4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列，涵盖概念、通项公式、判定证明及等比中项等核心知识点。课堂导入可通过等差数列对比，结合细胞分裂等实例引导学生观察公比特征，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点是分层设计题型，从基础概念辨析（如多选判断等比数列定义）到综合应用（如直角三角形三边成等比数列求正弦值），注重构造法证明（如构造b_n=a_n+3证等比），培养数学思维与模型意识。解析详细，助力学生夯实基础，也为教师提供分层教学资源。

第四章　数列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　等比数列的定义 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…成等比数列 解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，故不是等比数列，D错误．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 知识点二　等比数列的通项公式 3．若一个数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2028是这个数列的 (　　) A．a2028不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第340项 解析：记a－6，1，a6，a12，a18，…为数列{bn}，则它是首项为a－6，公比为a6的等比数列，于是bn＝a－6·(a6)n－1＝a6n－12，由6n－12＝2028，得n＝340，所以a2028是这个数列的第340项．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 知识点四　等比中项及应用 7．若1，x，y，z，16成等比数列，则y的值为(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．2 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 13 2．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：设等比数列{an}的公比为q.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 3．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．16 解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 三、填空题 8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 9．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，等比数列的公比q＝___，此时数列{an}的通项公式为an＝______． 2 2n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 四、解答题 11．已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a3a4＝288，a6＋a7＝6a5，求数列{an}的通项公式． 解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由a6＋a7＝6a5，得a1q5＋a1q6＝6a1q4，即q2＋q－6＝0， 解得q＝2或q＝－3(舍去)． 由a3a4＝288，得a1q2·a1q3＝288， 解得a1＝3， 所以an＝3×2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 12．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an. 解：(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15. 下面证明{an－n}是等比数列： 由an＝3an－1－2n＋3可得an＋1＝3an－2(n＋1)＋3， an＋1－(n＋1)＝3an－2(n＋1)＋3－(n＋1)＝3(an－n)， 又a1－1＝－2≠0，所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，所以an＝n－2×3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 13．已知正项数列{an}中，a1＝3，an＋1－1＝(an－1)2，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n＋1 B．an＝22n－1 C．an＝22n－1＋1 D．an＝22n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：A中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B中，eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，所以该数列不是等比数列；C中的数列是首项为1，公比为－eq \f(1,2)的等比数列；D中的数列是首项为eq \f(1,a)，公比为eq \f(1,a)的等比数列．故选ACD. 2．[多选]下列数列为等比数列的是(　　) A．b，b，b，b，…(b为常数，b≠0) B．22，42，62，82，… C．1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D.eq \f(1,a)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a3)，eq \f(1,a4)，… 4．[多选]下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是(　　) A．an＝(－1)n·32n－1 B．an＝eq \r(n) C．an＝2－n D．an＝log2n 解析：对于A，an＝(－1)n·32n－1，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(（－1）n＋1·32n＋1,（－1）n·32n－1)＝－9，是常数；对于B，an＝eq \r(n)，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋1),\r(n))，不是常数；对于C，an＝2－n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2－n－1,2－n)＝eq \f(1,2)，是常数；对于D，an＝log2n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(log2（n＋1）,log2n)，不是常数．故选AC. 知识点三　等比数列的判定与证明 5．已知数列{an}的首项a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，n∈N*，求证数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列，并求出{an}的通项公式． 解：由题意知an>0，eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,3an)＝eq \f(1,3an)＋eq \f(2,3)，eq \f(1,an＋1)－1＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，eq \f(1,a1)－1＝eq \f(2,3)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是首项为eq \f(2,3)，公比为eq \f(1,3)的等比数列， 所以eq \f(1,an)－1＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－1)＝eq \f(2,3n)，所以an＝eq \f(3n,3n＋2). 解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)， 当n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3， 当n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， 当n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21. (2)因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得an＋1＝2an＋3， 又bn＝an＋3，所以bn＋1＝an＋1＋3，所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3＋3,an＋3)＝2， 得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6，所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝6×2n－1，所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1×y，,y2＝1×16，))解得y＝4.故选A. 8．已知一等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13eq \f(1,2)是该数列的第____项． 解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4.又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾；当x＝－4时，2x＋2＝－6，3x＋3＝－9，eq \f(－6,－4)＝eq \f(－9,－6)＝eq \f(3,2)，故该数列是首项为－4，公比为eq \f(3,2)的等比数列，其通项公式为an＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1，由－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1＝－13eq \f(1,2)，得n＝4. 一、单项选择题 1．在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，公比q＝2，则a4与a6的等比中项是(　　) A．2 B．±4 C．4 D．－4 解析：因为在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，公比q＝2，所以a4＝a1q3＝eq \f(1,4)×23＝2，a6＝a1q5＝eq \f(1,4)×25＝8，所以a4与a6的等比中项为±eq \r(2×8)＝±4.故选B. 4．若数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n)，则(　　) A．数列{an＋an＋1}是首项为eq \f(1,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,4)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列 C．数列{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列 D．数列{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列 解析：因为an＋an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)，eq \f(an＋1＋an＋2,an＋an＋1)＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n＋2),－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n＋1))＝－eq \f(1,2)，a1＋a2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,4)，所以{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,4)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列．故选B. 5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，则其公比为(　　) A.eq \f(5,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2) 解析：设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)(100＋x)，解得x＝25.故这三个数依次为45，75，125，公比q＝eq \f(75,45)＝eq \f(5,3). 二、多项选择题 6．已知正项等比数列{an}的公比为q，若a3＋a4＝4(a1＋a2)，且a3＝eq \f(4,3)，则(　　) A．q＝3 B．a5＝eq \f(16,3) C．eq \f(1024,3)是数列{an}中的项 D．a1＝3 解析：由a3＋a4＝4(a1＋a2)，可得q2＝4，所以q＝2，A错误；a5＝a3×4＝eq \f(16,3)，B正确；an＝a3qn－3＝eq \f(4,3)×2n－3＝eq \f(2n－1,3)，eq \f(1024,3)＝eq \f(211－1,3)，所以eq \f(1024,3)是数列{an}中的项，故C正确；由q＝2，可得a1＝eq \f(1,3)，D错误．故选BC. 7．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝8，且T4＝T3，则下列结论正确的是(　　) A．a4＝1 B．{an}的公比为eq \f(1,2) C．T3＝32 D．Tn＝2eq \s\up7(\f(（7-n）n,2)) 解析：因为T4＝T3，所以a4＝1，A正确；设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝a1q3，a1＝8，所以q＝eq \f(1,2)，B正确；Tn＝a1a2…an＝23×22×21×…×24－n＝2eq \s\up7(\f(（7-n）n,2))，D正确；由D项知，T3＝26＝64，C错误．故选ABD. 解析：设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，所以q2＝eq \f(\r(5)＋1,2).记较小的锐角为θ，则sinθ＝eq \f(1,q2)＝eq \f(\r(5)－1,2). eq \f(\r(5)－1,2) 解析：由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq \f(1,q－1).a3＝a1q2＝eq \f(q2,q－1)＝eq \f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q＞0)，而－eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)　①，当q＝2时，①式有最大值eq \f(1,4)，所以当q＝2时，a3有最小值4.此时a1＝eq \f(1,q－1)＝eq \f(1,2－1)＝1，数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 10．已知一个等比数列的前4项积为eq \f(1,16)，第2项与第3项的和为eq \r(2)，则这个等比数列的公比为___________________． 解析：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2（q＋q2）2＝2，))所以eq \f(a2q3,a2（q＋q2）2)＝±eq \f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2eq \r(2)或q＝－5±2eq \r(6). 3±2eq \r(2)或－5±2eq \r(6) 解析：因为正项数列{an}中，a1＝3，an＋1－1＝(an－1)2，显然an≠1，所以an＋1－1＝(an－1)2>0，所以对an＋1－1＝(an－1)2两边同时取对数，可得lg (an＋1－1)＝lg (an－1)2＝2lg (an－1)，所以eq \f(lg （an＋1－1）,lg （an－1）)＝2，所以{lg (an－1)}是以lg (a1－1)＝lg 2为首项，2为公比的等比数列，所以lg (an－1)＝(lg 2)·2n－1＝lg 22n－1，所以an－1＝22n－1，所以an＝22n－1＋1.故选C. 14．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)，设bn＝log3(an＋2)． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设数列cn＝eq \f(3bn,anan＋1)，且对任意正整数n，不等式cn≤λ恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)由a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)， 可得an＋2＝3an－1＋6＝3(an－1＋2)，a1＋2＝3， 即数列{an＋2}是首项和公比均为3的等比数列， 则an＋2＝3n，即an＝3n－2， 即bn＝log3[(3n－2)＋2]＝n. (2)由(1)，知cn＝eq \f(3bn,anan＋1)＝eq \f(3n,（3n－2）（3n＋1－2）)>0， 因为eq \f(cn＋1,cn)＝eq \f(3n＋1,（3n＋1－2）（3n＋2－2）)· eq \f(（3n－2）（3n＋1－2）,3n)＝eq \f(3n＋1－6,3n＋2－2)<1， 所以{cn}为递减数列，所以cn≤c1＝eq \f(3,7)， 又对任意正整数n，不等式cn≤λ恒成立，所以λ≥eq \f(3,7)， 即实数λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞)). $