第四章 阶段测试1 等差数列-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 阶段测试1　等差数列 一、单项选择题 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝a1＋2，S2＝4，则S3＝(　　) A．5 B．11 C．8 D．9 答案：D 解析：因为所以a1＝1，a2＝3，等差数列{an}的公差d＝2，所以a3＝a1＋2d＝1＋2×2＝5，所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋5＝9.故选D. 2．在a和b两数之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：在a和b两数之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则这个数列共有n＋2项，设该数列的公差为d，则d＝＝.故选A. 3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　) A．12 B．10 C．6 D．4 答案：C 解析：在等差数列{an}中，2a6＝a4＋a8＝20，得a6＝10，公差d＝a7－a6＝2，所以a4＝a6－2d＝10－2×2＝6.故选C. 4．等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11∶9，则公差d的值是(　　) A．－8 B．4 C．8 D．9 答案：C 解析：根据题意，可得解得S奇＝288，S偶＝352，又S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d＝352－288，所以d＝＝8.故选C. 5．已知数列{an}为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，若满足S15＝0，S16<0，给出下列说法：①d<0；②a8＝0；③S9>S6；④当且仅当n＝7时，Sn取得最大值．其中正确说法的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：因为S15＝＝15a8＝0，所以a8＝0，故②正确；因为S16＝<0，所以a1＋a16<0，从而a8＋a9<0，即a9<0，所以d<0，故①正确；因为a8＝0，a9<0，所以(Sn)max＝S7＝S8，故④错误；因为S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＝0，所以S9＝S6，故③错误，所以正确说法的个数为2.故选B. 二、多项选择题 6．若a，b，c(a，b，c均不为0)是等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．a2，b2，c2一定成等差数列 B．2a，2b，2c可能成等差数列 C．ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列 D.，，可能成等差数列 答案：BCD 解析：对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，不满足2b2＝a2＋c2，所以a2，b2，c2不成等差数列，故A错误；对于B，令a＝b＝c≠0，则2a＝2b＝2c，满足2a＋2c＝2·2b，即2a，2b，2c可能成等差数列，故B正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，即ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列，故C正确；对于D，令a＝b＝c≠0，则＝＝，满足＋＝，即，，可能成等差数列，故D正确．故选BCD. 7．已知等差数列{an}的首项a1＝16，公差d＝－4，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，Sn是数列{bn}的前n项和．则下列说法正确的是(　　) A．bn＝17－n B．b29是数列{an}的第8项 C．当且仅当n＝17时，Sn最大 D.是公差为－1的等差数列 答案：AB 解析：由等差数列{an}的首项a1＝16，公差d＝－4，可得an＝20－4n.对于A，根据题意，可得b1＝16，b5＝a2＝12，所以数列{bn}的公差为d′＝＝－1，所以数列{bn}的通项公式为bn＝b1＋(n－1)d′＝17－n，故A正确；对于B，由b29＝－12，令an＝20－4n＝－12，解得n＝8，故B正确；对于C，令bn＝17－n≥0，解得n≤17，所以当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，故C错误；对于D，由Sn＝，可得＝＝－n，则－＝－＝－，所以是公差为－的等差数列，故D错误．故选AB. 三、填空题 8．设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，则an＝________． 答案：3n 解析：∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝，∴S3＋T3＝6d＋＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)，∴an＝a1＋(n－1)d＝3n. 9．私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万元，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年的维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是________年． 答案：10 解析：设车主使用n年，则年平均费用为＝＋＋1.65≥2＋1.65＝4.65，当且仅当＝，即n＝10时，等号成立，所以报废的最佳年限为10年． 10．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＋＝________． 答案： 解析：由等差数列的性质，可得＋＝＋＝＝，又因为＝，所以＝＝＝＝，所以＋＝. 四、解答题 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an－n2，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)当n≥2，n∈N*时， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1， 所以an＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1＋1 ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1 ＝2·＋1 ＝n2－n＋1， 当n＝1时，a1＝1满足上式， 所以an＝n2－n＋1(n∈N*)． (2)因为bn＝an－n2＝n2－n＋1－n2＝－n＋1， 所以{bn}是以0为首项，－1为公差的等差数列， 故Sn＝＝＝－n2＋n. 12．已知等差数列{an}：5，8，11，…和等差数列{bk}：3，7，11，…各有100项，问：它们有多少个相同的项？记这些相同的项从小到大依次排列构成数列{cm}，问：数列{cm}是否为等差数列？ 解：易得an＝3n＋2，bk＝4k－1. 假设数列{an}的第n项与数列{bk}的第k项相同，即有3n＋2＝4k－1，所以n＝k－1. 而n∈N*，k∈N*，则k必是3的倍数． 设k＝3t(t∈N*)，于是n＝4t－1. 由题设知，两数列各有100项， 则解得≤t≤. 又t∈N*，故两数列共有25个相同的项． 将n＝4t－1代入an＝3n＋2(或将k＝3t代入bk＝4k－1)，得a4t－1＝3(4t－1)＋2＝12t－1(或b3t＝12t－1)， 即等差数列{an}中的第4t－1项与等差数列{bk}中的第3t项是相同项， 于是ct＝a4t－1＝12t－1，ct＋1＝12(t＋1)－1＝12t＋11， ct＋1－ct＝12，为常数， 又易知c1＝11， 故数列{cm}是以11为首项，12为公差的等差数列． 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2n(n＋2)Sn＋1＝(n＋1)(n＋2)Sn＋n(n＋1)Sn＋2，若a3＝5，S2025＝2025，则a508＝(　　) A．3 B．6 C．1015 D．2030 答案：A 解析：由2n(n＋2)Sn＋1＝(n＋1)(n＋2)Sn＋n(n＋1)Sn＋2，变形得到＝＋，即＝＋，故为等差数列，设公差为d，则＝＋(n－1)d＝a1＋(n－1)d，故Sn＝na1＋n(n－1)d　①，则Sn＋1＝(n＋1)a1＋n(n＋1)d　②，②－①，得an＋1＝a1＋2nd，则an＝a1＋(2n－2)d，an＋1－an＝2d，所以{an}为等差数列，则S2025＝＝＝2025a1013＝2025，所以a1013＝1，故a508＝＝3.故选A. 14．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn是{an}的前n项和，a＋a＝a＋a，S9＝－18. (1)求{an}的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)由S9＝－18，可得9a5＝－18， 故a5＝－2， 设{an}的公差为d，d≠0， 由a＋a＝a＋a，可得a－a＋a－a＝0⇒(a9－a1)(a9＋a1)＋(a11－a3)(a11＋a3)＝0， 故8d(a9＋a1)＋8d(a11＋a3)＝0， 由于d≠0，所以a5＋a7＝0， 因此a6＝0，d＝a6－a5＝2， 故an＝a6＋(n－6)d＝2n－12. (2)由(1)可知＝， 当n≤6且n∈N*时，<0，且此时单调递减， 故＝－为最大值，＝－1为最小值， 当n>6且n∈N*时，>0，且此时单调递减， 故＝1为最大值，无最小值， 综上，可得的最大值为1，最小值为－1. (3)由an＝2n－12，可得当n≤6且n∈N*时，an≤0， 当n>6且n∈N*时，an>0， 所以当n≤6且n∈N*时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－＝11n－n2， 当n>6且n∈N*时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a6)＋a7＋a8＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an－2(a1＋a2＋…＋a6)＝n2－11n－2×＝n2－11n＋60， 故Tn＝ 6 学科网（北京）股份有限公司 $