4.4.2对数函数及其图象、性质(2)课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4　对数函数 第2课时　对数函数及其图象、性质 ？ ？ 一、与对数函数有关的函数的奇偶性 (2)对于∀x∈(-b,b),f(x)与f(-x)有何关系? ？ ？ 2.(1)若a>1,则函数f(x)=logag(x) 的单调递增区间就是g(x)的 单调递增区间与函数定义域的交集,f(x)=logag(x) 的单调递减区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集; (2)若0<a<1,则函数f(x)=logag(x) 的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集;f(x)=logag(x) 的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集. 二、与对数函数有关的函数的单调性 ？ 3.函数f(x)=log4(9-x2)的单调递增区间是　　　　　,单调递减区间是　　　　　.  解析:由9-x2>0得函数定义域为(-3,3),当x∈(-3,0)时,t=9-x2单调递增,所以f(x)在区间(-3,0)内单调递增;当x∈(0,3)时,t=9-x2单调递减,所以f(x)在区间(0,3)内单调递减. 答案:(-3,0)　(0,3) ？ 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)函数f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)(a>0,且a≠1)是偶函数.( √ ) (2)函数f(x)=log3g(x)的单调递增区间就是函数g(x)的单调递增区间.( × ) (4)函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)在其定义域上是增函数. ( √ ) ？ 合作探究·释疑解惑 ？ 探究一 与对数函数有关的函数的奇偶性及其应用 ？ ？ ？ ？ 反思感悟 判断与对数函数有关的函数奇偶性的方法 先考查函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下,再探究f(-x)与f(x)的关系,这时往往需要将f(-x)的表达式利用对数运算法则和性质进行转化变形,以明确f(-x)与f(x)的关系,从而得出奇偶性的结论. ？ 探究二与对数函数有关的函数的单调性及其应用 ？ ？ ？ 反思感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点 (1)函数的单调区间必须是定义域的子集,应特别注意端点处的情况; (2)若f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;若f(x),g(x)单调性相反,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”. ？ 【变式训练1】 若函数f(x)=loga(6-ax)在区间[0,2]上单调递减,则a的取值范围是(　　)　　　　 A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3,+∞) 解析:函数f(x)由y=logau,u=6-ax复合而成.因为a>0,所以u=6-ax在区间[0,2]上单调递减.因为f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以函数y=logau在定义域上单调递增.所以a>1.又当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3,所以1<a<3. 答案:B ？ 探究三 对数函数与指数函数的综合问题 【例3】 已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程:f(2x)=loga(ax+1). 解:(1)由ax-1>0,得ax>1. 所以当a>1时,函数的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,函数的定义域为(-∞,0). ？ 探究三 对数函数与指数函数的综合问题 【例3】 已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程:f(2x)=loga(ax+1). (2)当a>1时,设0<x1<x2,即-1>-1>0, 所以loga(-1)>loga(-1),即f(x2)>f(x1). 所以当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 同理可得,当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,0)内单调递增. ？ 探究三 对数函数与指数函数的综合问题 【例3】 已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程:f(2x)=loga(ax+1). (3)由f(2x)=loga(ax+1),得loga(a2x-1)=loga(ax+1), 即a2x-1=ax+1,即a2x-ax-2=0,即ax=2(舍去ax=-1).所以x=loga2. ？ 思 想 方 法 ？ 对数函数问题中的转化与化归思想 【典例】 求函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)在区间 上的最值,并求出取最值时对应的x的值. 解:f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log2x+2)·(log2x+1)=(log2x)2+3log2x+2. 令log2x=t,则g(t)=t2+3t+2=. 因为≤x≤4,所以-2≤t≤2. 所以当t=-时,g(t)有最小值g=-,此时x=; 当t=2时,g(t)有最大值g(2)=12,此时x=4. 综上,当x=时,f(x)有最小值-;当x=4时,f(x)有最大值12. ？ 方法点睛 1.合理运用对数的运算性质是解决本题的关键. 2.换元后一定要注意新元的取值范围. 3.二次函数在闭区间上的最值要结合图象的对称轴以及给定区间进行分析求解. 4.求得最值后要将取得最值时t的值换算为自变量x的值作答. ？ 1.给出函数f(x)=loga(a>0,且a≠1,b>0). (1)该函数的定义域是什么? 提示:(1)由>0,得定义域为(-b,b). (2)f(-x)=loga=loga=-loga=-f(x). 2.形如f(x)=loga,f(x)=loga,f(x)=loga,f(x)=loga (a>0,且a≠1,b>0)等的函数均为奇函数. (3)若函数g(x)的最大值为m,则函数f(x)=log(x)的最大值 就是lom.( × ) 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=ln; (2)f(x)=log2(x+). 解:(1)由>0可得-2<x<2,所以函数的定义域为(-2,2). (方法一)∀x∈(-2,2),有-x∈(-2,2),且f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. (方法二)∀x∈(-2,2),有-x∈(-2,2),且f(x)+f(-x)=ln+ln=ln=ln 1=0, 即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. (2)易得函数的定义域为R.对∀x∈R,有-x∈R, 且f(-x)=log2(-x+) =log2(-x) =log2 =log2= -log2(+x) =-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. 若将本例中的(1)改为:已知f(x)=ln为奇函数,则正数a,b应 满足什么条件? 解:由>0得-b<x<a(a,b均为正数). 因为f(x)为奇函数,所以-(-b)=a,即a=b. 当a=b时,f(x)=ln. 由f(-x)+f(x)=ln+ln=ln=ln 1=0, 可知f(-x)=-f(x),此时f(x)为奇函数. 故f(x)为奇函数时,a=b. 【例2】 已知函数f(x)=lo(-x2+2x+1). (1)求f(x)的单调区间;　(2)求f(x)的值域. 解:(1)由-x2+2x+1>0,解得1-<x<1+. 所以函数的定义域为(1-,1+). 设g(x)=-x2+2x+1,则f(x)=log(x). 又g(x)=-(x-1)2+2,所以当x∈(1-,1)时,g(x)单调递增. 所以f(x)在区间(1-,1)内单调递减. 当x∈(1,1+)时,g(x)单调递减. 所以f(x)在区间(1,1+)内单调递增. 故函数f(x)=lo(-x2+2x+1)的单调递增区间为(1,1+), 单调递减区间为(1-,1). (2)设t=-x2+2x+1,可知t=-(x-1)2+2, 由1-<x<1+,可知0<t≤2. 因为y=lot在区间(0,2]上单调递减,而lo2=-1, 所以函数f(x)的值域为[-1,+∞). $