八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（人教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【人教版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 3．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 5．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为 平方厘米． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，，则的度数为 ． 13．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的度数是 ． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个． 16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” (1)若是最大边，则的最大长度为； (2)林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 19．（8分）（25-26八年级上·广东中山·期中）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明． 20．（8分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 21．（10分）（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 23．（12分）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 24．（12分）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【人教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长交于点，由图可知，，，，则，根据三角形的外角性质可得，进而得到当时，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由图可知，，，， ， ， ， ， 则图中应减少， 故选：A． 2．如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．设等边的边长为，则，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得与的周长之和为，最后根据的值的变化情况即可得出答案． 【详解】解：设等边的边长为，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和随着的变化而变化， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴在动点从点运动到点的过程中，的值是先变小后变大， ∴在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为先变小后变大， 故选：D． 3．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． 由角平分线得到，，从而根据三角形外角的性质得到，即可判断的度数会改变．由 ，可判断的度数不会改变． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵随着点A，B位置的改变，的大小也随之改变， ∴的度数会改变． ∵平分， ∴， ∴ ， ∴随着点A，B位置的改变，的度数不会改变． 故选：D 5．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形是解题的关键；过C作于H，证明，得，从而得，得，则可求得． 【详解】解：如图，过C作于H，则； 在正方形中，； ， ； ； ， ； 在与中， ， ， ； ， ， 即， ； ， ， ， ． 故选：A． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，根据，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接，如图    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，故①符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③符合题意； ，， ， ∵，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④符合题意； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，证明，，那么，当点共线时，取得最小值，记交于点，可证明，则此时，可得为等边三角形，则，由关于对称，得到，那么由，即可求解． 【详解】解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： 记交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将进行转化． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为 平方厘米． 【答案】200 【分析】本题主要考查三角形面积，与等高，又因为，所以，同理，，，即可解答． 【详解】解：因为与等高， 又因为， 所以， 同理，， 所以． 所以（平方厘米） 故答案为：200． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 13．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，对顶角相等，平角的定义，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，平角，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 由， 故 ； 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等．以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形． 故答案为：6． 16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” (1)若是最大边，则的最大长度为； (2)林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义； （1）设三边长分别为，，，则，且，，均为正整数，最大边长为b．根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到，从而求得最大边； （2）设，，则，且为正整数．是等腰三角形，即至少两边相等．分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：设三边长分别为，，，且，，均为正整数，最大边长为． ∵的周长是， ∴．则 根据三角形的三边关系， ∴ ∴， ∵是正整数，则的最大值为， 故答案为：7． （2）解：知，周长为，且三边长均为整数，因此． 设，，则，且，为正整数． 是等腰三角形，即至少两边相等．可能情形如下： ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ：即，则得，边长为，，，能构成三角形 综上所述，的长度为或或 18．（6分）（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可知：， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）（25-26八年级上·广东中山·期中）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明． 【答案】(1)20° (2)见解析 (3)，见解析 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据和可得结论； （2）首先根据点D是中点，，可得出，判断出，即可得出； （3）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵点D是中点，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴． 20．（8分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 21．（10分）（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和定理即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 23．（12分）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据可证明； （2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到，所以； （3）在上截取，如图3，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的值为2； （3）解：，理由如下： 在上截取，如图， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 24．（12分）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $