＝25个； ③数字为三位数，共有100个． 由分类加法计数原理知，可以组成6＋25＋100＝131个数字不重复的小于1000的自然数． (5)①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3＝120个； ②千位数字为5，百位数字为0或1时，共有2×4×3＝24个； ③千位数字为5，百位数字为2，十位数字为0时，共有3个； ④千位数字为5，百位数字为2，十位数字为1时，共有2个． 由分类加法计数原理知，可以组成120＋24＋3＋2＝149个大于3000，小于5214的数字不重复的四位数． 8 学科网（北京）股份有限公司 $