第15讲 直线与圆的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第15讲直线与圆的位置关系 知识再现 一.直线与圆的位置关系 1、判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法判断直线与圆的位置关系： 直线Ax+By+C=0与圆(x-a+(y-b)2=r2,圆心到直线的距离d= Aa+Bb+C A2+B2 ①当d>r台直线与圆相离台无交点； ②当d=r台直线与圆相切台只有一个交，点； ③当d<r台直线与圆相交台有两个交点. (2)代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到{ Ax+By+C=0 通过解的个数来判断： x2+y2+Dx+Ey+F=0' ①当△>0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； ②当△=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③当△<0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 二，直线与圆相交求孩长 1、几何法：利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长I之间的关系 r2=d2 整理出弦长公式为：1=2V2-d2 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两，点间距离公式计算 弦长 3、弦长公式法：设直线1：y=kx+b与圆的交点为(x,y),x2,y2),将直线方程代入圆 的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 1=1+x-x=1+k2)[(+x)广-4xx] 三直线与圆相切 1、圆的切线的条数 第1页共14页 (1)过圆外一点，可以作圆的两条切线； (2)过圆上一点，可以作圆的一条切线； (3)过圆内一点，不能作圆的切线 2、过圆上一点x0,yo)的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率飞， 若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程y=y%; 若k=0，则结课图形可直接写出切线方程x=x0； 若人存在肌0，则由套立关系知切或的斜车为日，由点研式写出初线方程 法二：若k不存在，验证是否成立； 若k存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可， 3、过圆外一点x,y0的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为k,则切线方程为y-y。=k(x-xo),即kc-y+。-k。=0 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程， 法二：当斜率存在时，设为k,则切线方程为y-yo=k(x-x),即x-y+%-,=0 代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=0，求得k,切线方程即可求出. 4、与圆的切线相关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x,)的圆的切线方程为xx0+少。=r2 (2)过(x-a2+(y-b2=r2上一点P(xy)的圆的切线方程为 (x-a(x-a+(y-b)(y%-b)=r2 (3)过(x-)+(y-b)=r2外一点P(xo,y)作圆的两条切线，切点分别为A,B,则 切点弦AB所在直线方程为：(x-a(x,-a+(y-b)(y-b)=r2. （4)过圆外一点P(x,)引圆(x-)+(y-b)2=r2的两条切线，则过圆外一点 P(,6)的切线长为d=Vx-a)2+(y%-b)2-r2 题型一：直线与圆的位置关系及判定 例1.直线1：y=x+2与圆C:x2+(y-1)=5的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D不确定 第2页共14页 例2.直线x-+1=0与圆x2+y2=2的位置关系是（) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 变式训练 1.已知Mxoy。为圆x2+y2=1内并于圆心的一点，则直线xox+yoy=1与该圆的位置 关系为() A,相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 2直线1：x+my+1-m=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的位置关系是(） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 题型二根据直线与圆的位置关系求参数 例3.设平面直线y=X十b与圆x2+y2=1相交，则b的取值范围为() A.（-) B.(-1,1) c.（-2,2)D.（-5,5) 第3页共14页 例4.若直线x-y+1=0与圆x2+y2-2x十1-a=0相切，则a等于() A.2 B.1 c.2 D.4 例5.已知直线1：y=kx与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,则0<k<”是‘直线1 与圆C相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例6.已知直线1：mx+ny=1与圆0：X2+y2=1相切，则mn的最大值为（) A. B.3 C.1 D.2 第4页共14页 变式训练 1.已知直线y=x-3与圆(x-2)+y2=4相交，则实数k的取值范围是() a[品)B(倍)c(D.() 2.已知圆C:x2+(y-m)2=1,直线1：(m+1x+2y+1+m=0,则直线1与圆C有公共点的 必要不充分条件是() A.-1≤m≤1 B.-1sm 2 C.-1≤m≤0 D.0≤ms 2 3.若直线1过点A(0,,斜率为1，圆x2+y2=4上恰有3个，点到1的距离为1，则a的值为() A.3V2 B.±3√2 C.±2 D.±√2 题型三：求圆的切线方程 例7.过圆x2+y2-2x-4y=0上一，点P(3,3)的切线方程为（) A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0 C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0 第5页共14页 例8设0为原点，点P在圆C:(x-2)+(y-1)=1上，若直线0P与圆C相切，则 10P=() A.2 B.2V5 c.13 D.14 例9.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为《，则c0s=（) A. B.年 c.- D.o 例10.已知，点P在圆C:(x-a)2+y2=a2(a>0).上，点A(0,2),若|PA的最小值 为1，则过，点A且与圆C相切的直线方程为() A.x=0或7x+24y-48=0 B.x=0或7x-24y-48=0 C.x=1或24x-7y-48=0 D.x=1或24x+7y-48=0 第6页共14页 变式训练 1.过点P(2,3)引圆x2+y2-2x-4y+4=0的切线，其方程是（) A.x=2 B.12x-5y+9=0 C.x=2或y=3 D.x=3或y=2 2.已知圆C:x2+y2+4x+2y-11=0,过，点(2,1)作圆C的切线m,则m的方程为（） A.x=2 B.3x+4y-10=0 C.3x+4y-10=0或x=2 D.3x+4y-10=0或3x-4y-2=0 3.过点(4,0)的直线1与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切，则直线1的方程为（) A.3x+4y-12=0或y=0 B.3x+4y-12=0或x=4 C.4x+3y-12=0或y=0 D.4x+3y-12=0或x=4 第7页共14页 4.已知过点P(2,3)的直线与圆(x-1)+y2=10相切，且与直线x-ay+1=0平行，则a=() A.2 B.-3 C.- D.7 题型四：与线长有关的问题 例11过，点A(2,3)作圆M:x2+y2=1的一条切线，切，点为B,则AB=(） A.3 B.25 C.万 D.√10 第8页共14页 例12.已知直线：x+y-4=0上P(2,y0),过点P向圆x2+y2=1引切线，则切线长是（) A.√7 B.6 C.2√2-1 D.22 例13.已知，点P(x,y)是直线y=2x+3上一动，点，PM与PN是圆C:（x-1)+y2=1的两条 切线，M、N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（) A.4 B.25 C.2 D.1 变式训练 1.过，点(0,2)与圆x2+y2+4x-1=0相切的两条直线的夹角为0，则cos0=() B.5 C.-5 4 4 D. 2.已知圆0的半径为2，过圆0外一点P作圆0的两条切线，切点为A,B,那么PAPB的 最小值为() A.-16+4V2 B.-12+42 C.-12+8√2 D.-16+8√2 第9页共14页 3.已知圆0：2+y2=1,直线3x十4y-10=0上动，点P,过点P作圆0的一条切线，切 ,点为A,则|PA的最小值为() A.1 B.2 c.5 D.2 题型五：切点弦及其方程应用 例14.过，点P(2,2)作圆x2+y2=8的切线，则切线方程为_ 例15.过原，点0作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线，设切，点分别为A,B,则直线AB的 方程为 变式训练 1过点MV3,0作圆C:x2+(y-1)=1的两条切线，切，点分别为A,B,则直线AB的方程 为」 2.已知，点P是直线2x+y-3=0上的动点，过，点P作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分 别为4B,则点QG,到直线AB的距离的最大值为☐ 第10页共14页 第15讲 直线与圆的位置关系 知识再现 一 .直线与圆的位置关系 1、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． ①当直线与圆相离无交点； ②当直线与圆相切只有一个交点； ③当直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： ①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； ②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 二 .直线与圆相交求弦长 1、 几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系 ，整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 三 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 题型一：直线与圆的位置关系及判定 例1．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：圆：的圆心，半径， 故圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故选：A 例2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 解析：方法一：直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线与圆相交.选A. 方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A. 方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得， 则，所以直线与圆相交.故选A.故选：A. 变式训练 1.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 解析：由题意知为圆内异于圆心的一点，则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C. 2.直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 解析：已知直线过定点， 将点代入圆的方程可得，可知点在圆内， 所以直线与圆相交.故选：A. 题型二 根据直线与圆的位置关系求参数 例3.设平面直线与圆相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：易知圆的圆心为，半径为，直线， 因为直线与圆相交，所以，解得. 故选：C. 例4.若直线与圆相切，则等于（    ） A． B． C． D． 解析：圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为， 直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径， 即：，解得.故选：A. 例5.已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由圆可得圆心，半径为1， 所以直线与圆相交圆心到直线的距离，解得， 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.故选：A. 例6.已知直线与圆相切，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 解析：由于直线与圆相切， 故圆心到直线l的距离为，即， 故，当且仅当时取等号，故选：B. 变式训练 1.已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 2.已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1. 因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交， 所以圆心到直线的距离，解得. 其必要不充分条件是把的取值范围扩大， 所以选项中只有是的必要不充分条件.故选：A 3.若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意知，，又圆上恰有3个点到l的距离为1， 所以圆心到直线的距离等于半径减去1， 则圆心到直线l的距离为，解得.故选：D. 题型三：求圆的切线方程 例7.过圆上一点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由得：， 则该圆的圆心为，又是该圆上一点， 则直线的斜率为，所以过点的切线的斜率， 则过点的切线方程为，即，故选：B. 例8.设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（    ） A．2 B． C． D． 解析：由圆的方程可得，故， 为原点，在圆上，与圆相切， 则.故选:A．    例9.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 解析：圆可化为，则圆心，半径为；    设，切线为、，则， 中，，所以．故选：C． 例10.已知点在圆 ．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 解析：由圆方程可得圆心为，半径，因为的最小值为，所以， 解得，故圆． 若过点的切线斜率存在， 设切线方程为，则，解得， 所以切线方程为，即； 若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．综上，过点且与圆相切的直线方程为或．故选：A. 变式训练 1.过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 解析：根据题意，圆，即， 其圆心为，半径；过点引圆的切线， 若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即， 则有，解得，此时切线的方程为，即． 综上：切线的方程为和．故选：C． 2.已知圆，过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 解析：将圆化为标准方程， 则圆心，，当切线的斜率不存在时，切线的方程为， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为， 即， 由题意知，.解得. 此时切线的方程为. 综上，切线的方程为或.故选：C. 3.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 解析：圆化为标准方程为，得圆心，半径为2，当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为，由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或故选：B 4.已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 解析：已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且；由圆心到切线的距离等于圆的半径， 可得圆的半径，，即.故选：B． 题型四：与切线长有关的问题 例11.过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 解析：因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B，所以，则， 因为，所以.故选：B. 例12.已知直线上，过点向圆引切线，则切线长是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意直线上，可得， 则，故在圆外， 过点向圆引切线，由于 , 则切线长是,故选：A 例13.已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 解析：由题意知，圆C：的圆心,半径， 因为与是圆C：的两条切线，所以， ,则，当最小时，也最小, 又点是直线上一动点， 故圆心到直线的距离，为的最小值，此时， 则此时四边形的面积也最小，最小值为.故选：C. 变式训练 1.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以点在圆外， 设圆心为，点为点，切点为，圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 在中，，所以， 故，由圆的切线的性质可得，所以.故选：A. 2.已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：如图，设，则， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立故的最小值为，故选：C. 3.已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 解析：圆：中，圆心，半径 设，则， 则, 当时，，故选：C. 题型五：切点弦及其方程应用 例14.过点作圆的切线，则切线方程为 ． 【答案】 例15.过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】圆配方可得， 其圆心为，半径， 过原点作圆的两条切线，切点分别为， 则，又点在圆上， 则直线为圆与圆的公共弦所在的直线，两圆方程相减可得， 即直线的方程为.故答案为：. 变式训练 1.过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,，则， 所以直线的方程为．故答案为：. 2.已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】1 【解析】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为， 则在以为直径的圆上，该圆的方程为， 将和相减得：， 即得到直线的方程为， 又因为点P是直线，故， 则直线的方程为，即， 当且，即，时该方程恒成立， 所以直线AB过定点， 当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大， 此时最大值即为Q，M之间的距离，而， 即点到直线AB的距离的最大值为1， 故答案为：1 题型六：直线与圆相交弦问题 例16.已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为圆的圆心为，半径r=2， 因为到直线的距离， 所以.故选：B. 例17.已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 解析:由圆的方程，可知圆心，半径， 直线过定点， 因为，则定点在圆内， 则点和圆心连线的长度为， 当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时， 由圆的弦长公式可得，故选：C. 例18.已知直线l：与圆O：交于A、B两点且，则（        ） A．0 B．±1 C．±2 D．±3 解析：圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离：， 由得，解得.故选：C. 变式训练 1.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：圆的圆心为,半径, 直线的方程化为一般形式为. ，设圆心到直线的距离为，则， ，解得.故选：D. 2.直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：5 D．3：5 【答案】A 【解析】设直线与圆的两个交点为，圆心为，过点作交于, 如图所示 设，所以圆心到直线的距离为. 在中， 因为，所以，由圆的性质知，， 所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比， 等于．故选：A. 3.当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得.故选:B. 4.直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【解析】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 故答案为：. 5.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】/ 【解析】由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 故答案为：． 题型七：直线与半圆的相交问题 例19.若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，＋∞) D．(1，3] 【答案】A 【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故选：A. 例20.已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】或 【解析】因为曲线，所以， 解得，曲线可化为， 两边同时平方有，，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分， 而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下： 由于直线与曲线只有一个公共点， 当直线过时，即，解得， 当直线过时，即，解得，由图象可知， 当直线与圆相切时：，解得或， 而即为在轴上的截距，由图象可知， 综上：或.故答案为：或. 变式训练 1.直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合）， 此时直线的斜率存在，且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以.故选：B. 2.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知直线过定点， 曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，， 作出它们的图形，如图， 直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切， 由图可知，它们有两个交点时，，故选：C． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $