三角函数：已知三角函数的性质求参数复习讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数：已知三角函数的性质求参数复习讲义 三角函数：已知三角函数的性质求参数复习讲义 考点目录 已知函数周期性求参数 已知函数奇偶性求参数 已知函数对称性求参数 已知函数单调性求参数 已知函数值域求参数 考点一 已知函数周期性求参数 【知识点解析】 1.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. （1）若函数满足，则函数的周期. （2）若函数满足，则函数的周期. （3）若函数满足，则函数的周期. （4）若函数满足，则函数的周期. （5）若函数满足，则函数的周期. 2.三角函数的周期性 （1）对于函数和，周期. （2）对于函数、、，，周期. 3.已知函数的周期性求参数 （1）对于函数和，若已知函数周期为，则令，解方程得. （2）对于函数、、，，若已知函数周期为，则令，解方程得. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 例2．（25-26高三上·广东·开学考试）设函数．已知，且当时，的最小值为3，则（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意恒成立，则实数的最小值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数的最小正周期为，则 . 变式2．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）函数的最小正周期是，则 ． 变式3．（24-25高一上·湖南常德·期末）若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为 . 考点二 已知函数奇偶性求参数 【知识点解析】 1.函数的奇偶性 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2.三角函数的奇偶性 （1）函数是奇函数. （2）函数是偶函数. （3）函数是奇函数. 3.已知函数的奇偶性求参数 （1）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （2）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （3）若函数是奇函数，则. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 变式1．（25-26高三上·山东·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 . 变式2．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）若是偶函数，则 变式3．（25-26高三上·山西吕梁·阶段练习）若函数的图象关于轴对称，则实数 ． 变式4．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 变式5．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 变式6．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数为奇函数，则的最小值为 . 考点三 已知函数对称性求参数 【知识点解析】 1.函数的对称性 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 2.三角函数的对称性 （1）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （2）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （3）对于函数 求对称中心：令，解方程得对称中心. （4）对称中心需写为点的形式，且注意纵坐标不一定为0，应该是. 3.已知函数的对称性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. （2）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 例2．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·海南·阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 例4．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于原点对称，则的最小值等于（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 例6．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例7．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·上海·阶段练习）若函数图象的一个对称中心在直线上，则 . 变式2．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 变式3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则 . 变式4．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 变式5．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值 ． 变式6．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ． 变式7．（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式8．（2025·河北·三模）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 已知函数单调性求参数 【知识点解析】 1.函数的单调性 一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的单调增区间. 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的单调减区间． 单调性的证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 2.三角函数的单调性 （1）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得增区间. （2）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得增区间. （3）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. （4）若，则先利用诱导公式进行化简，使得. （5）若且，求解单调区间时应代入相反区间. （6）答案需写成区间的形式，且注明. 4.已知函数的单调性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. （2）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 例3．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 例4．（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 例5．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 变式2．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为 ． 变式3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 变式4．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 变式5．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 变式6．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 考点五 已知函数值域求参数 【知识点解析】 1.三角函数的值域 （1）求值域的常见方法 单调性法、二次函数法、换元法、分离常数法、基本不等式法、判别式法. （2）对于函数 步骤一：确定变量范围，因为，所以. 步骤二：作图，并标出的边际范围. 步骤三：结合图像，确定最值，注明当为何值时，取得最值. （3）对于函数 步骤一：换元：令，由得新元的范围.（若无限制的范围，则.） 步骤二：讨论新函数在新元的范围内的值域. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山西·开学考试）已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 例4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上的值域为，求的取值范围． 例6．（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）若对于，总，使得，则实数的最小值为 . 变式2．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段练习）已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是 . 变式3．（25-26高三上·山东·阶段练习）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 变式4．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 变式5．（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 变式6．（25-26高三上·山东德州·阶段练习）已知函数． (1)若的最小正周期为． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，且，求的值； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围． 课后提升训练 1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数（），若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（   ） A．1 B．-2 C．-1 D．2 4．（2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津·阶段练习）设函数的最小正周期是π，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（   ） ①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； ②的图象过点； ③的图象的一个对称中心是； ④在上是减函数. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏常州·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1 D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为 8．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习·多选）已知函数，则下列命题正确的有（   ） A．若是曲线的一条对称轴，则的最小值为 B．若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是 C．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 D．若在上恰有4个零点，则的范围为 9．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知且，若是偶函数，则 . 10．（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若函数，且对任意的满足，则实数 . 11．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 12．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象与轴的交点为， ，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 . 13．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； (3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围. 14．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数k的取值范围. 15．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有两条对称轴，求实数的取值范围． 16．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数.从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. (1)求的值； (2)若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件③：在区间内无极值点，且恒成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数：已知三角函数的性质求参数复习讲义 三角函数：已知三角函数的性质求参数复习讲义 考点目录 已知函数周期性求参数 已知函数奇偶性求参数 已知函数对称性求参数 已知函数单调性求参数 已知函数值域求参数 考点一 已知函数周期性求参数 【知识点解析】 1.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. （1）若函数满足，则函数的周期. （2）若函数满足，则函数的周期. （3）若函数满足，则函数的周期. （4）若函数满足，则函数的周期. （5）若函数满足，则函数的周期. 2.三角函数的周期性 （1）对于函数和，周期. （2）对于函数、、，，周期. 3.已知函数的周期性求参数 （1）对于函数和，若已知函数周期为，则令，解方程得. （2）对于函数、、，，若已知函数周期为，则令，解方程得. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 例2．（25-26高三上·广东·开学考试）设函数．已知，且当时，的最小值为3，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的值域为，， 所以只有当函数值同时取最大值1或最小值-1时，才满足， 即和是函数取得相同极值（同为最大值或同为最小值）的两个不同自变量. 此时的最小值为函数的最小正周期，即,解得， 因为，所以， 又，所以，所以. 故选：C 例3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意恒成立，则实数的最小值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由于，故， 因为函数的图象的两相邻对称轴之间的距离小于，故， 又对任意恒成立，故， 即，则，则， 结合，可知时，取最小值2，即实数的最小值为2， 故选：B 变式1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】1或 【详解】由题意可得，故，故或， 又因为，故或， 所以，故或， 故， 或， 或， 或， 所以或或或. 故答案为：1或. 变式2．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期是， 所以可得，解得， 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·湖南常德·期末）若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题可知是该函数周期的整数倍， 即，解得. 又，故其最小值为. 故答案为：. 考点二 已知函数奇偶性求参数 【知识点解析】 1.函数的奇偶性 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2.三角函数的奇偶性 （1）函数是奇函数. （2）函数是偶函数. （3）函数是奇函数. 3.已知函数的奇偶性求参数 （1）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （2）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （3）若函数是奇函数，则. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的最小正周期为可得， 即，则， 即， 又函数为偶函数，即， 解得，且， 当时，. 故选：B 例2．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，则， 由为奇函数，，得，解得， 所以的最小值为. 故选：A 例3．（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，函数， 所以， 又为奇函数，所以， 又，所以. 故选：C 例4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 例5．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 例6．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 变式1．（25-26高三上·山东·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，故，可得， 时，时，可得的最小值为. 故答案为： 变式2．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）若是偶函数，则 【答案】0或2 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 变式3．（25-26高三上·山西吕梁·阶段练习）若函数的图象关于轴对称，则实数 ． 【答案】0 【详解】因为为偶函数，. 所以，即恒成立，解得. 故答案为：0 变式4．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为的图象关于原点中心对称， 所以，又，故的最小值为． 故答案为：. 变式6．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 考点三 已知函数对称性求参数 【知识点解析】 1.函数的对称性 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 2.三角函数的对称性 （1）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （2）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （3）对于函数 求对称中心：令，解方程得对称中心. （4）对称中心需写为点的形式，且注意纵坐标不一定为0，应该是. 3.已知函数的对称性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. （2）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象， 因为平移后的函数图象关于直线对称，所以， 则，又，所以的最小值是2. 故选：B. 例2．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数图象关于点对称，得，即， 由，得，于是，而， 因此或，或， 所以当时，. 故选：D 例3．（25-26高三上·海南·阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 例4．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于原点对称，则的最小值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据余弦函数图形平移规则，将向左平移个单位后， 得到的. 因为的图象关于原点对称，所以. 即. 根据余弦函数的性质，则有 . 化简可得，即. 当时，取最小值为. 故选：C. 例5．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，得， 则，所以当时，取得最小正值为. 故选：B 例6．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 例7．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 得，解得. 故选：C. 例8．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故选：A. 变式1．（25-26高二上·上海·阶段练习）若函数图象的一个对称中心在直线上，则 . 【答案】 【详解】因，其中， 又该函数的一个对称中心在直线上，故这个对称中心为， 则有，即，解得， 此时，当时，，符合题意. 故答案为： 变式2．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 【答案】 4 【详解】若的最小正周期为，可得， 则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； 变式3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 变式4．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得， 由得，，，由得，， 又，所以，， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点. 由题意或， 解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值 ． 【答案】/ 【详解】由正切函数的对称中心可知： 要求函数的图像的对称中心即令， 则其对称中心为， 所以，显然时，. 故答案为：. 变式6．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值. 【详解】由曲线的一个对称中心为，得， 解得，所以的最小值为2. 故答案为：2 变式7．（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为. 故选：C. 变式8．（2025·河北·三模）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令得：， 因为，所以， 则在轴右侧方程的相邻三根依次为，解得， 由题意可知，即， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 考点四 已知函数单调性求参数 【知识点解析】 1.函数的单调性 一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的单调增区间. 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的单调减区间． 单调性的证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 2.三角函数的单调性 （1）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得增区间. （2）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得增区间. （3）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. （4）若，则先利用诱导公式进行化简，使得. （5）若且，求解单调区间时应代入相反区间. （6）答案需写成区间的形式，且注明. 4.已知函数的单调性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. （2）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于的图象关于对称， 所以， 因为，所以或. 若，则， 所以在上单调递减，不合题意； 若，则， 所以在上单调递增，符合题意. 故选：C 例2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为，且，则， 若函数在区间上单调递增， 注意到，则，解得， 所以的最大值为1. 故选：C. 例3．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】令，故， 所以函数的减区间为， 因为在上为减函数， 故存在，使得，因为， 所以，所以，故， .则的最大值为. 故选：B. 例4．（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 【答案】C 【详解】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误； 对于B，由，得或，而， 当时，，在不单调；当时， ，符合题意，，B错误； 对于C，由，得， 解得，当时，或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 例5．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 例6．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 变式1．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 变式2．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，所以，故， 由得， 又在上单调递增， 则，解得， 又，则当时，，所以的取值范围为. 故答案为： 变式3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【答案】 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，所以， 则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得， 又，所以. 故答案为：. 变式5．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 【答案】1 【详解】在上是增函数，需， 时，， 故，解得， 又为整数，所以. 故答案为：1 变式6．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 考点五 已知函数值域求参数 【知识点解析】 1.三角函数的值域 （1）求值域的常见方法 单调性法、二次函数法、换元法、分离常数法、基本不等式法、判别式法. （2）对于函数 步骤一：确定变量范围，因为，所以. 步骤二：作图，并标出的边际范围. 步骤三：结合图像，确定最值，注明当为何值时，取得最值. （3）对于函数 步骤一：换元：令，由得新元的范围.（若无限制的范围，则.） 步骤二：讨论新函数在新元的范围内的值域. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山西·开学考试）已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在区间上的最小值为， 当时，，则有，解得； 当时，，则有，解得， 的取值范围是. 故选：D 例2．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合图象， ∴，解得． 故选：B． 例3．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 例4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 例5．（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令， 解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以， 又， 所以， 解得，所以的取值范围为． 例6．（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为； (2) 【详解】（1）由向量，，得 ； 函数的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，，， 当时，， 由在上的值域为， 得，解得，所以实数的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）若对于，总，使得，则实数的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以的解集为， 对于，总，使得， 所以，，， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 变式2．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段练习）已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由方程，可得， 因为方程在上有两个不同的实数根， 即在上有两个不同的实数根， 设且，可得， 则在上有两个不同的实数根， 即和的图象在上有两个不同的交点， 如图所示：由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式3．（25-26高三上·山东·阶段练习）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 变式4．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 变式5．（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·山东德州·阶段练习）已知函数． (1)若的最小正周期为． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，且，求的值； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2) 【详解】（1） 若的最小正周期为，则，解得，所以. （i）由题意，令，， 解得，，即的单调递增区间为. （ii），， 又，，， . （2）当时，，又在区间上的值域为， ，解得， 即的取值范围是. 课后提升训练 1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数（），若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 令，，，所以， 问题转化为直线与函数，当时，有三个交点， 由， 于是有， 故选：C 2．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知是函数的图象的一条对称轴， 则，， 则，， 又，可知，则，且， 则当时，取得最小值为， 故选：C. 3．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（   ） A．1 B．-2 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】函数为R上的偶函数，得，， 则，， 即，而不恒为0， 于是，而，所以. 故选：C 4．（2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据余弦函数的性质的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，为． 故选：B 5．（25-26高三上·天津·阶段练习）设函数的最小正周期是π，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（   ） ①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； ②的图象过点； ③的图象的一个对称中心是； ④在上是减函数. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由最小正周期为，得； 由为对称轴，得，， 故取1，，所以； ①的图象向右平移个单位长度后，得，则①错误； ②，的图象过点，正确； ③，的图象的一个对称中心是，正确； ④因为当时，则，且在内不单调， 所以在不单调，错误. 故选：B 6．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为． 故选：A． 7．（25-26高三上·江苏常州·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1 D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】AB 【详解】对于A，当时，，当，， 因在时单调递增，则在上单调递增，故A正确； 对于B，因，则时，设，则 ， 因为，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后，可得， 因为图象关于轴对称，则， 因为，则，得，故C错误； 对于D，时，，令，可得． 则使，且大于的前3个取值为， 则，故D错误． 故选：AB 8．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习·多选）已知函数，则下列命题正确的有（   ） A．若是曲线的一条对称轴，则的最小值为 B．若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是 C．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 D．若在上恰有4个零点，则的范围为 【答案】ACD 【详解】由已知． 对于A，若是的一条对称轴，则， 解得． ，当时，有最小值为，故A正确； 对于B，由题意知，当时，， 在上有且只有一个最小值点， 或， 解得或，故B错误； 对于C，向左平移个单位长度后， 得到， 若为偶函数，则，，解得，， ，当时，有最小值为，故C正确； 对于D，时，， 若在上恰有4个零点，则， 解得，故D正确． 故选：ACD． 9．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知且，若是偶函数，则 . 【答案】4 【详解】因为是偶函数，所以. 所以. 所以，解得. 故答案为：4. 10．（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若函数，且对任意的满足，则实数 . 【答案】/ 【详解】函数， 因为， 所以该函数的对称轴为， 因此有， 于是有， 故答案为： 11．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 【答案】 2 /0.6 【详解】依题意，函数，其中锐角由确定， 且函数的最小值为，最大值为， 由，得函数的图象关于对称， 又两个不等的实数满足且， 则函数在处同取最大值或同取最小值，且函数的最小正周期， ，又，则，解得， 于是，则，即， 所以 故答案为：2； 12．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象与轴的交点为， ，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意得，，，则； 则， 令，得，令，得， 所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为，，且， 由题意，得，解得， 则的取值范围是. 故答案为：； 13．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； (3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数 ， 若，则，则， 则， 故函数的值域为； （2）根据题意可得，新函数的解析式为， 其图象关于原点对称，则，得， 即， 因，则； （3）， ，则， 因函数在区间上有且仅有两个零点， 则结合正弦函数图象可得，，得， 则m的取值范围为. 14．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图知：,， 所以. 因为， 解得，因为，所以，. （2）， （3）， 因为，所以. 令，，， 当时，，当时，，当时，，如图所示： 因为在区间上恰好有两个零点， 由图知：. 15．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有两条对称轴，求实数的取值范围． 【答案】(1)；，； (2). 【详解】（1） . 则函数的最小正周期为：； 再令，得，其中. 则单调递减区间为：，； （2）由（1），当，， 因函数在，处有对称轴， 则函数在直线右侧的三个临近对称轴为：. 则. 16．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数.从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. (1)求的值； (2)若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件③：在区间内无极值点，且恒成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数 ， 若选择①：则， 即， 所以， 解得：不唯一， 所以函数不唯一确定； 若选择②：若图象关于对称， 则， 即， 由，所以 所以若函数在区间有且只有一个最大值和一个最小值， 则，即， 即，则有， 又，所以， 所以，所以函数存在且唯一确定； 若选择③： 设函数的最小正周期为， 因为在区间内无极值点，且， 故，， 由此得出唯一，所以函数唯一确定； 综上所述函数要唯一确定，则. （2）由（1）得：， 所以不等式 所以， 即， 因为，我们需要找到满足： 且的情况， 则当时有：， 所以要使得不等式在区间内有解，则， 所以的取值范围为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $