3.2.2 双曲线的简单几何性质（第3课时）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线及其简单几何性质第3课时---直线与双曲线位置关系 同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．已知双曲线，过点作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（    ） A．3条 B．4条 C．1条 D．2条 2．已知双曲线，则下列说法不正确的是（   ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线与有相同的渐近线 C．双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3 D．直线与双曲线有两个交点 3．若直线过点(1，0)与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题 5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（   ） A．直线l：与C恰有两个公共点 B．若，则的面积为 C．双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D．若，则的周长为28 6．已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．到双曲线的一条渐近线的距离为1 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 7．已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的两条渐近线方程为： C．双曲线的离心率为 D．双曲线有且仅有两条过点的切线 三、填空题 8．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 9．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 10．已知直线和双曲线的右支交于不同两点，则的取值范围是 四、解答题 11．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点的直线与双曲线交于两点，是否存在直线使得 (为原点)，若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.2.2双曲线及其简单几何性质第3课时---直线与双曲线位置关系同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D B B BC BD BD 1．D 【分析】当直线斜率不存在时，可得直线满足题意；当直线斜率存在时，设为，与双曲线方程联立；当所得方程二次项系数为零时，可求得满足题意的；当二次项系数不为零时，利用判别式等于零可求得；综合上述情况可得结果. 【详解】由双曲线方程可知其顶点坐标为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为：，满足与曲线只有一个公共点； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：，即：， 联立，整理可得： 当，解得， 当时，此时方程没有实数根， 当时，此时方程有且仅有一个实数根， 直线与曲线有且仅有一个公共点 当时，，解得：， 又因为，此时方程无解.综上所述：满足条件的直线有条，故选：D 2．D 【分析】对A直接根据双曲线方程即可求出焦点坐标；对B，根据渐近线公式即可判断；对C，根据点到直线距离公式即可判断；对D，根据渐近线与直线关系即可判断. 【详解】依题意，双曲线方程为，所以， A选项，双曲线焦点为，A正确. B选项，双曲线C与的渐近线方程均为，则它们有相同的渐近线，B正确. C选项，双曲线的一条渐近线为， 焦点到渐近线的距离为，C正确. D选项，由于双曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，D错误.故选：D 3．B 【解析】点是双曲线的右顶点，结合双曲线的性质与图形可得过点与双曲线只有一个公共点的直线有3条． 【详解】由题意可得：双曲线的渐近线方程为：， 点是双曲线的顶点，故直线与双曲线只有一个公共点； 过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，有2条 所以，过的直线与双曲线只有一个公共点，共有3条，故选：． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题． 4．B 【分析】根据双曲线渐近线的斜率，求得直线斜率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；当直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和双曲线交点问题，属于基础题. 5．BC 【分析】A选项，求出渐近线方程，由直线l与渐近线平行得到A正确；B选项，设，，由双曲线定义和余弦定理得到，由三角形面积公式得到B正确；C选项，求出以为直径的圆的方程，焦点坐标在圆上，C正确；D选项，由双曲线定义和得到，求出三角形周长. 【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为， 故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误； 对于B，设，，由可知点M在C的右支上， 由双曲线定义得，又，故， 在中，由余弦定理得， 解得，所以的面积为，B正确； 对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为， E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确； 对于D，由双曲线定义知，， 所以，又， 所以，所以的周长为，D错误．故选：BC． 6．BD 【分析】求出双曲线的离心率可判断A；由点到直线的距离可判断B；求出双曲线与双曲线的渐近线可判断C；由直线与双曲线的位置关系可判断D. 【详解】由双曲线的方程可得双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以双曲线的离心率，故A错误； 由题意得，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为， 由点到直线的距离公式得，到双曲线的渐近线的距离，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，故C错误；点在双曲线的渐近线上， 所以过点的直线与双曲线只有一个公共点的直线有两条， 一条和渐近线平行，一条与右支相切，故D正确.故选：BD. 7．BD 【分析】根据双曲线方程，求出，即可判断ABC，对于D，可设过点的切线方程为，联立方程，消，注意二次项系数不等于零，再根据，求出，即可判断D. 【详解】解：由双曲线：，得，故， 所以双曲线的焦距为，故A错误；双曲线的两条渐近线方程为：，故B正确； 双曲线的离心率为，故C错误；对于D，由题意，过点的切线斜率存在， 设过点的切线方程为，联立，消整理得， 所以，即，且，解得， 所以双曲线有且仅有两条过点的切线，故D正确.故选：BD. 8．4 【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得. 【详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条.故答案为：4. 9． 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即，因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即，同理可得的方程为， 因为在切线上，所以，所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为.故答案为：. 10． 【详解】由直线和双曲线联立方程组，消y得 因为该方程有两个不等大于1的根，所以 点睛：研究直线和圆锥曲线的交点个数问题，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数. 利用韦达定理或求根公式进行转化，利用数形结合研究根的分布情况，若能用圆锥曲线的定义求解则更方便. 11．(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）设出双曲线的方程，利用离心率及所过的点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及垂直关系的向量表示求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为，由离心率为，得， 解得，于是双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）依题意，直线不垂直于，且与双曲线的渐近线不平行，设其方程为， 由消去得：，设， 则，， 若，则，整理得，无解， 所以不存在这样的直线. 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 求直线与双曲线的交点坐标 2 全部 讨论双曲线与直线的位置关系 3 全部 讨论双曲线与直线的位置关系 4 全部 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 二、多选题 5 全部 讨论双曲线与直线的位置关系 6 全部 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 7 全部 求双曲线的切线方程 三、填空题 8 全部 讨论双曲线与直线的位置关系 9 全部 求双曲线的切线方程 10 全部 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 四、解答题 11 全部 根据韦达定理求参数,讨论双曲线与直线的位置关系 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $