第十五章 轴对称全章培优测试卷（必考点分类集训）-2025-2026学年人教版八年级数学上册必考点分类集训系列

第十五章 轴对称全章培优测试卷 【人教版新教材】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：A、C、D的图案均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项的图案中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2．（3分）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 【分析】点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从而求出a，b，得出点P的坐标． 【解答】解：根据题意得： 解得： ∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）． 故选：D． 3．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，若BE＝5，FC＝3，则EF长是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠BOE＝∠OBE，∠OCF＝∠COF，从而得到BE＝OE，CF＝OF，进而得到EF＝BE+CF． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠BOE＝∠OBC，∠COF＝∠OCB（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBE＝∠OBC，∠OCF＝∠OCB， ∴∠BOE＝∠OBE，∠OCF＝∠COF， ∴BE＝OE，CF＝OF（等角对等边）， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF＝5+3＝8， 故选：C． 4．（3分）已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【分析】分△ACD或△BCD为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【解答】解：如图：当BC＝BD时，△BCD是等腰三角形； ∵∠CBA＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD； 当BC＝BD1时，△BCD是等腰三角形； 当AC＝AD2＝AD3，CA＝CD4，当CD5＝D5A时，△ACD都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 5．（3分）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．60° B．75° C．70° D．90° 【分析】根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°， ∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°， ∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°； 故选：A． 6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可． 【解答】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°， ∴BEBD 同理可得，CF， ∴BE+CF5， 故选：A． 7．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】过点P作PC⊥OB，如图所示，先由等腰三角形三线合一的性质可知，PC⊥OB，，再由含30°的直角三角形性质求出OC，数形结合表示出OM求解即可得到答案． 【解答】解：过点P作PC⊥OB， ∵PM＝PN，MN＝2， ∴， 在Rt△POC中，∠AOB＝60°， ∴∠OPC＝30°， ∵OP＝8， ∴， ∴OM＝OC﹣CM＝4﹣1＝3， 故选：B． 8．（3分）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【分析】根据轴对称的性质的得到OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB，则OM＝ON，由∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°，得到∠MON＝60°，则△MON是等边三角形，由此即可求解． 【解答】解：如图所示，连接OP， ∵点P关于OA、OB的对称点是M、N， ∴OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB， ∴OM＝ON， ∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝30°， ∴∠MON＝60°， ∴△MON是等边三角形， ∴OM＝ON＝MN＝8cm， ∴8×3＝24（cm），即△MON的周长是24cm， 故选：D． 9．（3分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得：AP＝BP，AQ＝QC，分两种情况：点P在点Q左侧或点P在点Q的右侧，根据三角形的周长公式求解即可． 【解答】解：如图所示： 由线段垂直平分线性质可知AP＝BP，AQ＝QC， ∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BC＝10； 如图所示： 由线段垂直平分线的性质可知AP＝BP，AQ＝QC， ∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BP+CP+PQ+PQ＝BC+2PQ＝10+4＝14， 综上所述，△AQP的周长为10或14， 故选：D． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（　　） A．22° B．34° C．56° D．68° 【分析】在BC上截取BE＝BQ，连接PE，利用SAS可证得△BQP≌△BEP，于是可得PQ＝PE，∠BPQ＝∠BPE，根据垂线段最短可知，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示： ∵BD平分∠ABC， ∴， 在△BQP和△BEP中， ， ∴△BQP≌△BEP（SAS）， ∴∠BPQ＝∠BPE，PQ＝PE， ∴AP+PE＝AP+PQ ∵垂线段最短， ∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，∠AEB＝90°， ∵∠CBD＝34°， ∴∠BPE＝90°﹣34°＝56°， ∴∠BPQ＝∠BPE＝56°， ∴∠APQ＝180°﹣∠BPQ﹣∠BPE＝180°﹣56°﹣56°＝68°， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称，则（m+n）2＝ 　9　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m+2＝﹣2，n﹣4﹣3＝0，即可求出m、n的值，再根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：∵点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称， ∴m+2＝﹣2，n﹣4﹣3＝0， ∴m＝﹣4，n＝7， ∴（m+n）2＝（﹣4+7）2＝32＝9， 故答案为：9． 12．（3分）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　5　 种画法． 【分析】根据轴对称图形的性质作出图形即可求解． 【解答】解：根据轴对称图形可作如图所示： 共有5种画法， 故答案为：5． 13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为　10　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝AC＝6，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠ADC，根据三角形的外角性质得到∠DAB＝∠B，得到BD＝AD＝4，计算即可． 【解答】解：∵CE是AD的垂直平分线， ∴DC＝AC＝6， ∴∠DAC＝∠ADC， ∵∠DAC＝2∠B， ∴∠ADC＝2∠B， ∵∠ADC＝∠B+∠DAB， ∴∠DAB＝∠B， ∴BD＝AD＝4， ∴BC＝BD+DC＝4+6＝10， 故答案为：10． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则BD的长度为 　6　 ． 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A， ∵∠B＝30°， ∴∠ACD＝30°，AB＝2AC， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝8， ∴BD＝AB﹣AD＝6． 故答案为：6． 15．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D在BC边上，且△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 　40°或70°或100°　 ． 【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠B＝∠C＝40°，然后分三种情况：当AB＝AD时；当BA＝BD时；当DB＝DA时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C40°， 分三种情况： 当AB＝AD时，此时点D与点C重合， ∴∠ADB＝∠ACB＝40°； 当BA＝BD时，如图： ∴∠BAD＝∠BDA70°； 当DB＝DA时，如图： ∴∠B＝∠BAD＝40°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝100°； 综上所述：∠ADB的度数为40°或70°或100°， 故答案为：40°或70°或100°． 16．（3分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　①③　 ．（填序号） 【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠BAD的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ABD的度数，再根据等腰三角形的性质可知∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，可判断①选项；根据∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∠ABO与∠DBO不一定相等，即可判断②选项；先求出∠APC+∠DCP的度数，再求出∠OPC+∠OCP的度数，即可求出∠POC的度数，再根据OP＝OC，即可判断③选项． 【解答】解：①连接OB，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°， 故①选项正确； ②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等， ∴∠APO与∠DCO不一定相等， 故②选项不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）在等腰三角形ABC中，AB＝22，BC＝10，AC＝2m+2．求△ABC的周长及m的值 【分析】分AC＝10和22两种情况利用三角形的三边关系验证后求得等腰三角形的周长即可． 【解答】解：当AC＝10时，10+10＜22，不能组成三角形； 当AC＝22时，22+10＞22，可以组成三角形， 可得2m+2＝22， 解得m＝10， △ABC的周长为10+22+22＝54． 18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF； （2）求出△ABC的面积； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为2，求点P的坐标． 【分析】（1）根据坐标先描出A，B，C三点，再顺次连接即可，再确定A，B，C关于y轴对称的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）设P点坐标为（t，0），由△ABP的面积为3，可得，再解方程即可． 【解答】解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作； （2）． （3）设P点坐标为（t，0）， ∵△ABP的面积为2， ∴， 解得t＝﹣2或6， ∴P点坐标为（﹣2，0）或（6，0）． 19．（8分）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE＝AF． 【分析】（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可； （2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AE＝PE，再证明△AOF≌△AOE，得到AF＝AE，即可证明PE＝AF． 【解答】解：（1）如图，直线EF即为所作图形； （2）∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP， 由（1）可知：EF垂直平分AP， ∴EF⊥AP，AE＝PE， 在△AOF和△AOE中， ∠OAF＝∠OAE，AO＝AO，∠AOF＝∠AOE＝90°， ∴△AOF≌△AOE（ASA）， ∴AF＝AE， ∴AF＝PE． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD． （1）求证：△ACD等腰三角形； （2）若∠BAC＝100°，求∠BDC的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，根据AB＝AC，得出AC＝AD，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出∠ABC＝∠ACB＝40°，根据平行线的性质得到∠CAD＝40°，根据BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠DBC＝20°，根据等边对等角得到∠ABD＝∠ADB＝20°，∠ACD＝∠ADC＝70°，进而计算即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形． （2）解：∵∠BAC＝100°，AB＝AC， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝20°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝20°， ∵AC＝AD， ∴， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝70°﹣20°＝50°． 21．（8分）如图，在等边△ABC中，D为射线BA上一点，过D作DE∥BC交射线CA于点E，点F为AB边上一点，BF＝DE，过F作FH⊥CE，垂足为点H． （1）求证：DF＝BC； （2）求证：H为CE中点． 【分析】（1）证明△ADE是等边三角形得DE＝AD＝AE，再根据已知得BF＝DE＝AD，由此即可得出结论； （2）连接FE，FC，证明△CFB和△FED全等得FC＝FE，然后再根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠D＝60°，∠E＝∠C＝60°， ∴∠D＝∠E＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝AE， 又∵BF＝DE， ∴BF＝AD， ∴DF＝AD+AF＝BF+AF＝AB， ∵AB＝BC， ∴DF＝BC； （2）连接FE，FC，如图所示： 在△CFB和△FED中， ， ∴△CFB≌△FED（SAS）， ∴FC＝FE， ∵FH⊥EC， ∴CH＝EH， 即H为CE中点． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． （1）求证：∠BCD＝2∠CBE； （2）若△BDF是等腰三角形，请你直接写出∠A的度数． 【分析】（1）设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，进而得∠A＝2α，由此即可得出结论； （2）由（1）知∠CBE＝α，∠BCD＝∠A＝2α，∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，再分别求出∠BFD＝3α，∠DBF＝90°﹣2α，∠BDF＝90°﹣α，则∠BDF＞∠DBF，因此当△BDF是等腰三角形时，有以下两种情况：①当BD＝BF时，则∠BDF＝∠BFD，进而得90°﹣α＝3α，由此解出α可得∠A的度数；②当BD＝DF时，则∠DBF＝∠BFD，进而得90°﹣2α＝3α，由此解出α可得∠A的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】（1）证明：设∠CBE＝α， ∵BE⊥AC， ∴∠ACB＝90°﹣α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣2α， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝2α， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； （2）解：由（1）知：∠CBE＝α，∠BCD＝∠A＝2α，∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α， ∵BFD是△BCF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝3α， ∵BE⊥AC，∠A＝2α， ∴∠DBF＝90°﹣∠A＝90°﹣2α， 又∵∠BDF＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α， ∴∠BDF＞∠DBF， ∴当△BDF是等腰三角形时，有以下两种情况： ①当BD＝BF时，则∠BDF＝∠BFD， ∴90°﹣α＝3α， 解得：α＝22.5°， ∴∠A＝2α＝45°； ②当BD＝DF时，则∠DBF＝∠BFD， ∴90°﹣2α＝3α， 解得：α＝18°， ∴∠A＝2α＝36°， 综上所述：∠A的度数是45°或36°． 23．（10分）（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形． ①如图1，求证：△BCD≌△ACE； ②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明； （2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN． 【分析】（1）①可推出∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，从而得出结论； ②由①知：△BCD≌△ACE，从而∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，进而证得△ACN≌△BCM（SAS），从而∠BCM＝∠ACN，CM＝CN，从而推出∠MCN＝∠BCA＝60°，从而△CMN是等边三角形； （2）延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG，可推出△ABD≌△CMD，从而CM＝AB，∠A＝∠DCM，从而CM∥AB，CM＝AC＝CF，进而证得△CFM是等边三角形，从而∠CMF ＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FGFM，同理可得△FCN≌△ACE，从而得出∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AEAB，进而得出△GFN是等边三角形，从而得出∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM，进一步得出∠GMN＝∠GNM＝30°，进一步得出结论． 【解答】（1）①证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形． ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）； ②解：△CMN是等边三角形，理由如下： 由①知， △BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE， ∵AN＝2AE，BM＝2BD， ∴AN＝BM， ∵AC＝BC， ∴△ACN≌△BCM（SAS）， ∴∠BCM＝∠ACN，CM＝CN， ∴∠ACM﹣∠ACM＝∠ACN﹣∠ACM， ∴∠MCN＝∠BCA＝60°， ∴△CMN是等边三角形； （2）证明：如图， 延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠FCG＝∠ACB＝30°， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DM＝BD，∠CDM＝∠ADB， ∴△ABD≌△CMD（SAS）， ∴CM＝AB，∠A＝∠DCM， ∴CM∥AB，CM＝AC＝CF， ∴∠MCG＝∠ABC＝30°， ∴∠FCM＝∠MCG+∠FCG＝60°， ∴△CFM是等边三角形， ∴∠CMF ＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FGFM， 同理可得， △FCN≌△ACE， ∴∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AEAB， ∴∠MFN＝∠CFN﹣∠CFM＝60°，FN＝FG， ∴△GFN是等边三角形， ∴∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM， ∴∠GMN＝∠GNM， ∵∠GMN+∠GNM＝∠FGN＝60°， ∴∠GMN＝∠GNM＝30°， ∴∠CNM＝∠CMF+∠GMN＝60°+30°＝90°， ∴CM⊥MN． 24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点． （1）如图1，连接BE，若AD＝6，△BEC的周长为19，直接写出BC的长； （2）若AF是△ABC的中线． ①如图2，AF交DE于点O，若∠BAC＝30°，求证：EC＝2OD+OE； ②如图3，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边△MNP，连接AP，若AF＝11，直接写出AP的最小值． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得：AE＝BE，AD＝BD，再由AB＝AC和三角形的周长可得BC的长； （2）①如图2，在直线DE上截取DM＝DO，连接AM，BM，BE，根据线段垂直平分线的性质可得：AM＝BM，AE＝BE，∠BDE＝90°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠BAF＝∠CAF＝15°，再证明△BCE≌△BME（AAS）即可解答； ②解法一：如图3，以FM为边向右作等边△FMK，作直线PK交AF的延长线于G，交射线BF于点Q，在QP上取一点H，在射线BF上取一点D，使PH＝ND，连接DH，先确定点P的运动轨迹是：当等边△MNP在AF的右边时，点P在射线GH上运动，当AP⊥PG时，AP的长最小，从而可以解答． 解法二：如图4，向右构建等边△AMK，过点K作KH⊥BF于H，易得△AMP≌△KMN（SAS），则AP＝KN，根据KN≥KH，即可解答． 【解答】（1）解：如图1，∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，AD＝BD， ∵AD＝6， ∴AB＝12， ∵AB＝AC， ∴AC＝12， ∴BE+CE＝AE+CE＝12， ∵△BEC的周长为19， ∴BE+CE+BC＝19， ∴BC＝19﹣12＝7； （2）①证明：如图2，在直线DE上截取DM＝DO，连接AM，BM，BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM，AE＝BE，∠BDE＝90°， ∴∠BAE＝∠ABE＝30°， ∴∠BEC＝30°+30°＝60°＝∠BED， ∵AB＝AC，AF是中线，∠BAC＝30°， ∴∠BAF＝∠CAF30°＝15°， ∴∠C75°， ∵OD＝DM，AB⊥OM， ∴AB是OM的垂直平分线， ∴AO＝AM， ∴∠DAM＝∠DAO＝15°， ∴∠AMD＝75°， ∵AM＝BM，DM⊥AB， ∴∠BMD＝∠AMD＝75°， ∴∠C＝∠BMD， ∵BE＝BE， ∴△BCE≌△BME（AAS）， ∴CE＝EM＝2OD+OE； ②解法一：∵AF＝11，M是AF的中点， ∴AM＝FM， 如图3，以FM为边向右作等边△FMK，作直线PK交AF的延长线于G，交射线BF于点Q，在QP上取一点H，在射线BF上取一点D，使PH＝ND，连接DH， ∴∠FMK＝∠MFK＝60°，FM＝MK， ∵△MNP是等边三角形， ∴MN＝MP，∠NMP＝60°， ∴∠NMP＝∠FMK＝60°， ∴∠FMN＝∠KMP， ∴△MFN≌△MKP（SAS）， ∴∠MKP＝∠NFM＝90°，∠FNM＝∠MPK， ∴∠MND＝∠MPH， ∵PM＝MN， ∴△MPH≌△MND（SAS）， ∴MH＝MD，∠PMH＝∠DMN，∠MHP＝∠MDN， ∴∠DMH＝∠PMN＝60°， ∴△DMH是等边三角形， ∴当等边△MNP在AF的右边时，点P在射线GH上运动， 当AP⊥PG时，AP的长最小， ∵∠MHP＝∠MDN，∠DOQ＝∠MOH， ∴∠DQO＝∠DMH＝60°＝∠FQG， ∵∠GFQ＝90°， ∴∠G＝30°， Rt△MKG中，MKMG（FM+FG）， ∵MK＝MF， ∴FM＝FG， ∴AG， ∴AP的最小值AG． ∴当等边△MNP在AF的左边时，同理得：AP的最小值是． 综上，AP的最小值AG． 解法二：如图4，向右构建等边△AMK，过点K作KH⊥BF于H， 易得△AMP≌△KMN（SAS）， ∴AP＝KN， ∵K是定点，BF是定直线， ∴KN≥KH， ∴AP的最小值＝KHAF． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称全章培优测试卷 【人教版新教材】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 3．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，若BE＝5，FC＝3，则EF长是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 4．（3分）已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 5．（3分）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．60° B．75° C．70° D．90° 6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 7．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（3分）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 9．（3分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（　　） A．22° B．34° C．56° D．68° 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称，则（m+n）2＝ 　 　 ． 12．（3分）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　 　 种画法． 13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则BD的长度为 　 　 ． 15．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D在BC边上，且△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 　 　 ． 16．（3分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　 　 ．（填序号） 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）在等腰三角形ABC中，AB＝22，BC＝10，AC＝2m+2．求△ABC的周长及m的值 18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF； （2）求出△ABC的面积； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为2，求点P的坐标． 19．（8分）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE＝AF． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD． （1）求证：△ACD等腰三角形； （2）若∠BAC＝100°，求∠BDC的度数． 21．（8分）如图，在等边△ABC中，D为射线BA上一点，过D作DE∥BC交射线CA于点E，点F为AB边上一点，BF＝DE，过F作FH⊥CE，垂足为点H． （1）求证：DF＝BC； （2）求证：H为CE中点． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． （1）求证：∠BCD＝2∠CBE； （2）若△BDF是等腰三角形，请你直接写出∠A的度数． 23．（10分）（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形． ①如图1，求证：△BCD≌△ACE； ②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明； （2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN． 24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点． （1）如图1，连接BE，若AD＝6，△BEC的周长为19，直接写出BC的长； （2）若AF是△ABC的中线． ①如图2，AF交DE于点O，若∠BAC＝30°，求证：EC＝2OD+OE； ②如图3，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边△MNP，连接AP，若AF＝11，直接写出AP的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $