精品解析：广西南宁市第十八中学2025-2026学年八年级上学期数学10月月考试卷

2025年秋季学期10月份大作业 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项是符合要求，选错、多选或未选均不得分．） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒以上，用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（ ） A. 米 B. 10米 C. 15米 D. 20米 5. 已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（ ） A. B. C. D. 10. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高，平分交于点，，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. ____． 14. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是______． 15. 已知的三条边长均为正整数，，，则的长度可能是______．（只填写一种情况即可） 16. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，常见的进位制有十进制、二进制、七进制、十二进制等，其中最常用的进位制是十进制和二进制，约定逢十进一，使用0~9这十个数字来表示，例如：；而二进制则是约定逢二进一，使用0和1这两个数字来表示，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲使用八进制记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，孩子已经出生的天数为______． 三．解答题（共大题共7小题，共72分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算，解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 19. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 22. 先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则 ， ； （2）若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； （3）某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期10月份大作业 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项是符合要求，选错、多选或未选均不得分．） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故选：B． 3. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒以上，用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示较大的数的形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．据此即可解答． 【详解】解：用科学记数法表示1300000是． 故选：B． 4. 如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（ ） A. 米 B. 10米 C. 15米 D. 20米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由题意可得，，从而证得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴米． 故选：C 5. 已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．所谓方程的解，是指能使方程左右两边相等的未知数值．因此，将已知解代入，可建立关于a的等式，进而求解． 【详解】解∶∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵点的横纵坐标符号分别为：， ∴点位于第四象限． 故选D． 7. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、不等式两边同乘以3，得，故本选项的变形正确； B、不等式两边同乘以，得，故本选项的变形错误； C、不等式两边同减去2，得，故本选项的变形错误； D、不等式两边同乘以c，若，则；若，则；若，则．故本选项的变形错误． 故选：A 8. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，合并同类项，根据相关的知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项的计算错误； B、与不是同类项，不能合并，本选项的计算错误； C、，故本选项的计算正确； D、，故本选项的计算错误． 故选：C． 9. 泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；过点B作，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵与始终平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，逐一分析各选项是否符合唯一确定三角形的条件． 【详解】解：A． 已知直角和斜边长度，但缺少另一条直角边或锐角，无法唯一确定三角形（不满足定理）． B． 已知两边及其中一边的对角（），但此时可能存在两种不同三角形，无法唯一确定． C． 已知三个角（），只能确定形状，无法确定大小，不能唯一画出． D． 已知两角及夹边（），符合全等三角形判定定理，能唯一确定三角形． 故选：D． 11. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： A． 12. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高，平分交于点，，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，三角形中线的性质，角平分线的性质，理解掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，过点F作于点M，作于点N，根据角平分线的性质得到，根据求出，再由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ． 过点F作于点M，作于点N， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选∶B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. ____． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故答案为：． 15. 已知的三条边长均为正整数，，，则的长度可能是______．（只填写一种情况即可） 【答案】2（或3或4）． 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系得出不等式求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系，得 ， 即， ∵的三条边长均为正整数， ∴． 故答案为：2（或3或4）． 16. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，常见的进位制有十进制、二进制、七进制、十二进制等，其中最常用的进位制是十进制和二进制，约定逢十进一，使用0~9这十个数字来表示，例如：；而二进制则是约定逢二进一，使用0和1这两个数字来表示，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲使用八进制记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，孩子已经出生的天数为______． 【答案】154 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题意；根据满八进一，类似于八进制数，仿照二进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由于满八进一，类似于八进制数，所以图示表示的数为232，则有； 故答案为154． 三．解答题（共大题共7小题，共72分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算，解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据绝对值及有理数的运算可进行求解； （2）根据一元一次方程的解法可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 19. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135； 补全统计图如下所示： （2）450人 （3） 解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出时间段骑电动车的人数并补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段骑电动车的人数为人， 【小问2详解】 解；人， 答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； 【小问3详解】 略 20. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据证明即可； （2）根据三角形的内角和定理求得，由全等三角形的性质得到，再由邻补角互补即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 （2）共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3） 【解析】 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【小问1详解】 解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； 【小问2详解】 解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； 【小问3详解】 解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 22. 先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则 ， ； （2）若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； （3）某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】（1）5， （2） （3）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据整体思想可进行求解； （2）将两方程相加可得到，然后可得不等式，进而求解即可； （3）设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意易得，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 得：， ∴； 得：； 故答案为5，； 【小问2详解】 解：由可得：， 则， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意得： ， 得：； 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，由题意易证，则有，同理可得，然后可得，进而可得，最后根据线段的等量关系可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $