4.1 第1课时 数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版）

第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时 数列的概念与通项公式 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　数列的概念及分类 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…是无穷数列 D．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是不同的数列 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 解析：根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即为4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；如果数列中数的顺序不同，那么它们就是两个不同的数列，故D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 ① ②③④⑤ ①② ③ ⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 解析：①是有穷数列，也是递增数列；②是无穷数列，也是递增数列；③是无穷数列，也是递减数列；④是无穷数列；⑤是无穷数列，也是常数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 知识点三　数列通项公式的应用 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则72是数列{an}的(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：由题意，数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，令n2＋n＝72，解得n＝8或n＝－9(舍去)，所以72是数列{an}的第8项． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 解析： a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 8．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n2＋32n，则该数列中数值最大的项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示． 按照上面的规律，摆第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 解析：由题图可知，摆第一个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋6＝8；摆第二个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋2×6＝14；摆第三个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋3×6＝20；…；摆第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋n×6＝6n＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 三、填空题 8．已知一组数1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，按这组数的规律，x应为_____． 解析：因为1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，所以x＝5＋8＝13. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 10．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是____． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 (2，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 　　　　　　　　　　　　　 R 2．已知下列数列： ①1，3，5，7，…，2n－1； ②1，4，7，10，…； ③1，eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(3),3)，eq \f(1,2)，eq \f(\r(5),5)，…； ④－2，0，－2，0，…，(－1)n－1，…； ⑤b，b，b，b，…. 其中，有穷数列是____，无穷数列是__________，递增数列是_____，递减数列是____，常数列是____．(将正确的序号填在横线上) 知识点二　根据数列的前几项求通项公式 3．数列1，eq \f(5,3)，eq \f(5,2)，…的通项公式可能是(　　) A．an＝eq \f(n2＋1,n＋1) B．an＝eq \f(n＋1,n2＋1) C．an＝eq \f(n2,2n－1) D．an＝eq \f(2n－1,n2) 解析：对于B，当n＝2时，a2＝eq \f(2＋1,22＋1)＝eq \f(3,5)≠eq \f(5,3)；对于C，当n＝3时，a3＝eq \f(32,2×3－1)＝eq \f(9,5)≠eq \f(5,2)；对于D，当n＝3时，a3＝eq \f(2×3－1,32)＝eq \f(5,9)≠eq \f(5,2)；四个选项中只有an＝eq \f(n2＋1,n＋1)同时满足a1＝1，a2＝eq \f(5,3)，a3＝eq \f(5,2).故选A. 4．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)0.3，0.33，0.333，0.3333，…； (2)1eq \f(1,2)，2eq \f(4,5)，3eq \f(9,10)，4eq \f(16,17)，…. 解：(1)0.3＝eq \f(1,3)×(1－0.1)＝eq \f(1,3)×(1－10－1)，0.33＝eq \f(1,3)×(1－10－2)，0.333＝eq \f(1,3)×(1－10－3)，0.3333＝eq \f(1,3)×(1－10－4)，故an＝eq \f(1,3)×(1－10－n)． (2)1eq \f(1,2)＝1＋eq \f(12,12＋1)，2eq \f(4,5)＝2＋eq \f(22,22＋1)，3eq \f(9,10)＝3＋eq \f(32,32＋1)，4eq \f(16,17)＝4＋eq \f(42,42＋1)，故an＝n＋eq \f(n2,n2＋1). 6．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－1，n为奇数，,2n－2，n为偶数，))则a2a3的值是____． 知识点四　数列的单调性及应用 7．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋1)，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．先增后减数列 D．常数列 解析：因为an＝eq \f(2n,n＋1)＝2－eq \f(2,n＋1)，所以{an}是递增数列．故选A. 解析：an＝－3n2＋32n＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(16,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(256,3)，因为n∈N*，5＜eq \f(16,3)＜6，且a5＝85，a6＝84，所以该数列中数值最大的项为第5项．故选B. 一、单项选择题 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．2，4，8，12 B．0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，… C．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，… D．1，－eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，eq \f(（－1）n－1·n,2n－1)，… 解析：对于A，是有穷递增数列；对于B，因为eq \f(n－1,n)＝1－eq \f(1,n)，所以是无穷递增数列；对于C，是无穷递减数列；对于D，数列中的项正负交替，不是递增数列．故选B. 2．已知数列2，eq \r(6)，2eq \r(2)，eq \r(10)，2eq \r(3)，…，eq \r(2（n＋1）)，…，则eq \r(42)是这个数列的(　　) A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 解析：令eq \r(2（n＋1）)＝eq \r(42)，得n＝20，所以eq \r(42)是这个数列的第20项．故选D. 4．给出下列命题：①已知数列{an}，an＝eq \f(1,n（n＋2）)(n∈N*)，那么eq \f(1,120)是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…的一个通项公式是an＝eq \r(3n－1)；③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．其中正确命题的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：对于①，令an＝eq \f(1,n（n＋2）)＝eq \f(1,120)，解得n＝10，易知最大项为第1项，①正确；对于②，数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…，可化为eq \r(3×1－1)，eq \r(3×2－1)，eq \r(3×3－1)，eq \r(3×4－1，)…，所以它的一个通项公式为an＝eq \r(3n－1)，②正确；对于③，由an＝kn－5，且a8＝11，得k＝2，则an＝2n－5，a17＝29，③正确；对于④，由an＋1－an＝3>0，得数列{an}是递增数列，④正确．故选A. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－n－2，若{an}为递增数列，则k的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) 解析：若{an}为递增数列，则an＋1>an(n∈N*)，即k(n＋1)2－(n＋1)－2>kn2－n－2(n∈N*)，解得k>eq \f(1,2n＋1)(n∈N*)，则k>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)))eq \s\do7(max)，又数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)))递减，所以当n＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)))eq \s\do7(max)＝eq \f(1,3)，所以k>eq \f(1,3)，即k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).故选D. 二、多项选择题 6．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(n)，那么在此数列中最大的项为(　　) A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 解析：因为数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(n)，所以an＋1＝(n＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(n＋1)，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋3,n＋2)×eq \f(9,10)，令eq \f(an＋1,an)≥1，解得n≤7，即当n≤7时，数列递增，当n＞7时，数列递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞…，所以a7＝a8最大．故选AB. 7．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3n－2,3n＋1)，则下列说法正确的是(　　) A．这个数列的第10项为eq \f(27,31) B．eq \f(97,100)是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))内 D．数列{an}是递减数列 解析：令n＝10，得a10＝eq \f(28,31)，故A不正确；令eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(97,100)，得n＝33，故eq \f(97,100)是该数列的第33项，故B正确；因为an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)，n∈N*，所以数列{an}是递增数列，所以eq \f(1,4)＝a1≤an<1，所以数列中的各项都在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))内，故C正确，D不正确．故选BC. 9．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，则eq \r(10)－3是数列{an}的第___项． 解析：an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，∵eq \r(10)－3＝eq \r(9＋1)－eq \r(9)，∴eq \r(10)－3是数列{an}的第9项． 解析：a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)×…×eq \f(lg 32,lg 31)＝eq \f(lg 32,lg 2)＝log232＝log225＝5. 四、解答题 11．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝eq \f(n＋1,n). 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图1. (2)a1＝2，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(4,3)，a4＝eq \f(5,4)，a5＝eq \f(6,5)，图象如图2. 12．写出下列各数列的一个通项公式： (1)2，eq \f(4,3)，eq \f(8,5)，eq \f(16,7)，eq \f(32,9)，…； (2)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (3)－eq \f(1,3×5)，eq \f(2,5×7)，－eq \f(3,7×9)，eq \f(4,9×11)，…. 解：(1)数列可写成eq \f(21,2×1－1)，eq \f(22,2×2－1)，eq \f(23,2×3－1)，eq \f(24,2×4－1)，eq \f(25,2×5－1)，…，所以数列的一个通项公式为an＝eq \f(2n,2n－1). (2)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，9＋0，…，所以数列的一个通项公式为an＝n＋eq \f(1＋（－1）n,2). (3)数列的奇数项为负，偶数项为正．分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，9×11，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)neq \f(n,（2n＋1）（2n＋3）). 13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x＞7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且是递增数列，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意，得点(n，an)在分段函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x＞7))的图象上．因此当3－a＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜a7；当a＞1时，a8＜a9＜a10＜…；为使数列{an}递增还需a7＜a8.故实数a满足条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a＞0，,a＞1，,f（7）＜f（8），))解得2＜a＜3，故实数a的取值范围是(2，3)． 14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq \f(1,2)，a2＝－eq \f(3,4). (1)求{an}的通项公式； (2)－eq \f(255,256)是{an}中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解： (1)∵an＝pn＋q，a1＝－eq \f(1,2)，a2＝－eq \f(3,4)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))∴{an}的通项公式是an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)－1. (2)令an＝－eq \f(255,256)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)－1＝－eq \f(255,256)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝eq \f(1,256)，解得n＝8. ∴－eq \f(255,256)是{an}中的第8项． (3)∵an＋1－an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)－1－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)－1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)<0， ∴an＋1<an， ∴{an}是递减数列． $