【单元压轴九01】特殊平行四边形章末复习压轴培优50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形章末复习压轴培优50题 【压轴核心要点归纳】 题型1：选择题（快速识别知识点） 常见考向： 判断四边形类型：例如，给定对角线长度或角度，判断是矩形、菱形或正方形。 性质应用：如考察对角线性质（矩形对角线相等 vs 菱形对角线垂直）。 推理错误：选项包括常见误解，如“所有角相等的平行四边形是菱形”（错误，应为矩形）。 例题示例： 题干：一个平行四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是？ 选项：A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 答案：C (依据正方形判定定理) 解题策略： 回顾定义和性质表；优先检查是否满足特殊平行四边形的“必要条件”和“充分条件”。 时间控制：选择题应在1-2分钟内完成，可用排除法。 题型2：填空题（计算与填空） 常见考向： 几何计算：如给定边长或对角线长，求面积或周长（例如，菱形对角线分别为6cm和8cm，求面积）。 参数求解：如已知矩形一角为直角，求其他角度或边长。 综合填空：结合实际问题，如“矩形的长是宽的2倍，对角线长为10cm，则宽为____cm”。 例题示例： 题干：一个菱形的周长为20cm，其中一条对角线为6cm，则另一条对角线长为____cm。 解题：菱形边长为5cm（20÷4），对角线互相垂直，用勾股定理得另一对角线为8cm。 解题策略： 画图辅助；熟练应用勾股定理（如a² + b² = c²在直角三角形中）。 单位检查：答案务必带单位（如cm）。 题型3：解答题（证明与应用） 常见考向： 证明题：占压轴题重点，如“证明某四边形是矩形/菱形/正方形”，需写出完整推理步骤。 应用题：结合实际场景，如设计图型或优化问题（例如，用矩形地砖铺地，求最小成本）。 开放探究：如分析不同四边形的对称性差异。 例题示例： 题干：在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC中点，连接BE、DF，若AB=BE=AE。 求证：四边形EBFD是菱形。 解题思路：先证平行四边形性质，再用菱形的判定即可求解。 解题策略： 步骤分点：证明题需写出“已知”、“求证”、“证明”三部分；逻辑严谨。 时间分配：压轴题通常10-15分钟，优先确保关键步骤（如应用判定定理）。 易失分点：忽略前提条件（如未先证平行四边形）。 【备考策略】 重点强化：优先掌握判定定理和性质，多做证明题训练。 错题整理：记录常见陷阱（如对角线性质的混淆）。 跨章关联：本单元与勾股定理、相似三角形等章节结合命题。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（   ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 2．在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D． 4．如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论： ； ； ； ； ，其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．勾股定理有着悠久的历史，它的证明曾引起很多人的兴趣．以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形证明了勾股定理．如图，作斜边上的高，连接，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．7 8．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 11．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 12．如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（    ） A． B． C． D． 13．如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 14．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 18．如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（） A． B．3 C． D．2 19．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 20．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，为边上一个动点（不与点，重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题【共20小题】 21．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则 ． 22．如图，已知菱形，，E为的中点，P为对角线上一点．若，则的最小值为 ． 23．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 24．如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是 ． 25．发现新知：如图，有一张直角三角形纸片，，，，小辉想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线，剪下时，所得的矩形的面积最大．知识应用：如图，在五边形中，，，，，．小辉从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），所得的矩形的面积最大为 ． 26．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为 ． 27．如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有 个．（填正确结论的个数） 28．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．    （1）当平分时，若，则 ． （2）当点G恰为中点时，则 ． 29．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 30．如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点逆时针旋转至，使得点落在对角线上的处，连结，点分别为中点，连接，若，，则 ． 31．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则 ． 32．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ． 33．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为 34．在正方形中，E为上一点，作的垂直平分线交于点F，交于点G，，，则的长为 ． 35．如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为 ． 36．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ． 37．如图，在矩形中，，，点、分别为边、上的动点，且，在的右上方作等边，则的最小值为 ． 38．如图，在菱形中，，点E为边上一点．以点E为顶点在右侧作，射线交于点F，过点A作交射线于点H，连接在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形面积为 ． 39．如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有 个． 40．如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接． （1）当E是的中点时，的长为 ； （2）的最小值为 ． 三、解答题【共10小题】 41．在等腰中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得，连接交于点． (1)如图1，若，当点移动到中点时，若，求线段的长度； (2)如图2，取的中点，连接．猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的基础上；若，当时，连接，与交于点， ，直接写出的值___________． 42．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线于点F． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3） 在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 43．【问题初探】 在数学课上，小李老师给出如下问题，如图1，△ABC中，为等边三角形，，求的长． 思路1：如图2，小明同学由入手，以为边构造等边，得到与 全等的三角形，转移边和角，从而求出的长． 思路2：如图3，小刚同学通过度量发现，，由，想到构造与全等的三角形，转移边和角，从而求出的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程； 【学以致用】小李老师接着又给出下一问题， （2） 中，中，，，求的长． 44．在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处． (1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论： (2)如图2，延长交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长 45．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为 【特例探究】（）如图，连接，与交于点，当点三点共线时，与相等的角为________（写出一个即可）． （）如图，为的中点，点恰好落在边上．①直接写出四边形的形状：________，________（填“”“”或“”） ②延长交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（）如图，将矩形纸片更换为平行四边形，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时直接写出的值． 46．综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题． 【问题情境】 正方形中，点P是射线上的一个动点，过点C作于点E，点Q与点P关于点E对称，连接，设，． 【初步探究】 （1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了时的情形，射线与边交于点F．他们得出此时α与β的关系是．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段的延长线上(如图2)时，求α，β的度数； 【深入探究】 （2）敏学小组的同学画出时的图形如图3，射线与边交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论； 【拓展延伸】 （3）请你借助图4进一步探究： ①当时，α与β之间的等量关系为 ； ②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当时，的长为 ． 47．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点． (1)如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________； (2)如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长； (3)如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 48．如图，正方形中，G是延长线上的一点，E是线段上的一点，平分，连接，． (1)如图1，当E在边上时，求证． (2)如图2，当E在边延长线上时，连接交延长线于点F，连接，请直接写出之间的数量关系 (3)在（2）的条件下，当，时，求的长． 49．综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3） 若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 50．问题发现： （1）如图①，正方形的边长为8，对角线相交于点是上一点（点E不与重合），将射线绕点O逆时针旋转，所得射线与交于点F，则四边形的面积为________． 问题探究： （2）如图②，点C为线段上一点，在上方作四边形，使，且，连接，若，求的最大值． 问题解决： （3）口袋公园为西安增绿添彩，一草一木尽显匠心．某社区准备在小区内部建造一个口袋公园，图③为口袋公园的平面示意图，在四边形中，米．其中为步行小路，考虑到延长小路增加观赏时间，要求三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形章末复习压轴培优50题 【压轴核心要点归纳】 题型1：选择题（快速识别知识点） 常见考向： 判断四边形类型：例如，给定对角线长度或角度，判断是矩形、菱形或正方形。 性质应用：如考察对角线性质（矩形对角线相等 vs 菱形对角线垂直）。 推理错误：选项包括常见误解，如“所有角相等的平行四边形是菱形”（错误，应为矩形）。 例题示例： 题干：一个平行四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是？ 选项：A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 答案：C (依据正方形判定定理) 解题策略： 回顾定义和性质表；优先检查是否满足特殊平行四边形的“必要条件”和“充分条件”。 时间控制：选择题应在1-2分钟内完成，可用排除法。 题型2：填空题（计算与填空） 常见考向： 几何计算：如给定边长或对角线长，求面积或周长（例如，菱形对角线分别为6cm和8cm，求面积）。 参数求解：如已知矩形一角为直角，求其他角度或边长。 综合填空：结合实际问题，如“矩形的长是宽的2倍，对角线长为10cm，则宽为____cm”。 例题示例： 题干：一个菱形的周长为20cm，其中一条对角线为6cm，则另一条对角线长为____cm。 解题：菱形边长为5cm（20÷4），对角线互相垂直，用勾股定理得另一对角线为8cm。 解题策略： 画图辅助；熟练应用勾股定理（如a² + b² = c²在直角三角形中）。 单位检查：答案务必带单位（如cm）。 题型3：解答题（证明与应用） 常见考向： 证明题：占压轴题重点，如“证明某四边形是矩形/菱形/正方形”，需写出完整推理步骤。 应用题：结合实际场景，如设计图型或优化问题（例如，用矩形地砖铺地，求最小成本）。 开放探究：如分析不同四边形的对称性差异。 例题示例： 题干：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC中点，连接BE、DF。若若AB=BE=AE， 求证：四边形EBFD是菱形。 解题思路：先证平行四边形性质，再利用菱形的判定即可求解。 解题策略： 步骤分点：证明题需写出“已知”、“求证”、“证明”三部分；逻辑严谨。 时间分配：压轴题通常10-15分钟，优先确保关键步骤（如应用判定定理）。 易失分点：忽略前提条件（如未先证平行四边形）。 【备考策略】 重点强化：优先掌握判定定理和性质，多做证明题训练。 错题整理：记录常见陷阱（如对角线性质的混淆）。 跨章关联：本单元与勾股定理、相似三角形等章节结合命题。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（   ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解相关性质定理是解决问题的关键．连接，由，是的中点， 根据直角三角形斜边上的中线性质可得， 证得， 从而得到点在线段的垂直平分线上，即可判断A选项； 设， 根据， 得到， 从而得到， 根据， 得到， 从而得到，  即可判断B选项； 当为中点时，则， 结合， 得到是线段的垂直平分线， 从而得到， 根据，，， 证得， 即可判断C选项；当为中点时，是等边三角形， 易证， ，得到，从而证得，即可判断D选项． 【详解】解：如图所示， 连接， ，是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选项B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 当为中点时，是等边三角形， ，平分， ， ， ， 又点为的中点， ， ， ， ，， ， ，即， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D ． 2．在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将绕点A顺时针旋转得，证明，再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；②先根据正方形的性质以及，易得，则，用勾股定理列式计算，可得答案；③由，可得，从而将的三边相加即可得答案；④设正方形的边长为，则，，利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，可证得结论． 【详解】解：①如图， 将绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴ ∵ 则， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵不一定等于， 则不一定等于，故①不符合题意； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴， 故②符合题意； ③∵四边形是正方形，， ∴， 由①得， ∴， ∴的周长为：， 则的周长为2； 故③符合题意； ④设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 则，， 根据解析③可知，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴，故④符合题意； 故选：C． 3．如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用底边的比求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 4．如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论： ； ； ； ； ，其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据等边三角形的性质可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证；根据全等三角形对应角相等可以求出，根据直角三角形两锐角互余可以求出；根据正方形的性质可知，根据等边三角形的性质可知；设，，可得：，，可知． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ， 在和中，， ， ， 故正确； 四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故正确； ，， 是的垂直平分线， ， 是正方形的对角线， ， ， 是等边三角形，是边上的高， 平分， ， ， 即， 故错误； 设，，则，， 是等边三角形， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，(负值，舍去)， ， ， ， 故错误； 设， 则， 由可知， 则， ， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊三角形的边的关系、三角形中线性质、等边三角形的性质和三角面积公式，熟练掌握并利用相关知识点逐个进行证明是解决问题的关键． 5．勾股定理有着悠久的历史，它的证明曾引起很多人的兴趣．以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形证明了勾股定理．如图，作斜边上的高，连接，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴设，，则， ∵斜边上的高， ∴， ∴， ∴， 如图，过作交延长线于点， 则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 6．如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形性质可得，，，由旋转的性质可得，， 证明，从而得到，，继而得到，再由勾股定理可得，然后设设，则，，，然后根据勾股定理，再解方程即可求解． 【详解】解：连接， 正方形的面积为8，设正方形的边长为， ， 解得， 则正方形的边长为， 对角线， 绕点顺时针旋转90°得到， ， 又， 所以， 又， 所以， 且，设，则， 在中，，，， 由，得， 解得，（负值舍去）， ， 故选：A． 7．如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即的长为． 故选：C． 8．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：连接并延长交于P，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 故选：C． 9．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，等腰直角三角形以及等边三角形的判定和性质等知识，求出当时，的长度最小是解答本题的关键．线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，首先证明，得到，则当时，的长度最小，然后设，，则，求出，可得是等腰三角形，再证明是等边三角形，求出，进而求出的度数． 【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，如图所示： ∴，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 则当时，的长度最小， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即， ， 故选：B． 10．如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】连接交于M，由矩形的性质和勾股定理可求出；由等边三角形的性质得到，则可证明垂直平分，得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由垂线段最短，可知当时，有最小值，则此时． 【详解】解：如图所示，连接交于M， \ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴； ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时为直角三角形，其中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． 11．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据正方形和翻折的性质证明，根据勾股定理及等面积法求出相关线段的长度，然后进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由翻折的性质得，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由等面积法得， ∴， ∴， 故选：A． 12．如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，证明，得出，然后利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 假设，则， 由勾股定理得， 即 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，列方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． 13．如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先由折叠的性质得出，则F，M，C三点共线，再由勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解． 【详解】解：如图所示连接，． ∵将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵， ∴F，M，C共线， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长，矩形与折叠问题等知识，解题关键是添加适当的辅助线，构造三角形中位线求解． 14．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确做辅助线构造全等是解题的关键；由正方形的性质可证，即可判断①，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断③，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断④，在上截取，连接， 则是等边三角形，证明即可得解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：． 15．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①先由得到，接着就可以证明，最后由全等三角形的性质“对应边相等”，可知①是符合题意的； ②先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知②是符合题意的； ③过点作，证明，然后分别找出 与的关系，就可以求出的比，可知③是符合题意的； ④设，由，得到，所以．又由三角形全等和中线的性质，可以得到，从而得到，可知④是符合题意的． 【详解】解：①， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①符合题意； ②， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． ， 且， ， 故②符合题意； ③如图，过点作， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 又由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ， 故③符合题意； ④设， ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ， ， ，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中线的性质以及三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 16．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴由勾股定理得，， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值4，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④正确；∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 17．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，根据菱形的性质，证明，可得，，结合已知可得点和点重合，由菱形的性质，结合，可得是等边三角形，是等边三角形，可得，以及的长度，连接，由菱形的性质，结合等腰三角形的性质，可得，由平行线的性质可得，从而可得，可得，以及的长度，由勾股定理可得，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴点和点重合， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，在的延长线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 18．如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，过N作于G，连接，利用正方形的性质可判定是等腰直角三角形，求出，证明四边形是矩形可得出，则，利用证明，得出，从而可证明是等腰直角三角形，进而可求出，利用含角的直角三角形性质得出，即可求解，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过作于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ，，即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：A． 19．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：过E作于N，过E作于G，    ∵正方形， ∴平分， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 20．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，为边上一个动点（不与点，重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当是等腰三角形时，分两种情况，情况一、当时，过点作，根据矩形的性质和，可知是等边三角形，利用勾股定理可以求出，，，根据即可求出结果；情况二、当时，利用勾股定理可以求出，根据即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，当时， 过点作， 则， 四边形是矩形， ， ， 又， 是等边三角形，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 由折叠可知， ； 如下图所示，当时， 过点作， 可知，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，的长是或． 故选：D． 二、填空题【共20小题】 21．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则 ． 【答案】4 【分析】作交于点，交于点，结合正方形的性质，得到，然后证明，得到，那么四边形为正方形，然后证明，得到，那么，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， 四边形为正方形, ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， 四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形为正方形，， ， ， ， 故答案为：4． 22．如图，已知菱形，，E为的中点，P为对角线上一点．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵P为对角线上一点， ∴关于对称， ∴， ∴， 如图，连接，与交于点P，连接，此时取到最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴，， ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为： ． 23．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】9 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 24．如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是 ． 【答案】或2 【详解】解：①当时，如图，连接，    ∵点P是的中点，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P，E，D三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在和中， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图，    ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵点P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 综上所述：的长为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 25．发现新知：如图，有一张直角三角形纸片，，，，小辉想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线，剪下时，所得的矩形的面积最大．知识应用：如图，在五边形中，，，，，．小辉从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），所得的矩形的面积最大为 ． 【答案】108 【详解】解：延长交于点，延长交于点，延长交于点，取中点，的中点，连接，过点作于，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴中位线的两端点在线段和上， ∴， 由题意知，矩形的最大面积为， 故答案为：108． 26．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答． 【详解】解：如图：将逆时针旋转得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 27．如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有 个．（填正确结论的个数） 【答案】4 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴，故（1）正确； 如图所示，过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 同理可证四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故（3）正确； 又∵， ∴垂直平分． 连接，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，故（2）正确； ∵，． 又∵不一定等于， ∴不一定等于，故（4）错误； 如图所示，过点作于， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故（5）正确， ∴正确的结论有4个， 故答案为：4． 28．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．    （1）当平分时，若，则 ． （2）当点G恰为中点时，则 ． 【答案】 4 3 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：4； （2）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 29．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 30．如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点逆时针旋转至，使得点落在对角线上的处，连结，点分别为中点，连接，若，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 将绕点逆时针旋转至， ，， ， 以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 设， ， 解得（负数舍去）， ， ，， ， ， ， 点分别为中点， ， 即， ，故答案为： 31．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，的延长线交于点，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又由旋转可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在边上移动时，点在射线上移动， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 即， 作点关于的对称点，连接，交于点，如图，则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段的长，即为， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 32．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ． 【答案】 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，， ，，， 为中点， ， 由翻折可得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得 ∴直线解析式为， 令得， ， ∴， ， ； 故答案为：，． 33．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为 【答案】96 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； 如图，设和的垂直平分线交于点，连接、、， 则， ∴，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴的值为96． 故答案为：96． 34．在正方形中，E为上一点，作的垂直平分线交于点F，交于点G，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点G作于点H，证明，连接，设，，，利用勾股定理解答即可. 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 【详解】解：过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 连接， ∵作的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ 35．如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】连接，，根据题意及正方形的性质，证得四边形是平行四边形，得到，，进而证明四边形是矩形，得到，， 从而得到，结合，得到， 根据正方形的对称性得到，， 进而根据角和边的等量代换证得，，从而得到是等腰直角三角形， 已知的长，根据勾股定理可求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，从而可解得正方形的边长． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 即也是正方形的对称轴， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 即， （负值已舍去）， ， 即正方形的边长为． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键． 36．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ． 【答案】 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，， ，，， 为中点， ， 由翻折可得：，，，， ， ∵， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得 ∴直线解析式为， 令得， ， ∴， ， ； 故答案为：，． 37．如图，在矩形中，，，点、分别为边、上的动点，且，在的右上方作等边，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，作射线，延长至点E，使，连接，，根据证明，得出，根据证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值，最小值为，最后在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作射线，延长至点E，使，连接，， ∵ 等边三角形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值，最小值为， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴在中，，， 即的最小值为， 故答案为：． 38．如图，在菱形中，，点E为边上一点．以点E为顶点在右侧作，射线交于点F，过点A作交射线于点H，连接在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形面积为 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键； 作出辅助线，依题意当与重合，再根据，进而得到线段扫过的图形为，再利用勾股定理分别求出，根据全等得，再次运用勾股定理求出，据此可求出的面积即可得出答案． 【详解】解：连接交于点O，过点A作交于点P，作直线交于K，过点A作交于Q，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴ ， ∴当点H与点P重合， ∴与重合， ∵，作 ∴， ∴点H在直线CP上运动，当点E与点C重合时，点H与点Q重合， ∴与重合， ∴在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形为， ∵， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即直线， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形的面积是 故答案为： 39．如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了菱形的性质，二次根式的混合运算以及勾股定理等知识． 利用菱形的对角线平分对角，结合，，利用勾股定理，表示出，的长，进而即可解决问题． 【详解】解：过点E作于点M，连接交于点O，如图所示： ∵四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，， ∴，， ∴和都是等边三角形， 设菱形的边长为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 则在中，，则， 那么， ∴， 在中，，则， ∴，故②正确； 那么，则，， ∴， 故③正确； 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：4． 40．如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接． （1）当E是的中点时，的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称图形的性质求最短路径，掌握正方形的性质，轴对称图形的性质，构造合理的辅助线是关键． （1）根据正方形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质即可得到； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线的性质，得到，结合，得到，如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接，得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， ∵以为边在直线左侧作正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴； （2）解：如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接， 在中，是中点，则， 又， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段上运动， ∵作点关于的对称点， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：①；② ． 三、解答题【共10小题】 41．在等腰中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得，连接交于点． (1)如图1，若，当点移动到中点时，若，求线段的长度； (2)如图2，取的中点，连接．猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的基础上；若，当时，连接，与交于点， ，直接写出的值___________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，，证明，得到； （2）延长至点，使，连接，得到为的中位线，，证明，即可得到； （3）延长至点，使，连接，连接交于，由（2）得；，证得为等边三角形，，得到，则、、三点共线，由（2）得为的中位线，根据，证得，求出，再证得四边形为矩形，得到，，，推出，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，点为中点， ∴，， ∴， 由旋转得， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： 延长至点，使，连接， 又∵点为中点， ∴为的中位线，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵，且旋转得， ∴， ∴； （3）如图，延长至点，使，连接，连接交于， 由（2）得；， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴，则、、三点共线， 由（2）得为的中位线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ，， ∵为等边三角形，即， ∴，   又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线于点F． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）存在，的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可证明； （2）作于G，可得，从而得到，再根据勾股定理可得，然后根据即可求解； （3）分两种情况讨论：当点E在上时；当点E在的延长线上时，利用矩形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将边绕点A逆时针旋转（）得到线段， ∴， ∴此时点在上， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图2，作于G， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在θ，使点F，E，D三点共线，理由如下： 如图，当点E在上时，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； 如图，当点E在的延长线上时，    同理， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 43．【问题初探】 在数学课上，小李老师给出如下问题，如图1，△ABC中，为等边三角形，，求的长． 思路1：如图2，小明同学由入手，以为边构造等边，得到与 全等的三角形，转移边和角，从而求出的长． 思路2：如图3，小刚同学通过度量发现，，由，想到构造与全等的三角形，转移边和角，从而求出的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程； 【学以致用】小李老师接着又给出下一问题， （2）中，中，，，求的长． 【答案】（1），过程见解析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）思路1：在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；再证明，得到，求出，得到，则； 思路2：延长到G，使得，连接，证明，得到；求出，得到，则，即可得到； （2）作，且使得，连接，证明，得到；过点E作交延长线于F，则，可得，；过点E作交延长线于G，则四边形是矩形，据此求出的长，再利用勾股定理求出的长就可得到答案． 【详解】解：（1）思路1，如图所示，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 思路2：如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，作，且使得，连接， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点E作交延长线于F， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点E作交延长线于G， ∴； 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处． (1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论： (2)如图2，延长交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定及性质、折叠的性质、勾股定理的应用； （1）由折叠的性质得，再由分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，可得，，从而得出四边形是四边相等的四边形，所以四边形是菱形； （2）由折叠的性质得，利用同角的余角相等可得，即可找到三角形全等的条件； （3）连接，由三角形全等和折叠性质可得，，，再结合平行线的性质可得出，从而得出，，最后利用建立方程求解即可. 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处， ∴， ∵分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形 （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∴ （3）解：连接，如图所示， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故的长为 45．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为 【特例探究】（）如图，连接，与交于点，当点三点共线时，与相等的角为________（写出一个即可）． （）如图，为的中点，点恰好落在边上．①直接写出四边形的形状：________，________（填“”“”或“”） ②延长交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（）如图，将矩形纸片更换为平行四边形，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时直接写出的值． 【答案】（）或（任选一个）；（）①菱形，；②，理由见解析；（）或 【分析】（）根据折叠的性质和余角性质解答即可求解； （）①由折叠的性质和等腰三角形的判定可得，即得四边形是菱形，进而根据为的中点可得，即得，即可得；②连接，即可求解； （）分和，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∵点三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与相等的角为或， 故答案为：或（任选一个）； （）①由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：菱形，； ②，理由如下： 连接， 由折叠可得，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，的值为或． 46．综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题． 【问题情境】 正方形中，点P是射线上的一个动点，过点C作于点E，点Q与点P关于点E对称，连接，设，． 【初步探究】 （1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了时的情形，射线与边交于点F．他们得出此时α与β的关系是．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段的延长线上(如图2)时，求α，β的度数； 【深入探究】 （2）敏学小组的同学画出时的图形如图3，射线与边交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论； 【拓展延伸】 （3）请你借助图4进一步探究： ①当时，α与β之间的等量关系为 ； ②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当时，的长为 ． 【答案】（1），；（2）；理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）由平行线得出，证出，再根据，即可得出结果； （2）连接，由对称的性质和等腰三角形的性质得出，证明，得出，，推导出，得出，即可得出结论； （3）①，设交于点H，先推出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； ②分三种情况：当时，，不合题意；当时，，得出，作于M，证出，，设，则，，得出方程，解得：，得出，在中，求出；当时，，得出，不合题意． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，点Q恰好落在线段的延长线上， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，； （2）α与β的关系是；证明如下： 连接，如图3所示： ∵点Q与点P关于点E对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）①当时，α与β之间的等量关系为；理由如下： 连接，设交于点H，如图4所示： ∵点Q与点P关于点E对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； 故答案为：； ②当时，，不合题意； 当时，， ∵， ∴， 作于M，如图5所示： ∵，， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴，不合题意； 综上所述，在点P运动过程中，当时，的长为； 故答案为：． 47．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点． (1)如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________； (2)如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长； (3)如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)正方形，，． (2)13 (3)，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质以及角平分线的性质可得，可证四边形是正方形，再证明可得． （2）由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得,，再由勾股定理即可求得； （3）如图：过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明可得，即，再说明是等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴是正方形， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：正方形，，． （2）解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得； ∵， ∴，， 由（1）知，, ∵ ∴． （3）解：，理由如下： 如图：过点C作交于Q，连接； ∵四边形为正方形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 48．如图，正方形中，G是延长线上的一点，E是线段上的一点，平分，连接，． (1)如图1，当E在边上时，求证． (2)如图2，当E在边延长线上时，连接交延长线于点F，连接，请直接写出之间的数量关系 (3)在（2）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)10 【分析】（1）过点作于点，则为等腰直角三角形，，设，则，由于，则由勾股定理得到，那么，整理得 ，解得，故，证明，则，即可证明； （2）过点E作交于T，连接，先证明，得到是等腰直角三角形，则，过点P作交延长线于N，于H，可得四边形是正方形，则；在射线上取一点M，使得，连接，先证明，再证明，则；然后证明，则，，那么，由，得到，即可证明； （3）设，则，，，由勾股定理得，解得，则，；由勾股定理得，则，再由，得到，解得，则． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设， 则 ∵， ∴， ∴， ， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图所示，过点E作交于T，连接， 由（1）可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，过点P作交延长线于N，于H， ∵平分 ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 如图所示，在射线上取一点M，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，， ∴由（2）结论，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，二次根式的运算，因式分解的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于作出辅助线构造全等三角形和直角三角形． 49．综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． （1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； （2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； （3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求． 【详解】解∶（1）在菱形中，，且， 是等边三角形 ， 已知点在线段的中垂线上， ， ， 由旋转的性质可知：， ， ， 故答案为：； （2）四边形是矩形． 理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形为矩形． （3）的长为或． 理由：①当时，如图， ， ， 点为的中点， 为的中位线， 点为中点， ， ， ， ∴． ①当时，如图， 取中点为，连接， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵为中点， ∴ 即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 50．问题发现： （1）如图①，正方形的边长为8，对角线相交于点是上一点（点E不与重合），将射线绕点O逆时针旋转，所得射线与交于点F，则四边形的面积为________． 问题探究： （2）如图②，点C为线段上一点，在上方作四边形，使，且，连接，若，求的最大值． 问题解决： （3）口袋公园为西安增绿添彩，一草一木尽显匠心．某社区准备在小区内部建造一个口袋公园，图③为口袋公园的平面示意图，在四边形中，米．其中为步行小路，考虑到延长小路增加观赏时间，要求三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）米； 【分析】（1）如图1中，证明即可解决问题． （2）先根据直角三角形斜边中线性质得出线段相等关系，推导角的度数，再结合等腰三角形性质和勾股定理确定相关线段长度，最后依据两点之间线段最短求出最大值． （3）如图3中，将绕点顺时针旋转得到，首先证明，当最大时，的值最大． 【详解】解：（1）如图1中，   四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． （2）如图中，连接，，取的中点，连接，，延长到，在平面内取一点，连接、、，使得，延长到，   ，， ， ∴，，， ∴，， 即， ，， ， ， ∵ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴根据两点之间，线段最短得， ∴的最大值为． （3）如图3中，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ，，三点共线， ，， ， ， ， 当最大时，的值最大， 取的中点，连接，． （米， ，即（米 ，，共线时，的值最大，最大值米． 学科网（北京）股份有限公司 $