3.1.1 第1课时 基本计数原理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 3．1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 知识点一　分类加法计数原理的应用 1．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿．全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营．小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为(　　) A．19 B．20 C．90 D．200 答案：A 解析：此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，根据分类加法计数原理，小张的购票方案种数为4＋10＋5＝19.故选A. 2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 答案：C 解析：分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理，知共可以确定8＋5＝13个不同的平面． 知识点二　分步乘法计数原理的应用 3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 答案：B 解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法． 4．4名运动员争夺3个运动项目的冠军(不能并列)，那么冠军奖杯的归属有________种不同的结果． 答案：64 解析：由题意知，每个运动项目的冠军均有4种可能，所以3个运动项目的冠军奖杯的归属有4×4×4＝64种不同的结果． 知识点三　两个计数原理的综合应用 5．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，则不同的取法种数为(　　) A．72 B．80 C．90 D．242 答案：D 解析：可分为三类：第一类，取出的2本书中，1本数学书，1本语文书，根据分步乘法计数原理，有10×9＝90种不同的取法；第二类，取出的2本书中，1本语文书，1本英语书，有9×8＝72种不同的取法；第三类，取出的2本书中，1本数学书，1本英语书，有10×8＝80种不同的取法．根据分类加法计数原理，知共有90＋72＋80＝242种不同的取法． 6．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有________种． 答案：9 解析：分为两类：第一类是2名老队员、1名新队员，有3种选法；第二类是1名老队员、2名新队员，有2×3＝6种选法．由分类加法计数原理，知共有3＋6＝9种不同的选法． 7．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？ 解：上山的路有3＋2＝5条，下山的路也有5条，游人从上山到下山共两步，每一步都有5种选法，故游人从上山到下山共有5×5＝25种不同的走法． 8．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法； 从A型血的人中选1人有7种不同的选法； 从B型血的人中选1人有9种不同的选法； 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法． (2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“四种血型的人中各选1人去献血”这件事情才能完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5292种不同的选法． 一、单项选择题 1．从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．小明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有________条路可以选．(　　) A．11 B．8 C．9 D．18 答案：D 解析：小明先从A村到B村，再从B村到C村，最后从C村到D村，由分步乘法计数原理可知，共有3×2×3＝18条路可以选．故选D. 2．设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于y轴上的椭圆的有(　　) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 答案：A 解析：因为椭圆的焦点在y轴上，所以m<n.当m＝1时，n＝2，3，4；当m＝2时，n＝3，4；当m＝3时，n＝4，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6个．故选A. 3．某校高一年级共有四个班，有四位老师各教一个班的数学．在某次数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案：B 解析：设四个班分别是A，B，C，D，其对应的数学老师分别是a，b，c，d.让a老师先选，可从B，C，D中选一个，有3种选法．不妨设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个(若a老师选的是C，则让c老师从剩下的三个班级中任选一个)，也有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法．由分步乘法计数原理，知共有3×3×1×1＝9种不同的安排方法． 4．计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图是一个具有许多执行路径的程序模块，现已知子模块1中的18条执行路径有11条损坏，其余子模块中的执行路径正常，那么，该程序模块可以正常执行的路径还有(　　) A．9371条 B．6480条 C．161条 D．178条 答案：B 解析：子模块1中，有18－11＝7条执行路径正常执行，所以该程序模块可以正常执行的路径还有(7＋45＋28)×(38＋43)＝6480条．故选B. 5．已知集合M＝{－2，－1，0，1，3}，直线Ax＋By＋C＝0中的A，B，C是取自集合M中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么符合以上条件的直线的条数为(　　) A．40 B．32 C．24 D．23 答案：D 解析：由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，所以B≠0，且k＝－>0，即A，B异号，则从集合M＝{－2，－1，0，1，3}中任取三个不同元素，A有4种选法，B有2种选法，C有3种选法，共有4×2×3＝24种选法，又因为当A＝1，B＝－1，C＝0和A＝－1，B＝1，C＝0时，都表示直线x－y＝0，所以符合条件的直线的条数为24－1＝23.故选D. 二、多项选择题 6．有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是(　　) A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．若每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．若每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 答案：ACD 解析：对于A，B，根据6名同学参加项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有36＝729种不同的报名方案，故A正确，B错误；对于C，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步乘法计数原理，共有63＝216种不同的报名方案，故C正确；对于D，根据3个智力竞赛项目，分三步：第一步，6种选择，第二步，5种选择，第三步，4种选择，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120种不同的报名方案，故D正确．故选ACD. 7．某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表： 站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是(　　) A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种(同一地铁站出站不分先后) 答案：BCD 解析：对于A，B，两人共花费5元，分两类：第一类，小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种；第二类，小明花费3元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案也有9种，根据分类加法计数原理，共有9＋9＝18种方案，A错误，B正确．对于C，两人共花费6元，分三类：第一类，小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种；第二类，小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种；第三类，小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种，根据分类加法计数原理，共有9＋9＋9＝27种方案，C正确．对于D，小明比小华先下地铁，分两类：第一类，小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有9种；第二类，小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，根据分类加法计数原理，共有9＋3＝12种方案，D正确．故选BCD. 三、填空题 8．已知a，b∈{0，1，2，3}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为________，其中与y轴相交的圆的个数为________． 答案：16　12 解析：依题意，得到圆的方程分两步：第一步，确定a，有4种选法；第二步，确定b，有4种选法，由分步乘法计数原理知，不同的圆的个数为4×4＝16.其中与y轴相交的圆要满足－2≤a≤2，则a有0，1，2，共3种选法，而b有4种选法，由分步乘法计数原理知，与y轴相交的圆的个数为3×4＝12. 9．将代数式(a1＋a2)2(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后，共有________项． 答案：36 解析：(a1＋a2)2(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)＝(a＋2a1a2＋a)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)，所以代数式展开后共有3×3×4＝36项． 10．已知某高中信息学竞赛班的甲、乙、丙、丁共4名同学参加了本校自主举办的信息学竞赛的初赛，若最终成绩排名情况为：丙同学不是第1名，甲、乙两名同学的成绩排名相邻，则这4名同学的名次排列情况共有________种． 答案：8 解析：由题意可得丙不是第1名，甲、乙相邻，所以丙是第2名时，甲、乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况；丙是第3名时，甲、乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况；丙是第4名时，甲、乙有可能是第1，2名或第2，3名，当甲、乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况；当甲、乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况，所以一共有2＋2＋2＋2＝8种情况． 四、解答题 11．已知高二年级一班有6人参加数学小组，二班有5人参加物理小组，三班有4人参加化学小组． (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法？ (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法？ 解：(1)分三类：第一类，从数学小组中选，有6种选法；第二类，从物理小组中选，有5种选法；第三类，从化学小组中选，有4种选法．根据分类加法计数原理，共有6＋5＋4＝15种不同的选法． (2)分三步：第一步，从数学小组选1人，有6种选法；第二步，从物理小组选1人，有5种选法；第三步，从化学小组选1人，有4种选法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120种不同的选法． (3)选取的两人来自数学、物理小组，有6×5＝30种选法；来自数学、化学小组，有6×4＝24种选法；来自物理、化学小组，有5×4＝20种选法，所以共有30＋24＋20＝74种不同的选法． 12．已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N＋}，B＝{x||x－6|＜3，x∈N＋}，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 解：A＝{3，4，5，6，7}，B＝{4，5，6，7，8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25个，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共可得到25＋5＋4＝34个不同的点． 13．已知A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，则集合A，B，C所有可能的情况种数为(　　) A．216 B．200 C．27 D．25 答案：B 解析：设初始状态为b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝∅，现将b1，b2，b3，b4，b5放入三个集合，b1有2种放法，放在集合A或不放集合A；b2，b3同b1，有2种放法；对于b4，分两种情况：放在集合A或不放集合A，若b4放在集合A，可以不放在集合B与集合C中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合B，C中，共3种放法，若b4不放在集合A，必须放在集合B或集合C中，共2种放法，故对于b4，共有5种放法；b5同b4，共有5种放法．由分步乘法计数原理得，集合A，B，C共有2×2×2×5×5＝200种可能的情况．故选B. 14．已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 解：(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品， 则第1，3，4次抽到的都是正品． 由分步乘法计数原理可知，共有4×2×3×2×1＝48种不同的测试情况． (2)分两类讨论： 第一类，测试2次找到所有次品，有2×1＝2种情况； 第二类，测试3次找到所有次品，则第3次抽到次品，前两次有一次抽到正品，有2×2×4＝16种情况． 由分类加法计数原理可知，共有2＋16＝18种不同的测试情况． 1 学科网（北京）股份有限公司 $