5.1.2 第1课时 导数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 知识点一　函数的平均变化率 1．当自变量从x0变化到x1(x0<x1)时，函数值的变化量与相应自变量的变化量之比是(　　) A．函数在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．函数在x0处的变化率 C．函数在x1处的导数 D．函数在区间[x0，x1]上的导数 答案：A 解析：由平均变化率的定义，可知当自变量从x0变化到x1(x0<x1)时，函数值的变化量与相应自变量的变化量之比是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率． 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为________． 答案：　 解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝.函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 3．求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． 解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为3×12＋3×1×＋＝. 知识点二　导数的定义 4．函数f(x)在x0处可导，则(　　) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h均无关 答案：B 解析：由导数的概念可知，＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B. 5．若f′(x0)＝1，则＝(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案：B 解析：∵f′(x0)＝＝1，∴＝－1， ∴＝×(－1)＝－. 6．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，则x0的值为________． 答案：1 解析：∵f′(x0)＝＝＝(6x0＋3Δx) ＝6x0＝6，∴x0＝1. 7．设函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)，求下列各式的值： (1) ； (2) . 解：(1) ＝－m＝－mf′(x0)． (2)原式 ＝ ＝－ ＝4－5 ＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)． 知识点三　导数的实际意义 8．一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 解：因为＝＝＝3， 所以由导数的定义，得f′(2)＝＝3，它表示水流在第2 s时的瞬时流速为3 m3/s， 说明在第2 s附近，水管中流过的水量每秒大约增加3 m3. 一、单项选择题 1．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－2 答案：C 解析：根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C. 2．若函数f(x)的图象过原点，f(x)在x＝0处可导，且满足＝－1，则f′(0)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：B 解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝＝＝－1.故选B. 3．已知函数f(x)＝ax2－2x，若f′(1)＝2，则实数a的值为(　　) A．2 B．－2 C．0 D．1 答案：A 解析：f′(1)＝＝＝2a－2＝2，解得a＝2. 4．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则 ＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：A 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)＝－f(－1)，所以＝ ＝f′(－1)＝1.故选A. 5．已知函数f(x)在R上可导，若f′(2)＝3，则 ＝(　　) A．9 B．12 C．6 D．3 答案：B 解析：由导数的定义，可知f′(2)＝ ＝× ＝3，故 ＝3×4＝12. 二、多项选择题 6．已知函数f(x)的定义域为R，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且f′(x0)存在，则下列命题中正确的是(　　) A．若f′(x0)＝2，则 ＝－2 B．若 ＝3，则f′(x0)＝1 C．若f′(x0)＝1， ＝，则m＝ D．若f′(x0)＝－2，则＝－4 答案：ABD 解析：对于A，＝－＝－f′(x0)＝－2，故A正确；对于B，＝3＝3f′(x0)＝3，解得f′(x0)＝1，故B正确；对于C，＝－ ＝－f′(x0)＝－×1＝，解得m＝－1，故C错误；对于D， ＝ ＝＋＝2f′(x0)＝2×(－2)＝－4，故D正确．故选ABD. 7．蜥蜴的体温与阳光照射时间的关系近似为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间．则(　　) A．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12 ℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为－2.4 ℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是－1.2 ℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为－3 ℃/min时，t＝(2－5) min 答案：ABC 解析：对于A，当t＝0时，T(0)＝＋15＝39，当t＝5时，T(5)＝＋15＝27，所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39－27＝12 ℃，故A正确；对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为＝＝－2.4 ℃/min，故B正确；对于C，T′(t)＝ ＝ ＝ ＝－，当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率为T′(5)＝－＝－1.2 ℃/min，故C正确；对于D，令T′(t)＝－＝－3，解得t＝(2－5) min，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．已知函数f(x)＝ax2在区间[1，2]上的平均变化率为，则f(x)＝________，f(x)在区间[－2，－1]上的平均变化率为________． 答案：x2　－ 解析：∵f(x)在[1，2]上的平均变化率＝＝＝3a，∴3a＝，即a＝，故f(x)＝x2，∴f(x)在[－2，－1]上的平均变化率为＝＝＝－. 9．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________． 答案：1 解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3a·Δx，∴＝＝a(Δx)2－3a·Δx＋3a.∴＝[a(Δx)2－3a·Δx＋3a]＝3a，即3a＝3，∴a＝1. 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________． 答案：2 解析：∵|AB|＝t，∴S(t)＝|OA|·|AB|＝t·t＝t2，S′(2)＝＝＝2，∴S(t)在t＝2时的瞬时变化率是2. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值． 解：由导数的定义，得 f′(1)＝ ＝＝＝， f′(－1)＝ ＝ ＝(Δx－2)＝－2. 所以f′(1)f′(－1)＝×(－2)＝－1. 12．已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)＝105＋104t－103t2. (1)求f′(10)； (2)f′(10)的实际意义是什么？ 解：(1)当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10，10＋h](h>0)内， 可得细菌数量关于时间的平均变化率为＝ ＝＝－104－103h， 令h趋近于0，就得到f′(10)＝(－104－103h)＝－104＝－10000. (2)f′(10)的实际意义是细菌数量在t＝10时的瞬时变化率，它表明在t＝10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少． 13．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差)．下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是(　　) A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 答案：C 解析：对于A，由题图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；对于B，由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率均为正数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；对于C，由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率均为负数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；对于D，由题图可知，当日必存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确．故选C. 14．设f(x)＝x2，g(x)＝x，且h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋x，猜测h′(x)与f′(x)，g′(x)的关系，并尝试给出证明． 解：h′(x)＝ ＝ ＝ ＝ (2x＋1＋Δx)＝2x＋1， f′(x)＝ ＝ ＝ ＝(2x＋Δx)＝2x， g′(x)＝ ＝＝1， 猜想h′(x)＝f′(x)＋g′(x)． 证明：h′(x)＝ ＝ ＝＝＋ ＝f′(x)＋g′(x)， 猜想得证． 8 学科网（北京）股份有限公司 $