精品解析：安徽省大联考2025-2026学年高二上学期10月调研考试数学试题(池州专版)

高二年级十月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知复数，则______， 13. 在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 14. 如图，函数的图象上有两点A，C关于原点O对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线，得到矩形ABCD，矩形ABCD与x轴的交点分别记为．将该图沿x轴折叠，得到一个二面角，若二面角的大小为，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知点，，直线经过点与， （1）若与直线垂直，求； （2）若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求值. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，． （1）求证：平面平面ABC； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱交于点（点均与所在棱的端点不重合）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）求的余弦值的最大值； （3）设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级十月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形法则直接求解向量的线性运算即可. 【详解】由题知，. 故选：C 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10， 数据的平均数为. 故选：D. 4. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值. 【详解】由题意知，，两两互相垂直，故， 又，所以. 故选：B 5. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率公式计算. 【详解】至少有一人投中的概率为. 故选：D 6. 已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理用表示出，求得后可得结论． 【详解】由题意， 又， 所以，只有D正确， 故选：D． 7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于,且，可得,从而求出三棱柱的高，取的中点,连接,, 可证为直线与平面所成角，利用边长关系即可求解. 【详解】设正三棱柱的高为,即, 由于,,， 则,即,则,所以， 取的中点,连接,, 由于底面为等边三角形，,则, 由于平面,，平面,所以,，且 由于,平面,所以平面， 所以为直线与平面所成角，则, 故选：B 8. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由同角三角函数关系，求出，判断A的正误；代入已知条件，求出，判断B的正误；根据正余弦定理，解三角形，判断C的正误；根据正弦定理面积公式，求出三角形面积，判断D的正误. 【详解】因为，，所以，所以A正确； 由代入，得，解得， 因为，所以，所以B错误； 由，得，因为，所以， 由正弦定理得，代入得，解得， 由余弦定理，代入得，解得或（舍），所以C错误； 由正弦定理面积公式得，所以D正确； 故选：AD. 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可. 【详解】对于A，由定义可得：，正确， 对于B，由为零向量，可得， 因为，是非零向量，所以存在非零常数，使得， 即 ，B正确， 对于C，由， 则， ， 由于，是平面内的两个不共线的向量，所以平面的法向量可以是，正确； 对于D，取 ， 则，则， ， 满足， 而此时，夹角为，D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知复数，则______， 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数乘法运算及模长公式计算即可. 【详解】由，所以. 故答案为：2 13. 在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 14. 如图，函数的图象上有两点A，C关于原点O对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线，得到矩形ABCD，矩形ABCD与x轴的交点分别记为．将该图沿x轴折叠，得到一个二面角，若二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知确定相关线段的长度，结合二面角的定义有折叠后，再由均为等边三角形、为直三棱柱，根据结构特征求. 【详解】由题设，则，故， 结合题图，，， 且，，，， 二面角的大小为，所以折叠后，示意图如下， 所以均为等边三角形，故， 且为直三棱柱，故为矩形， 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知点，，直线经过点与， （1）若与直线垂直，求； （2）若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合直线的斜率公式与垂直性质计算即得； （2）结合图形，由直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【小问1详解】 ，因为与直线垂直，所以， 所以，，解得； 【小问2详解】 依题意， 由与线段有交点，当直线斜率存在时， 则的斜率的取值范围是， 因直线的倾斜角的范围是， 故的倾斜角的取值范围是， 若斜率不存在时，倾斜角为， 综上，的倾斜角的取值范围为. 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求值. 【答案】（1）7； （2）19或13. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【小问1详解】 向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以值是19或13. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质求得和，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理得线面垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角向量公式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，，. 因为底面是菱形，，所以是正三角形，所以. 又为正三角形，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由平面底面，，平面底面，平面， 所以底面，底面， 所以，，又，可得，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，则，，，， 所以，，， 所以. 设平面的法向量为， 则得可取. 易知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，． （1）求证：平面平面ABC； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，并由余弦定理得到各边长，由勾股定理逆定理得，从而平面，得到面面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，故点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积法进行求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角向量公式进行求解即可. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接，， 三棱柱的所有棱长均为2， 故，， 所以为等边三角形，故⊥， 又，故为等边三角形，故⊥， 由勾股定理得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，， 故，由勾股定理逆定理得， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 由（1）知，平面⊥平面，交线为， 又⊥，平面，所以⊥平面， 又，平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 其中， 故； 【小问3详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则， 令得，所以， ，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱交于点（点均与所在棱的端点不重合）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）求的余弦值的最大值； （3）设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出相关方向向量，再计算夹角即可； （2）设，，求出夹角余弦值表达式，再利用基本不等式即可求出最值； （3）求出相关法向量，求出面面角的余弦值表达式，最后相加计算即可证明. 【小问1详解】 根据题意，易知截面是平行四边形，EF与的交点为正方体的中心. 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 则，，，， ，， 所以， 即直线EF与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，则t，且， ，，，， ， 又，所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 【小问3详解】 设平面BEF的法向量为，由（2）得，， 则，不妨令，得. 又平面，平面，平面ABCD的法向量分别可取，，， 于是， ， ， 于是， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $