4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版）

第四章　数列 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念与通项公式 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 4．[多选]已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 解析：令{an}的公差为d且d≠0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，若{an}为递减数列，则d<0，结合一次函数的性质，不论a1为何值，均存在正整数N0，当n>N0时，an<0，充分性成立；若存在正整数N0，当n>N0时，an<0，由于d≠0，即{an}不为常数列，故an＝dn＋(a1－d)递减，即d<0，所以{an}为递减数列，必要性成立．所以“{an}为递减数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an<0”的充要条件．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 8．已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 解： (1)设等差数列{an}的公差为d. 由于(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5. 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5， 解得d＝2，于是an＝2n－1. (2)数列{an}的图象是直线y＝2x－1上一些离散的点， 如图所示． (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是 递增数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 40分钟综合练 一、单项选择题 1．在等差数列{an}中，a5＝11，a11＝5，则a1＝(　　) A．－15 B．15 C．25 D．－25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 2．给出下列结论： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)； ④数列{2n＋1}是等差数列． 其中正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 解析：由题易知②③④中结论正确，①中数列的公差为－2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 3．等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*) C．an＝－2n＋12(n∈N*) D．an＝－2n＋10(n∈N*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 二、多项选择题 6．下列关于等差数列{an}单调性的结论，正确的是(　　) A．若数列{an}是递增数列，则公差d>0 B．若公差d≠0，则数列{an}一定是递增数列或者递减数列 C．若a1<a2<a3，则数列{an}是递减数列 D．若a2<a4<a6，则数列{an}是递增数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 三、填空题 8．在等差数列{an}中，a11＝3，a7＋2a10＝3，则a2025＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d.由a11＝3，得a7＋4d＝3，由a7＋2a10＝3，得a7＋2(a7＋3d)＝3，整理得a7＋2d＝1，解得d＝1，a7＝－1，因此等差数列{an}的通项公式为an＝a7＋(n－7)d＝n－8，所以a2025＝2017. 2017 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 9．已知b是a，c的等差中项，且a>b>c，若lg (a＋1)，lg (b－1)，lg (c－1)成等差数列，a＋b＋c＝15，则a的值为____． 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 解析：由题意，得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，且b1＝a2＝a1＋1＝2，所以{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，则bn＝2＋3×(n－1)＝3n－1，所以b20＝3×20－1＝59. 59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　等差数列的定义及应用 1．下列数列是等差数列的是(　　) A．eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，eq \f(1,9) B．1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7) C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 解析：∵eq \f(1,5)－eq \f(1,3)≠eq \f(1,7)－eq \f(1,5)，故排除A；∵eq \r(3)－1≠eq \r(5)－eq \r(3)，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C.故选D. 2．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}分别满足下列各式，其中数列{bn}必为等差数列的是(　　) A．bn＝|an| B．bn＝aeq \o\al(2,n) C．bn＝eq \f(1,an) D．bn＝－eq \f(an,2) 解析：设数列{an}的公差为d，选项A，B，C都不一定满足bn－bn－1为同一常数，所以这三个选项都不符合题意．对于D，因为当n≥2时，bn－bn－1＝－eq \f(an,2)＋eq \f(an－1,2)＝eq \f(an－1－an,2)＝－eq \f(d,2)，所以数列{bn}必为等差数列． 知识点二　等差数列的通项公式 3．在等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝(　　) A．48 B．49 C．50 D．51 解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq \f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq \f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50. 解析：由题设可知an＝1＋(n－1)d，81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝eq \f(80,d)＋1，因为d，n∈N*，所以d是80的因数，结合选项知A，C，D符合题意． 5．已知数列{an}满足a1＝1，eq \f(1,an＋1)＝2,n)eq \r(\f(1,a)＋2) ，an>0，则数列{an}的通项公式为___________________． 解析：因为eq \f(1,an＋1)＝2,n)eq \r(\f(1,a)＋2) ，所以2,n＋1)eq \f(1,a) ＝2,n)eq \f(1,a) ＋2，2,n＋1)eq \f(1,a) －2,n)eq \f(1,a) ＝2，所以数列2,n)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) 是以2,1)eq \f(1,a) ＝1为首项，2为公差的等差数列，所以2,n)eq \f(1,a) ＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又an>0，所以an＝eq \f(1,\r(2n－1))(n∈N*)． an＝eq \f(1,\r(2n－1))(n∈N*) 知识点三　等差中项 6．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a与b的等差中项为(　　) A.eq \r(3) B.eq \r(2) C.eq \f(1,\r(3)) D.eq \f(1,\r(2)) 解析：设a与b的等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq \f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq \r(3)－eq \r(2))＋(eq \r(3)＋eq \r(2))＝2eq \r(3)，∴x＝eq \r(3).故选A. 知识点四　等差数列与函数的关系 7．设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递减数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设等差数列{an}的公差为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＝11，,a11＝5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝11，,a1＋10d＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝15，,d＝－1.))故选B. 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2a4＝12，,a2＋a4＝8，,d＜0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10(n∈N*)． 4．已知数列{an}是等差数列，且3aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＝4，则a1的最大值为(　　) A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D．1 解析：设数列{an}的公差为d，由3aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＝4，得3aeq \o\al(2,1)＋(a1＋d)2＝4，整理得d2＋2a1d＋4aeq \o\al(2,1)－4＝0，把该式看作关于d的一元二次方程，则Δ＝4aeq \o\al(2,1)－4(4aeq \o\al(2,1)－4)≥0，解得－eq \f(2\r(3),3)≤a1≤eq \f(2\r(3),3).故选A. 5．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝eq \f(an,an＋1).若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－6) B．(－7，－6) C．(－6，－5) D．(6，7) 解析：∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1，∴bn＝eq \f(an,an＋1)＝1－eq \f(1,n＋a).又对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知eq \f(1,6＋a)≤eq \f(1,n＋a)，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6.故选B. 解析：对于A，若数列{an}是递增数列，则an＋1－an>0，即公差d>0，故A正确．对于B，若公差d≠0，则d>0或d<0，当d>0时，有an＋1－an>0，则数列{an}是递增数列；当d<0时，有an＋1－an<0，则数列{an}是递减数列，故B正确．对于C，若a1<a2<a3，因为数列{an}是等差数列，则a2－a1＝a3－a2＝d>0，所以数列{an}是递增数列，故C错误．对于D，若a2<a4<a6，因为数列{an}是等差数列，则a4－a2＝a6－a4＝2d>0，即d>0，所以数列{an}是递增数列，故D正确．故选ABD. 7．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，eq \f(2,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列 C．an＝eq \f(1,n) D．an＝n 解析：由eq \f(2,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)，得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,an＋2)－eq \f(1,an＋1)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝1，公差为eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝2－1＝1的等差数列，所以eq \f(1,an)＝n，即an＝eq \f(1,n).故选BC. 解析：由题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,2lg （b－1）＝lg （a＋1）＋lg （c－1），,a＋b＋c＝15，,a>b>c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝5，,c＝3.)) 10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数.))记bn＝a2n，则b20＝____． 四、解答题 11．已知f(x)＝eq \f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq \f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，并求x95的值． 解：因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq \f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)， 即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq \f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,2)(n≥2)． 又eq \f(1,x1)＝3，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列， 所以eq \f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n＋5,2)，所以xn＝eq \f(2,n＋5)，所以x95＝eq \f(2,95＋5)＝eq \f(1,50). 12．若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项． (1)求eq \f(1,3)和1的调和中项； (2)已知调和数列{an}，a1＝6，a4＝2，求{an}的通项公式． 解：(1)设eq \f(1,3)和1的调和中项为b，依题意，得3，eq \f(1,b)，1依次成等差数列， 所以eq \f(1,b)＝eq \f(3＋1,2)＝2，即b＝eq \f(1,2). (2)依题意，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，设其公差为d， 则3d＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)，解得d＝eq \f(1,9)， 所以eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,9)(n－1)＝eq \f(2n＋1,18)， 故an＝eq \f(18,2n＋1). 13．已知数列{an}满足a2＝－3，(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－1)(2n－3)，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝－n＋eq \f(12,n)－7 B．an＝(1＋n)(1－n) C．an＝(n－3)(2n－1) D．an＝(n－5)(2n－3) 解：∵(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－1)(2n－3)，∴eq \f(an＋1,2n－1)＝eq \f(an,2n－3)＋1，当n＝1时，－a2＝a1－1，即a1＝1－a2＝4，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n－3)))是首项为eq \f(a1,2－3)＝－4，公差为1的等差数列，∴eq \f(an,2n－3)＝－4＋(n－1)＝n－5，即an＝(n－5)(2n－3)．故选D. 14．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3－eq \f(1,an－1)(n∈N*)，令bn＝eq \f(1,an－2). (1)求a2，a3的值； (2)求证数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式． 解： (1)因为a1＝3，且an＋1＝3－eq \f(1,an－1)，所以a2＝3－eq \f(1,a1－1)＝eq \f(5,2)， a3＝3－eq \f(1,a2－1)＝eq \f(7,3). (2)因为an＋1＝3－eq \f(1,an－1)，所以an＋1－2＝3－eq \f(1,an－1)－2＝eq \f(an－2,an－1)， 两边同时取倒数，有eq \f(1,an＋1－2)＝eq \f(an－1,an－2)＝eq \f(an－2＋1,an－2)＝1＋eq \f(1,an－2)， 又bn＝eq \f(1,an－2)，bn＋1＝eq \f(1,an＋1－2)＝1＋eq \f(1,an－2)， 则b1＝eq \f(1,a1－2)＝1，bn＋1－bn＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以bn＝n， 所以an＝eq \f(1＋2n,n). $