5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 第2课时　导数的几何意义 知识点一　与导数的几何意义有关的图象问题 1.如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2<x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是(　　) A．f′(x1)>f′(x2) B．f′(x1)<f′(x2) C．f′(x1)＝f′(x2) D．不能确定 答案：A 解析：如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线f(x)在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f′(x2)为曲线f(x)在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0>k1>k2，即有f′(x1)>f′(x2)． 2．已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示，则(　　) A．g′(－1)<0<f′(－1) B．f′(－1)<0<g′(－1) C．g′(3)<f′(3) D．f′(3)<g′(3) 答案：D 解析：根据题意，由函数的图象，知函数f(x)与g(x)在区间[－1，3]上单调递增，则有f′(－1)>0，g′(－1)>0，A，B错误；在x＝3处，f(x)和g(x)都是增函数，但g(x)的图象更陡，则f(x)的切线斜率小于g(x)的切线斜率，即f′(3)<g′(3)，C错误，D正确．故选D. 3．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，则f′(3)＝________． 答案：－ 解析：根据导数的几何意义可知，切线斜率等于在该点处的导数值，所以f′(3)的值等于在x＝3处的切线斜率，又切线过点(3，－2)，(0，－1)，所以f′(3)＝＝－. 知识点二　导数的几何意义的应用 4．曲线y＝ax＋在点(1，3)处的切线也是抛物线x2＝y在点(1，3)处的切线，则a－b＝(　　) A．1 B．3 C．6 D．2 答案：C 解析：因为y′|x＝1＝＝ ＝ ＝a－b，所以曲线y＝ax＋在点(1，3)处的切线斜率为a－b.因为x2＝y，所以y＝3x2，所以y′|x＝1＝＝＝6，由题意可知a－b＝6.故选C. 5．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：设切点坐标为(x0，1)，则f′(x0)＝ ＝(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)，∴2－4＋a＝1，即a＝3. 6．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，f(0)＝2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0 答案：A 解析：因为f(x)＝ax2＋c，所以f′(1)＝＝(2a＋a·Δx)＝2a＝2，所以a＝1.又f(0)＝2，所以c＝2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(1)＝3.故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 7．已知f(x)＝x2＋ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线过点(2，－1)，则实数a的值为________． 答案：－2 解析：∵f′(1)＝＝(Δx＋2＋a)＝2＋a，∴切线的斜率为2＋a，∵切点为(1，1＋a)，∴切线方程为y－1－a＝(2＋a)(x－1)，∵切线过点(2，－1)，∴a＝－2. 8．求曲线y＝和曲线y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积． 解：联立两曲线方程，得解得 即曲线y＝和曲线y＝x2的交点坐标为(1，1)． 因为曲线y＝在点(1，1)处的切线斜率为 y′|x＝1＝＝＝－1， 所以曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2. 因为曲线y＝x2在点(1，1)处的切线斜率为 y′|x＝1＝＝ ＝(2＋Δx)＝2， 所以曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图阴影部分所示， 所以S＝×1×＝， 即所求三角形的面积为. 一、单项选择题 1．若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 答案：A 解析：由题意知切线过点(1，3)，(0，2)，所以切线的斜率k＝f′(1)＝＝1>0. 2.函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列不等式正确的是(　　) A．f′(2)<f′(1) B．f′(1)<f(2)－f(1) C．f′(2)>f(2)－f(1) D．f′(1)<0 答案：A 解析：对于A，由函数的图象可知，函数的图象在x＝1处的切线的斜率k1大于在x＝2处的切线的斜率k2，所以f′(1)>f′(2)，故A正确；对于B，C，kAB＝＝f(2)－f(1)，由导数的几何意义可知f′(1)>f(2)－f(1)>f′(2)，故B，C错误；对于D，由函数的图象可知，f′(1)>0，故D错误．故选A. 3．已知f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于(　　) A．45° B．60° C．135° D．120° 答案：C 解析：∵f′(x)＝＝＝＝－，∴f′(3)＝－1.又0°≤α≤180°，∴α＝135°.故选C. 4．抛物线y＝x2在点(2，1)处的切线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－3＝0 答案：B 解析：由y＝x2，可得y′|x＝2＝ ＝＝ ＝1，又切点为(2，1)，所以切线方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.故选B. 5．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：∵y′|x＝1＝＝＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴3·＝－1，∴＝－. 二、多项选择题 6．如图，直线x＝m与曲线y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)，y＝k(x)均相交，则(　　) A. > B. > C. > D. > 答案：ABD 解析：＝f′(m)，＝g′(m)，＝h′(m)，＝k′(m)，由题图可知k′(m)<0，且曲线y＝f(x)在x＝m处比曲线y＝g(x)更陡峭，曲线y＝g(x)在x＝m处比曲线y＝h(x)更陡峭，所以f′(m)>g′(m)>h′(m)>0，所以A，B，D正确，C错误．故选ABD. 7．下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线平行于直线y－x－6＝0的是(　　) A．(0，0) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(1，1) 答案：BC 解析：依题意，设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝x3－2x，所以y′|x＝x0＝＝3x－2＝1，解得x0＝±1.当x0＝1时，y0＝－1；当x0＝－1时，y0＝1.综上，所求切点为(1，－1)或(－1，1)．故选BC. 三、填空题 8．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点P处的切线，则f(2)＝________，f′(2)＝________． 答案：　－ 解析：由题图可知f(x)在点P处的切线方程为y＝－x＋，所以f(2)＝，f′(2)＝－. 9．已知f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为2，则的最小值是________． 答案：9 解析：因为f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)，所以f′(2)＝ ＝＝2a＋b＝2，所以＝＋＝(2a＋b)＝≥5＋＝9，当且仅当＝，又2a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立，所以的最小值是9. 10．设P为曲线C：f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围为________． 答案： 解析：∵f′(x)＝ ＝＝(2x＋2＋Δx)＝2x＋2，∴可设点P的横坐标为x0，则曲线C在点P处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P的横坐标的取值范围为. 四、解答题 11．若函数f(x)＝x－. (1)用定义求f′(x)； (2)求函数f(x)的图象在与x轴交点处的切线方程． 解：(1)由导数的定义可得， f′(x)＝ ＝ ＝ ＝＝1＋. (2)函数f(x)＝x－的图象与x轴有两个交点，分别为A(1，0)，B(－1，0)， ∵f′(1)＝2， ∴在点A(1，0)处的切线方程为y＝2(x－1)＝2x－2. 同理，在点B(－1，0)处的切线方程为y＝2x＋2. 12．已知曲线y＝x3－2x2＋2x＋1. (1)求曲线在点P(0，1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(0，1)的切线方程． 解：(1)由题意得，曲线在点P(0，1)处的切线的斜率 k＝y′|x＝0 ＝ ＝[(Δx)2－2Δx＋2]＝2， 所以曲线在点P(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1， 即2x－y＋1＝0. (2)设曲线y＝x3－2x2＋2x＋1与过点P(0，1)的切线相切于点Q(x0，y0)， 设切线的斜率为k，则k＝ ＝3x－4x0＋2， 则由点斜式得直线方程为y－1＝k(x－0)， 又因为切点为Q(x0，y0)， 解得k＝1或k＝2， 所以曲线过点P(0，1)的切线方程为2x－y＋1＝0和x－y＋1＝0. 13．已知f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过点(2，0)的切线，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B．(－4，0) C．(－∞，－8)∪(0，＋∞) D．(－8，0) 答案：A 解析：f′(x)＝＝＝＝1－(x≠0)，设切点为(x0≠0)，则切点处的斜率为f′(x0)＝1－，则切线方程为y－＝(x－x0)，因为切线过点(2，0)，所以－x0－＝(2－x0)，整理得x＋ax0－a＝0(x0≠0)，因为曲线y＝f(x)存在两条过点(2，0)的切线，所以方程x＋ax0－a＝0(x0≠0)有两个不相等且不为0的实数根，所以解得a<－4或a>0.故选A. 14．已知点P是曲线C：y＝x3上任意一点，过点P作曲线C的切线l1交C于点Q，过点Q作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，证明：为定值． 证明：设f(x)＝x3，由导函数的定义， 可知f′(x)＝ ＝ ＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2] ＝3x2. 不妨设P(x0，x)，则点P处切线的斜率k1＝3x，切线方程为y－x＝3x(x－x0)， 由 得x3－3xx＋2x＝0， 即(x－x0)2(x＋2x0)＝0， 解得x＝x0或x＝－2x0， 所以点Q的横坐标为－2x0， 所以点Q处切线的斜率为k2＝f′(－2x0)＝12x， 因为k2＝12x≠0， 所以＝＝，为定值． 9 学科网（北京）股份有限公司 $