第2章 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中物理必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教版）

3.匀变速直线运动的位移与时间的关系 【素养目标】　1.理解v-t图像中图线与t轴所围“面积”即相应时间内的位移。2.了解位移与时间的关系式的推导方法，会用位移与时间的关系式解决有关问题。3.会利用匀变速直线运动的规律推导速度与位移的关系式，会用速度与位移的关系式解决一些简单的问题。 知识点一　匀变速直线运动的位移 【情境导入】　1.如图为匀速直线运动的v-t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？ 2.做匀变速运动的物体，在时间t内的位移与时间的关系是否也可以用v-t图像中图线与时间轴所围的面积表示？ 提示：1.相等　2.可以 【教材梳理】 (阅读教材P42，完成下列填空) 1.利用v-t图像求位移 v-t图像与时间轴所围梯形的面积表示位移，如图所示，x＝(v0＋v)t。 2.位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2。当初速度为0时，x＝at2。 【师生互动】　对于匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 任务1.公式中的矢量有哪些？解题时需注意什么？ 任务2.公式是否适用于匀减速直线运动？ 任务3.如果物体的初速度为零，写出公式的简化形式。 提示：任务1.矢量有x、v0、a，需规定正方向。 任务2.适用。 任务3.x＝at2。 【探究归纳】 1.公式x＝v0t＋at2的矢量性 公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。 (1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。 (2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相反。 2.公式x＝v0t＋at2的特殊形式 当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移x与t2成正比。 3.应用公式x＝v0t＋at2的解题步骤 (1)选择做匀变速直线运动的物体为研究对象，根据题意明确研究过程。 (2)分析研究对象的初速度、加速度、时间和位移，知道其中三个物理量，可计算第四个物理量。 (3)选择正方向，判定各物理量的正负，代入公式计算。 学生用书⬇第37页 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s 2，求： (1)物体在2 s内的位移大小； (2)物体在第2 s内的位移大小； (3)物体在第二个2 s内的位移大小。 答案：(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m 解析：(1)物体在2 s内的位移x2＝a＝×1×22 m＝2 m。 (2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1＝v0＋at1＝(0＋1×1) m/s＝1 m/s 故物体在第2 s内的位移x2'＝v1t1＋a＝ m＝1.5 m。 (3)第2 s末的速度(第二个2 s的初速度)v2＝v0＋at2＝(0＋1×2) m/s＝2 m/s 故物体在第二个2 s内的位移x2″＝v2t2'＋at2' 2＝ m＝6 m。 针对练1.一物体运动的位移与时间的函数关系为x＝(6t＋4t 2) m，则(　　) A.这个物体的初速度为8 m/s B.这个物体的初速度为12 m/s C.这个物体的加速度为－8 m/s 2 D.这个物体的加速度为8 m/s 2 答案：D 解析：根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at 2，结合位移与时间的函数关系x＝(6t＋4t 2) m，可得v0＝6 m/s，a＝8 m/s 2。故选D。 针对练2.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求： (1)物体在前3 s内的位移大小； (2)物体在第3 s内的位移大小。 答案：(1)12.75 m　(2)3.75 m 解析：(1)取初速度方向为正方向，则v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2，物体在前3 s内的位移为x3＝v0t3＋a＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。 (2)同理，物体在前2 s内的位移为x2＝v0t2＋a＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m 因此第3 s内物体的位移x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。 知识点二　速度与位移的关系 【情境导入】　为了减少飞机跑道长度，在一航母上设计了弹射装置。若飞机在起飞过程的初速度为v0，末速度为v，加速度为a，起飞过程为匀加速直线运动。 (1)加速的时间为多少？ (2)跑道的长度为多少？ 提示：(1)由速度与时间的关系式v＝v0＋at，解得t＝。 (2)跑道长度为x＝v0t＋at2＝v0·＋a·＝。 【教材梳理】 (阅读教材P44，完成下列填空) 1.速度与位移的关系式：v2－＝2ax。 2.推导 速度与时间的关系式v＝v0＋at。 位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 由以上两个公式消去t，可得 【师生互动】　假设上述[情境导入]中的飞机完成任务飞回航母，飞回航母时速度的大小为60 m/s，要求在阻拦索的作用下滑行100 m能减速到0，该过程视为匀变速运动。 学生用书⬇第38页 任务1.加速度的方向与速度的方向有什么关系？ 任务2.此过程加速度的大小是多少？ 提示：任务1.方向相反。 任务2.以初速度的方向为正方向，此过程v0＝60 m/s，x＝100 m，v＝0，由0－＝2ax，解得a＝－18 m/s2，即加速度的大小为18 m/s2。 【探究归纳】 1.速度与位移的关系式v2－＝2ax的理解 适用范围 适用于匀变速直线运动 特例 若v0＝0，则v2＝2ax 若v＝0，则－＝2ax 说明 分析和解决不涉及时间的问题时，使用v2－＝2ax更简便 2.公式v2－＝2ax的矢量性 公式中v0、v、a、x都是矢量，应用该关系式解题时一定要先设定正方向，一般取v0的方向为正方向： (1)若是加速运动，a取正值；若是减速运动，a取负值。 (2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同；x＜0，位移的方向与初速度方向相反。 3.注意速度的合理性 利用公式v2－＝2ax求解速度时，通常有两个解，要对两个解的含义及合理性进行讨论。 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。 (1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？ (2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。 答案：(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s 解析：(1)设货车刹车时速度为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝ 由题意知v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，a2＝－5 m/s2 代入数据可得，超载时x1＝45 m 不超载时x2＝22.5 m。 (2)超载货车与轿车碰撞时，由v'2－＝2a1x'可知，相撞时货车的速度大小v'＝＝ m/s＝10 m/s。 针对练1.如图所示，小球A在斜面上匀加速由静止滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则小球在斜面上的加速度a1与平面上加速度a2的大小关系为(　　) A.a1＝a2 B.a1＝2a2 C.a1＝a2 D.a1＝4a2 答案：B 解析：设小球在斜面末端时的速度为v，由速度与位移的关系式得v2－02＝2a1x1，02－v2＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。故选B。 针对练2.若某高速列车在行驶过程中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s的过程中位移为30 m，则当它的速度由15 m/s增加到25 m/s的过程中，位移是(　　) A.60 m B.120 m C.140 m D.160 m 答案：D 解析：列车做匀加速直线运动，由速度与位移的关系式可得－＝2ax1，又－＝2ax2，联立解得x2＝160 m。故选D。 学生用书⬇第39页 知识点三　计算刹车类问题中的位移 　　汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。 1.如果t0＜t，加速度的大小为a，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝，最大距离为x0＝。 2.如果t0＞t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。 答案：4 m/s2，与初速度方向相反　40.5 m 解析：初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s，位移x＝36 m 有x＝v0t＋at2 解得a＝＝ m/s2＝－4 m/s2 即加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反； 根据速度与时间的关系式，可得汽车停止运动的时间t'＝＝ s＝4.5 s 故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等，大小为x'＝｜a｜t'2＝40.5 m。 刹车类问题末速度为零时，可采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。 知识点四　利用v-t图像求位移 　　在v-t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示位移： 1.“面积”有正负 (1)在时间轴上方“面积”为正值，表示位移沿正方向； (2)在时间轴下方“面积”为负值，表示位移沿负方向。 2.“面积”的绝对值表示位移的大小 (1)总位移等于时间轴上、下方“面积”的代数和； (2)总路程为时间轴上、下方“面积”的绝对值之和。 某一做直线运动的物体的v-t图像如图所示，根据图像求： (1)物体距出发点的最远距离； (2)前4 s内物体的位移大小； (3)前4 s内物体通过的路程。 答案：(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m 解析：(1)当物体运动了3 s时，物体距出发点的距离最远，由v-t图像的“面积”表示物体通过的位移可得xm＝×4×3 m＝6 m。 (2)前4 s内物体的位移大小为x＝｜xm｜－｜x'｜＝6 m－×2×1 m＝5 m。 (3)前4 s内物体通过的路程为s＝｜xm｜＋｜x'｜＝6 m＋×2×1 m＝7 m。 针对练.(多选)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前。假设驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车运动的v-t图像如图所示。下列说法中正确的是(　　) 学生用书⬇第40页 A.在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 m B.从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离为15 m C.汽车刹车时的加速度大小为10 m/s2 D.从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度为6 m/s　 答案：ABD 解析： 汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离x1＝vt1＝10×0.5 m＝5 m，故A正确；根据v-t图像的“面积”表示物体通过的位移可知，从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离x＝5 m＋×10×2 m＝15 m，故B正确；汽车刹车时的加速度大小a＝＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误；从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度＝＝ m/s＝6 m/s，故D正确。故选ABD。 课时测评8　匀变速直线运动的位移与时间的关系 (时间：45分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－11题，每题4分，共44分) 1.一质点在0时刻开始做初速度为2 m/s、加速度为4 m/s2的匀加速直线运动，在0～2 s内质点的位移大小为(　　) A.10 m B.12 m C.14 m D.16 m 答案：B 解析：根据匀变速直线运动位移与时间的关系式得x＝v0t＋at2＝2×2 m＋×4×22 m＝12 m。故选B。 2.如图所示，假设机器人送餐时先从静止开始做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，直到恰好停在目标位置。已知机器人做匀减速直线运动的第1 s内发生的位移为1.75 m，加速度大小为0.5 m/s2，则机器人做匀减速直线运动的初速度大小为(　　) A.1.5 m/s B.2.0 m/s C.2.5 m/s D.3.0 m/s 答案：B 解析：在匀减速过程中，根据位移与时间的关系式，有x＝v0t－at2，代入数据可得匀减速直线运动的初速度大小v0＝2.0 m/s。故选B。 3.一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则(　　) A.物体的加速度为2 m/s2 B.4 s内的平均速度为6 m/s C.4 s末的瞬时速度为6 m/s D.第2 s内的位移为6 m 答案：C 解析：根据匀加速直线运动的位移与时间的关系式，有x4＝v0t4＋a，代入数据解得a＝1 m/s2，故A错误；4 s内的平均速度为＝＝4 m/s故B错误；由速度与时间的关系式可得4 s末的瞬时速度为v4＝v0＋at4＝6 m/s，故C正确；第2 s内的位移为x2＝v0t2＋a－＝3.5 m，故D错误。故选C。 4.如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v。则xAB∶xBC等于(　　) A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 答案：C 解析：由速度与位移的关系式得xAB＝，xBC＝＝，故xAB∶xBC＝1∶3。故选C。 5.一个物体从静止开始做匀加速直线运动。它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是(　　) A.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶ C.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ 答案：B 解析：根据位移与时间的关系式，可得第1 s内与第2 s内的位移之比为＝＝；根据速度与位移的关系式，可得＝＝。故选B。 6.物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑， 上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为(　　) A. B. C. D.L 答案：C 解析：设加速度大小为a，下滑时v2＝2aL，上滑时0－＝－2aL'，联立以上两式可得L'＝。故选C。 7.汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机后做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为(　　) A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s 答案：A 解析：根据位移与时间的关系式，有x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入可得t1＝3 s，t2＝5 s，但汽车减速到0所用的时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s应舍去。故选A。 8.(2024·河南周口高一期末)某物体做直线运动，它的v-t图像如图所示，设向东为速度v正方向，根据图像下列判断正确的是(　　) A.第1 s内物体向东运动，第2 s内物体向西运动 B.1 s末物体开始向西运动 C.第2 s内的加速度和第3 s内的加速度相同，大小均为1 m/s2 D.第3 s内的位移为0.5 m 答案：C 解析：第1 s内和第2 s内速度均为正，所以物体均向东运动，故A错误；2 s末物体开始向西运动，故B错误；v-t图像的斜率表示加速度，所以第2 s内与第3 s内的加速度相同，其大小为a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确；v-t图像与t轴所围的面积表示位移，所以第3 s内的位移为x3＝－×1×1 m＝－0.5 m，故D错误。故选C。 9.一个物体在水平面上做直线运动，其速度－时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A.物体在前2 s内做匀加速直线运动，加速度为2 m/s 2　 B.物体在6～12 s内速度一直减小 C.物体在第12 s内的位移为0.75 m D.物体在前12 s内的路程为15 m 答案：D 解析：v-t图像的斜率表示加速度，所以物体在前2 s内做匀加速直线运动，加速度为a＝ m/s 2 ＝1 m/s 2，故A错误； 物体在6～12 s内速度先减小后增大，故B错误；物体在 6～12 s内的加速度大小为a'＝ m/s 2＝ m/s 2，则10～12 s的位移大小为x1＝a'＝××2 2 m＝1 m，10～11 s的位移大小为x2＝a'＝××1 2 m＝0.25 m，所以物体在第12 s内的位移大小为x＝x1－x2＝0.75 m，方向与正方向相反，即位移为－0.75 m，故C错误；物体在前10 s内的路程为s1＝×2 m＝14 m，在10～12 s内的路程为s2＝x1＝1 m，所以物体在前12 s内的路程为s＝s1＋s2＝15 m，故D正确。故选D。 10.列车长为L，铁路桥长为2L，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头时的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时的速度为(　　) A.3v2－v1 B.3v2＋v1 C. D. 答案：C 解析：由速度与位移的关系式得－＝2a·2L，－＝2aL，联立可得v3＝。故选C。 11.(多选)(2024·云南德宏州高一上学期期末)汽车在平直公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直至停止，已知汽车刹车过程中第1 s内的位移为14 m，最后1 s内的位移为2 m，下列说法正确的是(　　) A.汽车刹车过程中，加速度大小为4 m/s2 B.刹车第3 s内的位移大小为4 m C.刹车第1 s末的瞬时速度大小为14 m/s D.刹车过程中，汽车运动的总位移大小为32 m 答案：AD 解析：汽车运动的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动，最后1 s内由公式x＝at2，可得汽车刹车过程中，加速度大小为a＝4 m/s2，故A正确；设初速度为v0，汽车刹车过程中第1 s内的位移为x1＝v0t1－a，代入数据解得v0＝16 m/s，则刹车第3 s内的位移大小为x'＝v0t3－a－(v0t2－a)＝6 m，故B错误；刹车第1 s末的瞬时速度大小为v1＝v0－at1＝16 m/s－4×1 m/s＝12 m/s，故C错误；刹车过程中，汽车运动的总位移大小为x总＝＝ m＝32 m，故D正确。故选AD。 12.(10分)(2024·浙江精诚联盟高一10月联考)如图甲所示，一位滑雪者先沿倾斜直轨道AB从A点由静止开始匀加速下滑，经过B点前后速度大小不变，之后在足够长的水平直轨道BC上做匀减速直线运动直至停止。通过观测可得到滑雪者的v-t图像如图乙所示。求： (1)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的加速度大小a1； (2)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的距离x1； (3)滑雪者在水平直轨道上滑行的距离x2。 答案：(1)4 m/s2　 (2)50 m　 (3)100 m 解析：(1)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的加速度大小a1＝＝ m/s2＝4 m/s2。 (2)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的距离x1＝a1＝50 m。 (3)滑雪者在水平直轨道上的加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2 滑雪者在水平直轨道上有0－＝2a2x2 解得x2＝100 m。 13.(16分)如图是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。一辆货车在倾角为30°的连续长直下坡高速路上以v0＝18 m/s的速度匀速行驶，突然货车刹车失灵，开始加速运动，此时货车的加速度大小为a1＝3 m/s2，在加速前进了x1＝96 m后，货车平滑冲上了倾角为53°的碎石铺成的避险车道，已知货车在该避险车道上的加速度大小为a2＝16 m/s2。货车的整个运动过程可视为直线运动。求： (1)货车刚冲上避险车道时速度的大小； (2)货车在长直下坡高速路上加速运动96 m所用的时间； (3)要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为多少？ 答案：(1)30 m/s　(2)4 s　(3)28.125 m 解析：(1)由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v2－＝2a1x1 解得v＝30 m/s。 (2)根据匀变速直线运动速度与时间的关系式有v＝v0＋a1t1 解得t1＝4 s。 (3)货车进入避险车道，最终停止，因此末速度为v'＝0 由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v'2－v2＝－2a2x2 解得x2＝28.125 m 即要使该车安全避险，避险车道的最小长度为28.125 m。 学科网（北京）股份有限公司 $