5.1.1 变化率问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．1.1　变化率问题 知识点一　平均速度 1．一质点的位移s与时间t之间的关系是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]内的平均速度为(　　) A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4 C．2Δt－4 D．－2Δt－4 答案：D 解析：平均速度＝＝＝－2Δt－4. 2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 答案：B 解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.故选B. 知识点二　瞬时速度 3．已知物体做自由落体运动的位移函数为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是(　　) A．物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B．物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间的平均速度 C．物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 答案：C 解析：根据瞬时速度的概念可知C正确． 4．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)＝t2，当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案：C 解析：当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为v＝ ＝ ＝.故选C. 5．物体的位移s与时间t之间的关系是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 答案：B 解析：设物体在t时刻的速度为零，则 ＝＝(－8t－4Δt＋16)＝－8t＋16＝0，∴t＝2.故选B. 6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位：m，t的单位：s)． (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求此物体从t＝0到t＝2这段时间的平均速度． 解：(1)初速度v0＝ ＝＝(3－Δt)＝3， 即此物体的初速度为3 m/s. (2)v瞬＝ ＝ ＝＝(－Δt－1)＝－1. 即此物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s. (3)＝＝＝1(m/s)． 即此物体从t＝0到t＝2这段时间的平均速度为1 m/s. 知识点三　抛物线的切线斜率或切线方程 7．已知抛物线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________；抛物线在点A处的切线的斜率是________． 答案：5　4.1　4 解析：当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝5. 当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝4.1. 抛物线在点A处的切线的斜率k＝ ＝ (Δx＋4)＝4. 8．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋2x. (1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程； (2)若抛物线上一点的切线与直线y＝3x＋4平行，求该点的坐标． 解：(1)因为抛物线y＝f(x)＝x2＋2x在点P(1，3)处切线的斜率为 k＝ ＝ ＝(4＋Δx)＝4， 所以抛物线y＝f(x)＝x2＋2x在点P(1，3)处的切线方程为y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. (2)设抛物线y＝f(x)在点Q(x0，y0)处的切线与直线y＝3x＋4平行， 则 ＝ ＝(2x0＋Δx＋2)＝2x0＋2＝3， 解得x0＝. 因为f＝＋2×＝， 所以所求点的坐标为. 一、单项选择题 1．一质点的位移s与时间t之间的关系为s＝t2＋3，若该质点在时间段[1，m]内运动的平均速度为3，则m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 答案：B 解析：由已知，得＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2. 2．一物体的位移s与时间t之间的关系是s(t)＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　　) A．at0 B．－at0 C.at0 D．2at0 答案：A 解析：∵＝＝at0，∴该物体在t＝t0时的瞬时速度是at0.故选A. 3．汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为(　　) A.1>2>3 B.3>2>1 C.2>1>3 D.2>3>1 答案：B 解析：1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象知kBC>kAB>kOA，即3>2>1.故选B. 4．已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 答案：B 解析：k＝＝1，故切线的倾斜角为45°. 5．一做直线运动的物体的位移s与时间t满足方程s＝t3，则当t＝2时，瞬时速度为(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 答案：D 解析：因为s＝t3，所以当t＝2时，瞬时速度为＝[(Δt)2＋6Δt＋12]＝12.故选D. 二、多项选择题 6．某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间满足函数关系h(t)＝2t2＋2t，则(　　) A．在2≤t≤3这段时间内的平均速度为10 m/s B．在2≤t≤3这段时间内的平均速度为12 m/s C．在t＝4 s时的瞬时速度为18 m/s D．在t＝4 s时的瞬时速度为16 m/s 答案：BC 解析：在2≤t≤3这段时间内的平均速度为＝＝12 m/s，故A错误，B正确；在t＝4 s时的瞬时速度为＝(2Δt＋18)＝18 m/s，故C正确，D错误．故选BC. 7．与曲线y＝x3相切，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线方程为(　　) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3x－1 D．y＝3x＋1 答案：AB 解析：设切点坐标为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，所以3x×＝－1，解得x0＝±1，所以k＝3x＝3.当x0＝1时，y0＝x＝1，切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2；当x0＝－1时，y0＝x＝－1，切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即y＝3x＋2.故选AB. 三、填空题 8.甲、乙两人走过的位移s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则从0到t0这段时间内甲、乙两人的平均速度较大的是________．(填“甲”或“乙”) 答案：乙 解析：由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<，所以从0到t0这段时间内乙的平均速度较大． 9．抛物线y＝x2－x＋1在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标是________． 答案：－3 解析：当x＝2时，y＝3，即切点为(2，3)，切线的斜率k＝ ＝＝3，∴切线方程为y－3＝3(x－2)，令x＝0，则y＝－3.∴切线与y轴交点的纵坐标为－3. 10．某物体的运动方程为s(t)＝，则其在t＝1时的瞬时速度为________． 答案：－ 解析：s(1＋Δt)－s(1)＝－1＝＝，故＝，所以＝－，即物体在t＝1时的瞬时速度为－. 四、解答题 11．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度． 解：自运动开始到t s时，物体运动的平均速度(t)＝＝3t＋2＋， 故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)． ∵Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2， ∴＝2＋6t＋3Δt，＝2＋6t， 当t＝4时，＝2＋6×4＝26， ∴4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. 12．已知抛物线y＝x2和直线x－y－2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离． 解：根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)， 则过该切点的切线的斜率 k＝＝2x0＝1， 所以x0＝， 所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝， 所以抛物线上一点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 13．已知某公交车在起步后8秒内的路程x(t)(单位：m)与时间t(单位：s)满足x(t)＝若公交车的瞬时速度未发生突变，则b＝________，公交车在这8秒内的平均速度为__________m/s. 答案：－18　 解析：第3秒前公交车的瞬时速度为 ＝ ＝(12－2Δt)＝12 m/s，第3秒后公交车的瞬时速度为＝ ＝k，由题意，得公交车第3秒前后的瞬时速度保持一致，所以k＝12，因为路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，所以2×32＝3×12＋b，解得b＝－18.公交车在8秒内的总路程为12×8－18＝78 m，所以平均速度为＝ m/s. 14．已知某物体的位移s(t)＝(位移s的单位：m，时间t的单位：s)． (1)求该物体在[3，5]内的平均速度； (2)求该物体的初速度v0； (3)求该物体在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)因为该物体在[3，5]内的时间变化量Δt＝5－3＝2， 该物体在[3，5]内的位移变化量Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48， 所以该物体在[3，5]内的平均速度为＝＝24 m/s. (2)求该物体的初速度v0，即求该物体在t＝0时的瞬时速度． 因为该物体的位移在t＝0附近的平均变化率 ＝ ＝ ＝3Δt－18， 当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－18无限趋近于－18，所以该物体的初速度v0为－18 m/s. (3)该物体在t＝1时的瞬时速度即为位移s在t＝1时的瞬时变化率． 因为该物体的位移在t＝1附近的平均变化率 ＝ ＝ ＝3Δt－12， 当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－12无限趋近于－12，所以该物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 8 学科网（北京）股份有限公司 $