重难点08 幂函数、指数函数与对数函数五类综合题（8大题型+能力训练） 讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点08 幂函数、指数函数与对数函数五类综合题 类型一、函数的值域与最值问题 1．（24-25高一上·上海阶段练习）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由 2．（2023秋•耒阳市校级期末）已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设，为实常数，求在区间，上的最小值． 3．（24-25高一上·上海阶段练习）已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 4．（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 5．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； 6.（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知函数． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 8．（23-24高一上·河南郑州·月考）求函数，的值域. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 10．（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 11．（24-25高一上·上海黄浦期末）已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最小值. 12.（24-25高一上·上海嘉定期末）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 13．（24-25高一上·上海徐汇期末）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 类型二、解不等式 14．（2023秋•凉州区校级期末）已知幂函数的图像关于y轴对称． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·上海奉贤期末）已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．    (1)用解析法表示函数，并画出函数的图像； (2)根据图像写出函数的单调区间，值域； (3)解不等式. 16．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 17．已知函数（其中）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； 18．已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 19.已知函数. （1）若，解不等式； （2）若函数在区间上的最小值为，求的值. 20．已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求； (3)求不等式的解集． 类型三、恒成立问题 21．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 22．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 23.已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 24．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 25．（24-25高一上·山东·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 26．已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 27．已知函数在区间上的最大值是1. (1)求的值； (2)若函数的定义域为，求使得不等式成立的实数的取值范围. 28．已知函数，. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 29．已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 30．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 31．（23-24高一上·海南·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值，并求出取得最大值时的值； (3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 32.已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 33.已知函数，. (1)求实数a的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 34．已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 35．已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 36．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 类型四、方程有解问题 37．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 38．已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域； (3)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围． 类型五、新定义问题及其他问题 39．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 40．（23-24高一上·上海·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 41．（23-24高一上·上海·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 42．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，函数， （1）将的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）； 解析式化为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果在区间上严格单调递减，求实数a的取值范围. 43．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点08 幂函数、指数函数与对数函数五类综合题 类型一、函数的值域与最值问题 1．（24-25高一上·上海阶段练习）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【解析】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 2．（2023秋•耒阳市校级期末）已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设，为实常数，求在区间，上的最小值． 【解析】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，故． 又因为，故，或，所以． （2）由（1）知， ①若，即时，在，上单调递增， 所以． ②若，即时， 在，上单调递减，，上单调递增， 所以． ③若，即时，在，上单调递减， 所以（1）． 综上：时，在区间，上的最小值为； 时，在区间，上的最小值为； 时，在区间，上的最小值为． 3．（24-25高一上·上海阶段练习）已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【解析】（1）由题意得，，解得， 则. （2）由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 4．（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【解析】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 5．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. 6.（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知函数． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，对成立，则，即． 所以实数的取值范围为． （2）由函数的值域为，则是值域的子集， 所以，即或． 所以实数的取值范围为． 7．（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 8．（23-24高一上·河南郑州·月考）求函数，的值域. 【答案】 【解析】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，令，求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）依题意可得，再令，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 令，即，则或， 解得或， 所以的取值范围为； （2）因为 ， 令，因为，则， 此时有， 令，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得. 10．（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【答案】(1) (2)时，取得最小值1． 【分析】（1）将和代入解析式中得到方程组，然后求解即可； （2）求出，利用对数的运算整理得到，然后利用基本不等式求解即可． 【解析】（1）由已知，得， 解得， 故； （2）由于 ， ， 故． 于是，当时，取得最小值1． 11．（24-25高一上·上海黄浦期末）已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得. （2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或. 又在上是增函数，则，即， 所以，则. （2）由（1）得，所以. 令，当时，单调递减. 又函数在其定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递减， 所以. 12.（24-25高一上·上海嘉定期末）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】（1）函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. （2）由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 13．（24-25高一上·上海徐汇期末）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解. 【解析】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 类型二、解不等式 14．（2023秋•凉州区校级期末）已知幂函数的图像关于y轴对称． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由于函数是幂函数，故， 解得或， 当时，不是偶函数，不合题意； 当时，是偶函数，符合题意．故． （2）由（1）知，则原不等式化为， 结合幂函数在，上为增函数，得， 解得，即实数的取值范围为． 15．（24-25高一上·上海奉贤期末）已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．    (1)用解析法表示函数，并画出函数的图像； (2)根据图像写出函数的单调区间，值域； (3)解不等式. 【答案】(1)，作图见解析 (2)函数在区间单调递减；在单调递增，值域为 (3) 【分析】（1）先根据指数函数单调性和一次函数的单调性及，从而求得函数值大小关系，然后根据新定义可求的解析式，然后根据指数函数图象和一次函数图象作出分段函数图象； （2）根据（1）中的图象直接写出单调递减区间并求出值域； （3）令，则，解得，再分类讨论求解，即可得解. 【详解】（1）函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 又，所以时，，时，， 所以， 作图如下：    （2）由图象可知函数在区间单调递减；在单调递增，值域为； （3）令，则，所以，解得，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：不等式的解集为. 16．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解； （2）由（1）得到作图求解； （3）根据（2）中图象求解. 【详解】（1）解：因为函数 是幂函数， 所以 解得 或 ①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称， ②当 时，函数的图象关于y轴对称， 则 所以幂函数f（x）的解析式是； （2）由（1）知，其的定义域是 在定义域上的图象，如图所示.      （3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是： 不等式的解集是. 17．已知函数（其中）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入得到，且，求出，得到解析式； （2），变形得到，换元，解不等式，求出解集. 【详解】（1）由题意得，即， 的图象无限接近于直线，但没有交点， 由于的图象无限接近于，故的图象无限接近于， 故，则，所以； （2），故， 即，令， 则，解得， 故，解得，不等式解集为. 18．已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为函数在上为增函数， 由可得，解得， 因此，当时，不等式的解集为. （2）当时，对任意的，，， 若对任意的，， 可得，可得， 所以，，整理可得对任意的恒成立， 令，由题意可得，解得， 又因为，所以，， 因此，正实数的取值范围是. 19.已知函数. （1）若，解不等式； （2）若函数在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】（1）当时，， 不等式为， 则，即， 设，不等式化为， 解得或， 故或， 故不等式的解集为. （2）设， 根据题意知，当时，， 设，函数化为， 其对称轴为， 当，即时，， 解得，符合题意； 当，即时，， 解得（舍）， 故值为或. 20．已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）由对数函数定义域构造不等式求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可； （3）分和判断函数单调性，进而可求解； 【详解】（1）由题意得 解得，即的定义域为． （2）由， 得或，解得或． （3）当时，，在上为增函数， 又在上为减函数，在上为减函数， 则是增函数， 由，得， 解得，即的解集为． 当时，在上为减函数， 又在上为减函数，所以在上为增函数， 可得是减函数， 由，得， 解得，即的解集为． 综上：当时，解集为， 当时，解集为. 类型三、恒成立问题 21．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性判断单调区间； （2）根据指数函数单调性得出二次不等式恒成立，再结合判别式得出参数范围. 【详解】（1）当时，， 令，则， 的增区间为，减区间为， 又为减函数， 根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为； （2）恒成立， ，即恒成立， ，解得：. 22．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求解即可； （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，解不等式得解. 【详解】（1）令，由，则， 所以 当时，取最小值为当时，取最大值为3， 即 故值域为. （2）由， 令，则，且， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故， 所以实数的取值范围. 23.已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域. （2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 24．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 25．（24-25高一上·山东·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由题设， 而，所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 26．已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增函数，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）利用单调递增函数的定义证明； （3）根据奇函数和单调递增函数的性质可得，再转化为恒成立问题求解即可. 【解析】（1）当时，， 任取，则,， 又∵为定义在上的奇函数， ∴， 又∵也符合上式， ∴； （2）任取，且， ∵ ∴∴， 又∵， ∴∴在上单调递增； （3）由得， ∴∴，即， ∴对，都有恒成立， ∴，当时， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 27．已知函数在区间上的最大值是1. (1)求的值； (2)若函数的定义域为，求使得不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. （2）由题意利用判别式求出的范围，得出，再由指数函数单调性求解不等式即可. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增，，解得； 当时，函数在上单调递减，，解得， 所以的值为或. （2）由函数的定义域为，得恒成立， 则，解得，由（1）知， 不等式，即，则，于是，解得， 所以实数的取值范围. 28．已知函数，. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件化简方程为，令得到关于的二次函数，由函数定义域求函数值域即可. （2）将函数解析式代入不等式，通过换元并由单调性求出参数范围，用分离常数得到不等式，讨论函数的单调性,通过定义域求得最大值，从而求得实数的取值范围. 【详解】（1）∵，由， ∴在有解， 令，所以， 当时；当趋向于0或时趋向于1，即. （2），即， 令，则， 因为，为增函数，所以， 所以化为对任意的恒成立， 在上单调递减， 当时，取得最大值为， 所以，实数的取值范围为. 29．已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由对数的真数大于零列不等式组求解即可. （2）先求内层函数值域，再求外层函数的最大值，列方程求解即可. （3）由题可知，不妨设，，则，利用二次函数性质求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意，， 必有解可得，即函数的定义域为. （2）， 设， 则有最大值4， 又由，函数在上单调递增，所以函数有最大值， 则有，解可得，故. （3）由题可知， 又因为， 所以，，使， 即， 不妨设，则， . 又由对称轴为且， ， . 30．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【解析】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 31．（23-24高一上·海南·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值，并求出取得最大值时的值； (3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)最大值为1，此时的值为1；(3) 【解析】（1）函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为； （2）函数， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 所以当时，取得最大， 故函数的最大值为1，此时的值为1； （3）由题意可得，不等式在上恒成立， 则在上恒成立， 即在上恒成立，可得在上恒成立， 令， 则，当且仅当，即时取等号， 所以， 故实数的取值范围为． 32.已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原方程中用换得，联立方程组求，进而可得； （2）设，则，把原问题转化为能成立问题，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，① 用换得，② ①②得， 所以． （2）设，，则， 所以存在，使， 即，即， 因为，所以， 当时，取得最大值， 所以，即的取值范围是． 33.已知函数，. (1)求实数a的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）参变分离，令，得到的单调性，从而得到，得到答案. 【详解】（1），解得； （2），即， ∴， 设， 由于在上单调递减， 又在上单调递增，且， 故在上，单调递减， 所以， 故. 34．已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案. （2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可. （3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解. 【解析】（1）由题意可得：，即. 因为， 则. 因为函数在上单调递增，且， 所以. 故不等式的解集为 （2）由，得：函数定义域为. 令 则，. 因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，，当时，. 故的值域为. （3）由题意得：当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立. 令，. 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，. 所以，解得： 故当时，不等式恒成立， 的取值范围为. 35．已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）令，利用换元法将原方程转化为，则或，结合对数的运算性质即可求解； （2）令，原不等式可转变为在上恒成立，结合二次函数的性质分类讨论，求出即可求解. 【详解】（1）令，则， 当时，等价于，即， 得，有或， 则或，所以或. （2）法一：令，由，得， 依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立， 令，对称轴， ①当时，即，，得.所以. ②当，即，，得.所以. 综上所述，的取值范围为. 法二：令，由，得， 依题意得恒成立，令， ①当时，易知在上单调递增，且当时，， 所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立. ②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得， 即当时，不等式恒成立. ③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 要使原不等式成立，须使恒成立，解得 综上所述，的取值范围为. 法三：令，由，得， 依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立， 由，得， ①当时，恒成立，R； ②当，，所以在上恒成立， 令，， 则， 在上单调递减，所以， 所以，的取值范围为. ③当，，所以在上恒成立， 令，， 则， 当且仅当，即，，时等号成立，即， 所以，的取值范围为 综上所述，的取值范围为. 36．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，最小值为，当时，最小值为1 (3) 【分析】（1）配方后得到函数单调区间； （2）分和，得到函数单调性，得到最小值； （3），换元后得到，，从而得到，求出答案. 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，最小值为，当时，最小值为1. （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立问题常常利用函数最值解决，可以直接利用函数性质求解最值，也可分离参数后利用易解决的函数性质求解最值，从而解决问题. 类型四、方程有解问题 37．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 38．已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域； (3)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【解析】（1）函数中，由，得，即， 而且，解得，所以. （2）令，当时，，则， 当时，；当时，，所以在上的值域为. （3）令，当时，， 方程在上有解等价于函数的图象与直线在时有交点， 由（2）得，在时的值域为， 因此，解得， 所以实数m的取值范围为. 类型五、新定义问题及其他问题 39．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 40．（23-24高一上·上海·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)是，1； (2)； (3). 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； （3）作出的图象，结合图象可解. 【解析】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数 ，使得（其中）， 即， ，且为增函数， 对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，； （2）可得的定义域为， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， ， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根，故只需时仅有1个根. 当时，，符合题意， 当时，若对称轴， ，且， 在上单调递减，上单调递增， 则一定存在使得有两个根，舍去； 若对称轴，则无解，舍去； 若对称轴，则在上必须单调递减，且， ，解得； 当时，对称轴， 且， 时，，无解； 当时，单调递减且， 因此仅有1个根，符合题意. 综上，实数的取值范围是； （3）当时，； 当时，，其中为双勾函数， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故 对于任意要有5个根， ，作出函数的图像，如下图： 要使有5个根，需， 又，解得， 所以正实数的取值范围. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数k，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 41．（23-24高一上·上海·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 【答案】(1)不具有性质,理由见解析 (2), (3)，． 【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可， （2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解， （3）根据的值域为值域的子集即可分类讨论求解， 【解答】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集， 【解析】（1）由可得， 因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质； （2）函数在区间,的值域为,，函数在,上的值域为,， 要使函数具有性质,只需，解得，即的取值范围为,； （3）由题意的值域为,， 因为,，所以的对称轴,，且开口向下， 所以的最大值为，又，， 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，，符合题意； 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，所以符合题意， 综上，的取值为，． 42．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，函数， （1）将的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）； 解析式化为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果在区间上严格单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1）表格见解析；（2）. 【分析】（1）根据幂函数的图像性质，可得答案. （2）设，则在上单调递增，且，由复合函数的单调性规则，所以在上单调递减，再讨论二次项的系数，根据二次函数的图像性质，结合对称轴的位置可得答案. 【详解】（1） 解析式化为根式 定义域 R 值域 R 单调性 严格增 奇偶性 奇函数 零点 0 （2） 设，由，则.，且在上单调递增. 因为在区间上严格单调递减,设 根据复合函数的单调性规则，所以在上单调递减. 当时，满足在上单调递减. 当时，的对称轴满足，开口向下，满足在上单调递减. 当时，则的对称轴满足，故 综上可得：在区间上严格单调递减，实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查幂函数的图像性质和考查复合函数的单调性求参数问题，解答本题的关键是由题意设，根据复合函数的单调性规则，所以在上单调递减，结合二次函数的图象性质得出答案.属于中档题. 43．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知函数的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可； （2）利用作差法比较的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式. 【详解】（1）令，由函数的值域为，得； 当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，解得， 则实数a的取值范围是. （2）由题意，， 因为，所以，则； ①当时，在区间上，则，即， 在区间上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； ②当时，在区间上，则，即， 上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； 综上所述，对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素， 则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $