第16讲 圆与圆的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第16讲圆与圆的位置关系 知识再现 一，圆与圆的位置关系 图Gx-a+y-b=斤与国9x-c+y-d=片 的位置关系的判定方法有 几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 ICC2|>5+5 △<0 外切 1CC2=r+2 △=0 相交 5-5<|CC21<片+2 △>0 99 内切 IGC- △=0 内含 IGC △<0 二.两圆的公切线 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线， 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置 外离 外切 相交 内切 内含 关系 图示 公切 4条 3条 2条 1条 无公切线 线条 数 3、两圆公切线方程 (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y=+b，由公切线的意义（两圆公公 的切线)可知，两圆心到直线y二+b的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k和 第1页共12页 b的方程，解这个方程组得到k，b的值，即可写出公切线的方程； (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程， 三.圆与圆的公共弦 1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦， 2、公共弦所在直线的方程 圆C:x+y2+Dx+Ey+F=0 圆C:x+y2+Dx+Ey+E=0 则(D-D,x+(E-E,V+B-F)=0为两相交圆公共弦方程 【注意】(1)若C与C2相切，则表示其中一条公切线方程； (2)若C与C2相离，则表示连心线的中垂线方程。 3、公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长。 (2)几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得 该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形 中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长 四，圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 1、过直线Mr+By+C=0与圆r+y+Dx++F=0的交点的圆系方程是： x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(入≠-1) 2、以a,b)为圆心的同心圆系方程是：(x-+(y-b=(0≠0)； 3、与圆+广+Dx+By+F=0同心的圆系方程是X+y+Dx+B+元=0， 4、过同一定，点a,b)的圆系方程是(x-a+(y-b+入c-a)+入0-b)=0 题型一：圆与圆的位置关系判断 第2页共12页 例1.圆O:x2+y2=1与圆Cx2+y2+6y+5=0的位置关系是() A.相交 B.相离 C.外切 D.内切 例2.已知圆O1,与圆O2的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 锅3若直线ax+y=1与圈0：2+2=1相切，则国(c-+0y-b=4与国0（) A.外切 B.相交 C.内切 D.没有公共，点 变式训练 第3页共12页 1.圆0，：x-2P+y=4与圆0，：x-4+y2=16的位置关系为（） A,外离 B.外切 C.相交 D.内切 2（多选)设>0，圆x-+0+3}=r 与圆+y2=16 的位置关系可能是(（) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 题型二：由圆与圆位置关系求参 例4.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x-8y+m+6=0相外切，则m的值为（） A.7 B.8 C.9 D.10 例5.“a=3”是“圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 第4页共12页 例6已知圆M:X2+y=1和N:X-22+y-22=m2m>0春在公共，点，则m的值 不可能为() A.3 B.32 C.5 D.42 变式训练 1.若两圆C:x2+y2+2x=0与C2:x2+y2-4x-8y+m=0外离，则实数m的取值范围为 () A.m>4 B.m<4 C.0<m<4 D.4<m<20 2.若圆x2-2ax+y2=0与圆x2+y2-4x-2y-4=0只有一个交点，则实数a的值可以是 （) A.-1 B.-2 C.1 D.2 第5页共12页 3.(多选)已知两圆x2+y-3)2=2和x2+y2-6x+2y+1=0有公共，点则r的值可能是 () A.-6 B.1 C.6 D.8 4.若圆x2+y2=1上总存在两个点到点a,2)的距离为3，则实数a的取值范围是(） A.（2,4) B.(0,4) c.-25,2W3 D.-23,0U0,25 题型三：两圆的公共弦问题 例7.圆0：x2+y2-2x+6y=0和圆02：2+y2-6x=0的公共弦AB所在的直线方程是 () A.2x-3y+3=0 B.2x-3y-5=0 C.2x+3y=0 D.2x-3y=0 第6页共12页 例8.已知圆C1:x+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公 共弦所在的直线方程() A.3x+4y+6=0 B.3x+4y-6=0 C.3x-4y-6=0 D.,3x-4y+6=0 例9.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+2ky-1=0的公共弦所在直线恒过点P, 则点P的坐标为（) a,-c, 变式训练 1.若过点P(2,2)向圆C:x+y=1作两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为 () A,x+y=号 B.x+y=- 3 c.号 D.x+y=5 第7页共12页 2.已知圆O:x2+2x+y2=10与圆02：x2+y2-x-3y=4交于A,B两，点，则|AB=() A. B.5 2 C.26 D.33 3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点，则△OAB的面积为 () A.75 B.5 C.5 15 16 15 8 D. 16 题型四：两圆的公切线问题 例10.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线 方程为() A.3x-4y-5=0 B.3x-4y+5=0 C.4x-3y-5=0 D.4x-3y+5=0 第8页共12页 例11.圆C1:(x+2)+(y+4)2=25与圆C2:(x+1)2+y2=9的公切线的条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 例12.已知圆M:x-22+y-12=1,圆N:x+2+y+12=1,则下列不是M,N两圆公 切线的直线方程为() A.y=0 B.4X-3y=0 C.x-2y+V5=0 D.x+2y-V5=0 例13.已知圆C1:x2+y-a2=aa>0的圆心到直线x-y-2=0的距离为2V2,则圆C1 与圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0的公切线共有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 第9页共12页 变式训练 1.(多选)已知直线1与圆C:(x-22+(y-3)2=8和圆C,:(x+2子+(y+1)2=8都相切， 则直线1的方程可能为() A.x+y-1=0B.x-y+5=0C.x-y-3=0D.x-y-7=0 2.(多选)已知圆M:(x-2+(y-)2=1,圆N:(x+2)2+y+1)2=1,则下列是M,N两 圆公切线的直线方程为() Ay=0B.3x-4y=0C.x-2y+V5=0D.x-2y-V5=0 3.若圆C:x2+y2-4x+3=0与圆C2:(x+2}+0+3)=m有且仅有一条公切线，则m=一 第10页共12页 第16讲 圆与圆的位置关系 知识再现 一．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 二．两圆的公切线 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 三．圆与圆的公共弦 1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2、公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 四．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 题型一：圆与圆的位置关系判断 例1.圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 解析：圆是以为圆心，半径的圆， 圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，则，=3，所以两圆外切，故选：. 例2.已知圆，与圆的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 解析：依题意，圆与圆的圆心距4等于圆的半径6减去圆的半径2, 所以圆内切于圆.故选：D. 例3.若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 【答案】B【解析】直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即，得.圆的圆心坐标为，半径为， 其圆心在圆上，所以两圆相交.故选：B 变式训练 1.圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 解析：圆圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 则两圆的圆心距为，而， 则圆与圆的位置关系为内切．故选：D. 2.（多选）设，圆与圆的位置关系可能是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 解析：由题意已知两圆圆心距为，半径分别为， ，因此，也可能,∴两圆相交或内切或内含，故选：AB． 题型二：由圆与圆位置关系求参 例4.已知圆与圆相外切，则m的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 解析：由圆可得圆心半径； 由圆即可得圆心半径；因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：D. 例5.“a＝3”是“圆与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若圆与圆相切， 当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3； 当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1． 当时，圆与圆相切， 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件． 当圆与圆相切时，不一定成立， 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件． 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件． 故选：A. 例6.已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（    ） A．3 B． C．5 D． 解析：因为圆和存在公共点， 所以两圆相交或者相内切或者相外切， 即， 解得，选项ABC满足，m的值不能为D.故选：D. 变式训练 1.若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：即：， 它的圆心半径分别为， ：即：， 它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以.故选：D. 2.若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项故选：D 3.（多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【解析】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得.故选：ACD． 4.若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即，解得：且， 所以实数的取值范围是．故选：D． 题型三：两圆的公共弦问题 例7.圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两个圆的方程相减，得，故选：C 例8.已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 解析：将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0. 故选：D. 例9.已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 解析：圆 与圆的公共弦所在直线为 ，即，故，解得， 故直线过定点.故选：A. 变式训练 1.若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为.故选：A 2.已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径，所以.故选：C 3.已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以.故选：A. 题型四：两圆的公切线问题 例10.已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 解析:圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为.故选：D. 例11.圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：圆的圆心坐标为，半径为5； 圆的圆心坐标为，半径为3， 所以两圆的圆心距为， 因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B. 例12.已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线. 两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 结合选项，可得D不正确.故选：D. 例13.已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：圆：的圆心为，半径为a， 所以圆心到直线的距离为，解得或． 因为，所以. 所以圆：的圆心为，半径为． 圆：的标准方程为， 圆心坐标为，半径， 圆心距，所以两圆相内切． 所以两圆的公切线只有1条.故选：B． 变式训练 1.（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或．故选：ABC． 2.（多选）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） A .y＝0       B .        C.         D. 【答案】ACD 【解析】圆M的圆心为，半径． 圆N的圆心为，半径， 圆心距，两圆外离，故有四条公切线． 又两圆关于原点O对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为， 则圆心到直线的距离，解得k＝0或， 对应方程分别为y＝0，． 两条外公切线与直线MN平行，而， 设切线方程为，则，解得， 切线方程为，．故选：A 3.若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 【答案】 【解析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切， 由可得，即该圆以为圆心，为半径， 圆，圆心为， 故有且，解得. 故答案为：. 4.已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型五：圆系方程的应用 例14.过点以及圆与圆交点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 解析：设所求的圆的方程为, 把点代入可得,, 解得,所以所求圆的方程为,故选:A. 例15. 求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设所求圆的方程为，则， 则圆心坐标为，代入直线，可解得. 故所求圆的方程为，即.故选：A. 例16.已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程及弦长； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）两圆方程作差可得：，即， 由可得， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 即过两圆交点直线为，弦长为. （2）设过两圆交点的圆的方程为，且， 则，，由圆心在直线上，则，解得，所以所求圆的方程为. 变式训练 1.已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或；(2)． 【解析】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为，即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴，解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一：联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 2.已知两圆,，直线， （1）当圆与圆相交且公共弦长为4时，求r的值； （2）当r =1时，求经过圆与圆的交点且和直线l相切的圆的方程． 【答案】（1）3；(2) 【解析】（1）由题意，圆，则圆心坐标，半径为， 又由圆，可得， 两式相减可得相交弦的方程， 因为圆与圆相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心， 即，解得； （2）设过圆与圆的圆系方程为 即， 所以， 又由圆心到直线的距离等于圆的半径， 可得，解得， 故所求圆的方程为. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $