第二章 一元二次函数、方程和不等式考点大串讲 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026学年高一上学期期中考点大串讲二 数 学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 夯基*必备基础知识梳理 一、不等式的性质及常见不等式解法 1、实数的大小 (1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b. 2、不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式. 3、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性）； （异向可减性） ④（可积性）； ⑤（同向正数可乘性）； （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 4、 一元二次不等式： 求一元二次不等式解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数； 二判：判断对应方程的根； 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象； 五解集：根据图象写出不等式的解集. 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 5、 含绝对值的不等式的解法 不等式 解 集 或 把看成一个整体，化成， 型不等式来求解 6、两个实数比较大小的依据 关 系 方 法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 提升*常考题型归纳 题型一：用不等式表示不等关系 【例1-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（多选）已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【例1-3】（多选）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【例1-4】（多选）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【例1-5】已知，，则的取值范围为_________。 【例1-6】已知，求的取值范围______________. 【例1-7】已知，则的取值范围是__________. 【例1-8】若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型二：比较数或式子的大小 【例2-1】已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【例2-2】，则的大小关系为 ． 【例2-3】已知，试比较和的大小. 【例2-4】设，，证明：； 【例2-5】设，，，证明：. 题型三：不等式性质的应用 【例3-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【例3-3】已知均为非零实数，不等式与不等式的解集分别为集合和集合，那么“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 题型四：一元二次不等式的解法 【例4-1】（多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【例4-3】已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 题型五：绝对值不等式的解法 【例5-1】不等式的解集是 ． 【例5-2】解不等式：. 【例5-3】已知，则“成立”是“成立”的 条件. 【例5-4】方程的解集为 ． 【规律方法】 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 题型六：绝对值不等式的应用 【例6-1】不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 . 【例6-2】对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【例6-3】已知代数式和,若， 求不等式的解集； 【例6-4】解不等式：； 【规律方法】 1.两类含绝对值不等式的证明问题 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 2.含绝对值不等式的应用中的数学思想 (1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想． 3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解. (2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 夯基*必备基础知识梳理 二、基本不等式及其应用 1、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）变形公式： ②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）. 变形公式：; 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④（当且仅当时取到等号）. ⑤（当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号） 2、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 提升*常考题型归纳 题型一：利用基本不等式求最值 【例1-1】已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【例1-2】已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【例1-3】已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【例1-4】（多选）已知，，设，，则下列说法正确的是（    ） A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为 C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为 【例1-5】已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 题型二：“定和”条件下求最值 【例2-1】若x＞0，y＞0，且，则x＋y的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【例2-2】已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【例2-3】(多选)若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 【例2-4】（多选）设正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【例2-5】已知非负实数，满足，则的最小值为____________ 题型三：“定积”条件下求最值 【例3-1】【多选题】已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【例3-2】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．8 【例3-3】解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 题型四：“和、积关系”条件下求最值 【例4-1】已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．3 B．1 C．9 D． 【例4-2】已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 题型五：“平方关系”条件下求最值 【例5-1】已知，则的最小值是_______． 【例5-2】设、且，求的取值范围是_______. 题型六：基本不等式的综合应用 【例6-1】（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 已知，则的最小值为3 D. 若正数满足，则的最小值是4 【例6-2】（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．当时，的最小值是5 C．已知集合，若，则m的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 【例6-3】（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为4 C. 若，，，则的最大值为1 D. 若，满足，则最大值为 【例6-4】已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 题型七：基本不等式的实际应用 【例7-1】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是多少吨？ 【例7-2】2020年初，为降低疫情影响，某厂家拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【例7-3】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型八：利用基本不等式解决恒成立问题 【例8-1】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【例8-2】已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【例8-3】若正实数x，y满足x＋y＝2，且 ≥M恒成立，则M的最大值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例8-4】已知a>0，b>0， ＋ ＝ ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【例8-5】已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m＜6} B. {m|m≤6} C. {m|m≤8} D. {m|m＜8} 【例8-6】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 夯基*必备基础知识梳理 三、二次函数与一元二次方程、不等式 （一）二次函数 1.二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图 象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值 域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 （二）一元二次不等式 1．概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. （三）三个“二次”之间的关系 1．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． 2．三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ （四）不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. （五）待定系数法的应用 1.待定系数法解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程． 提升*常考题型归纳 题型一：求二次函数的解析式 【例1-1】已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例1-2】已知是二次函数，且，，则 ． 【规律方法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 题型二：二次函数的图象 【例2-1】设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（ ）． A． B． C． D． 【例2-2】【多选题】设，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【规律方法】 识别二次函数图象应学会“三看” 题型三：二次函数的单调性问题 【例3-1】已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 【例3-2】若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________． 【例3-3】已知二次函数对任意的x都有，且的图象与x轴的两个交点间的距离为6. (1)求的解析式； (2)设，若在上是减函数，求的最小值. 题型四：二次函数的最值问题 【例4-1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 【例4-2】函数在区间上的最大值为．求的解析式； 题型五：二次不等式问题 【例5-1】设函数，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【例5-2】已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 26 【例5-3】（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则且 D. 若，则关于的不等式的解集为或 【例5-4】（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 【例5-5】（多选）已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【例5-6】已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【例5-7】已知二次函数. （1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【例5-8】已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 题型六：恒成立问题 【例6-1】已知不等式对任意都成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例6-2】若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A．0 B． C． D．【答案】C 【例6-3】若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围__________. 【例6-4】若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 【例6-5】若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________． 题型七：二次函数的综合应用 【例7-1】定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【例7-2】已知函数 (1)若，求关于的不等式的解集. (2)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. (3)已知，当时，，求的最小值. 【例7-3】年某企业计划引进新能源汽车生产设备.经过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且由市场调研知，每一百辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额-成本） (2)当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【例7-4】安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期期中考点大串讲二 数 学【解析】 第二章 一元二次函数、方程和不等式 夯基*必备基础知识梳理 一、不等式的性质及常见不等式解法 1、实数的大小 (1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b. 2、不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式. 3、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性）； （异向可减性） ④（可积性）； ⑤（同向正数可乘性）； （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 4、 一元二次不等式： 求一元二次不等式解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数； 二判：判断对应方程的根； 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象； 五解集：根据图象写出不等式的解集. 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 5、 含绝对值的不等式的解法 不等式 解 集 或 把看成一个整体，化成， 型不等式来求解 6、两个实数比较大小的依据 关 系 方 法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 提升*常考题型归纳 题型一：用不等式表示不等关系 【例1-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合不等式性质举出反例可得A、B、D错误，借助不等式的同向可加性可得C. 【详解】对A：当时，则，故A错误； 对B：当时，满足，，而，故B错误； 对C：由，得，故C正确； 对D：当时，满足，，而，故D错误. 故选：C. 【例1-2】（多选）已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解. 【详解】对于ACD，因为， 所以，，，故ACD正确； 对于B，取，则，故B错误. 故选：ACD. 【例1-3】（多选）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 （1） 可举反例证明不正确. （2） 因为成立，则. （3） 为正数，为负数时不成立. （4）因为，则，所以. 【详解】A选项：，，但是，A不正确； B选项：因为成立，则，那么，B正确； C选项：，但是，C不正确； D选项：因为，则，又，所以，D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目. 【例1-4】（多选）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，由不等式的基本性质可得，，即，D对. 故选：ABD. 【例1-5】已知，，则的取值范围为_________。 【答案】 【分析】令求出m、n，再应用不等式的性质求的范围. 【详解】令，则， 所以，可得，故， 而，故. 故答案为： 【例1-6】已知，求的取值范围______________. 【答案】 【分析】先将表示成关于与的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设，则， 解得，则， 因， 则， 故， 即的取值范围为. 故答案为：. 【例1-7】已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 【例1-8】若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，化简变形后可求出，所以，然后利用不等式的性质结合已知条件可求得结果. 【详解】令，则， 所以，解得 所以， 因为，所以， 因，所以， 因为， 所以， 故选：B 题型二：比较数或式子的大小 【例2-1】已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小，即得解 【详解】由题意， 因此.故选：A 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题 【例2-2】，则的大小关系为 ． 【答案】P≥Q 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为：P≥Q 【例2-3】已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为， 所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【例2-4】设，，证明：； 【分析】根据作差法证明即可； 【详解】证明：（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； 【例2-5】设，，，证明：. 【分析】由于，故，易证. 【详解】证明：由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 题型三：不等式性质的应用 【例3-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项； 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 【详解】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 【例3-2】设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误； 作差可得C正确，取可得D错误； 【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误； 对于B，由在上是减函数可得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：C. 【例3-3】已知均为非零实数，不等式与不等式的解集分别为集合和集合，那么“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 【答案】A 【分析】先根据，赋值说明不能推出，再由“”，结合充分必要条件关系判断. 【详解】若，取，则，，， 所以“”不能推出， 当时，，，若，则，即， 当时，，，若，则，即， 当时，，，不合题意， 当时，，，不合题意， 故可以推出； 所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A. 题型四：一元二次不等式的解法 【例4-1】（多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且， 所以所以，，， 故AC正确，D错误． 因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下， 所以当时，，故B正确． 故选：ABC． 【例4-2】（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得， 即不等式解集为，故C错误，D正确.故选：ABD. 【例4-3】已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 题型五：绝对值不等式的解法 【例5-1】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变换得到，解得答案. 【详解】，则，解得或. 故答案为：. 【例5-2】解不等式：. 【答案】 【分析】根据绝对值分类讨论即可得到答案. 【详解】当，即时，，得， 此时，， 当，即时，，得， 此时，， 综上所述，，即不等式的解集为 【例5-3】已知，则“成立”是“成立”的 条件. 【答案】充要 【分析】先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可， 再证必要性,根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若，则， ， 所以“成立”是“成立”的充要条件. 故答案为：充要 【例5-4】方程的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】由于，等号成立的条件为， 所以或 故解集为或， 故答案为：或 【规律方法】 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 题型六：绝对值不等式的应用 【例6-1】不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可． 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得，所以只要，解得， 即实数的取值范围是 【例6-2】对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【详解】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 【例6-3】已知代数式和,若， 求不等式的解集； 【答案】 【分析】利用三段法求解绝对值不等式； 【详解】， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上，不等式的解集为； 【例6-4】解不等式：； 【答案】. 【分析】分类讨论去绝对值，运算求解，最后再求并集. 【详解】当时，不等式化简为，解得，所以； 当时，不等式化简为，解得，所以； 当时，不等式化简为，解得. 综上所述：不等式的解集为. 【规律方法】 1.两类含绝对值不等式的证明问题 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 2.含绝对值不等式的应用中的数学思想 (1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想． 3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解. (2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 夯基*必备基础知识梳理 二、基本不等式及其应用 1、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）变形公式： ②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）. 变形公式：; 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④（当且仅当时取到等号）. ⑤（当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号） 2、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 提升*常考题型归纳 题型一：利用基本不等式求最值 【例1-1】已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 【例1-2】已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1);(2)8 【分析】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【详解】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2）， 当且仅当，即时，取得最小值． 【例1-3】已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】化简，根据基本不等式求出的最小值. 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值是5. 故选：C. 【例1-4】已知，，设，，则下列说法正确的是（    ） A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为 C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为 【答案】BC 【解析】令，得，，利用的情况即可说明. 【详解】令， ， ，当且仅当，即时等号成立，， 故M有最大值，故B正确， 没有最大值，故M没有最小值，故A错误； 同理，故D错误，没有最小值，故C正确. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是变换形式，将转化为关于的式子求解. 【例1-5】已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 题型二：“定和”条件下求最值 【例2-1】若x＞0，y＞0，且，则x＋y的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】将x＋y乘以展开，利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为x＞0，y＞0，且， 所以（当且仅当，即时取等号）。 故选：C 【例2-2】已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【详解】因为，所以．而， 所以当且仅当时取等号，故选C. 【例2-3】(多选)若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式求最值后判断． 【详解】， 当且仅当时等号成立，A对； ，当且仅当即时等号成立，B对； ，则，当且仅当即时等号成立，C对； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，D错. 故选：ABC 【例2-4】（多选）设正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【例2-5】已知非负实数，满足，则的最小值为____________ 【答案】 【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答. 【详解】非负实数，满足，有， 则 ， 当且仅当，即时取“=”， 由，得， 所以当时，的最小值为. 故答案为： 题型三：“定积”条件下求最值 【例3-1】【多选题】已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D．【答案】AC 【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，，故恒成立，C正确； D选项，a是正实数，故，其中， 故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC 【例3-2】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】的解集为，则的两根为，， ∴，∴，， 则，即， ，当且仅当时取“=”， 故选：C. 【例3-3】解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36； ②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2） ①由基本不等式结合可得答案；②由可得， 后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 题型四：“和、积关系”条件下求最值 【例4-1】已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．3 B．1 C．9 D． 【答案】B 【详解】因为，变形得. 由题意， 当且仅当，即时，等号成立． 【例4-2】已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由的最小值为6，可求得，进而求得展开利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为为常数，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 且的最小值为6，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 故选：D. 题型五：“平方关系”条件下求最值 【例5-1】已知，则的最小值是_______． 【答案】 【详解】∵∴且 ∴， 当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【例5-2】设、且，求的取值范围是_______. 【答案】 【详解】， ，可得． ， 令，， 显然函数在上单调递增，，， 即 的取值范围是． 题型六：基本不等式的综合应用 【例6-1】（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 已知，则的最小值为3 D. 若正数满足，则的最小值是4 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可. 详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3. 故B错误； 对于C，因为，，， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为4.故D正确. 故选：ACD. 【例6-2】（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．当时，的最小值是5 C．已知集合，若，则m的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【分析】根据命题的否定即可求解A，根据基本不等式即可求解B，根据元素与集合的关系即可求解C，根据充分必要条件的定义即可求解D. 【详解】对于A, “，使得”的否定是“，都有”,A正确， 对于B,当时，，则， 当且仅当，即时取到等号，故B正确， 对于C,若，解得，则集合，符合题意，若，此时无解，因此若，则m的值为，故C正确， 对于D, 由可得到，当时，或， 故“”是“”的充分不必要条件，D错误， 故选：ABC 【例6-3】（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为4 C. 若，，，则的最大值为1 D. 若，满足，则最大值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式逐项分析各选项，注意取等条件以及最大最小值的判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确； 对于B：因为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 对于C：因为，所以， 所以，所以，解得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 故选：AC. 【例6-4】已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）最小值为；（2）最小值为；（3）最小值为. 【分析】（1）本题首先可根据得出、、，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果； （2）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果； （3）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果. 【详解】，即，，，，， （1）因为、是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. （2）因为，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为. （3）因为，，， 所以 ， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为. 题型七：基本不等式的实际应用 【例7-1】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是多少吨？ 【答案】30 【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立. 即要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是30吨. 【例7-2】2020年初，为降低疫情影响，某厂家拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【分析】（1）根据题意列方程即可. （2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得，∴． 所以每件产品的销售价格为（元）， ∴2020年的利润． （2）∵当时，， ∴， 当且仅当即时等号成立． ∴， 即万元时，（万元）． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 【例7-3】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型八：利用基本不等式解决恒成立问题 【例8-1】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 【例8-2】已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使＋≥恒成立， 只需m≤(2a＋b)恒成立， 又(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. 故实数m的最大值为9. 【例8-3】若正实数x，y满足x＋y＝2，且 ≥M恒成立，则M的最大值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤ ＝ ＝1，所以 ≥1； 又 ≥M恒成立，所以M≤1， 即M的最大值为1. 【例8-4】已知a>0，b>0， ＋ ＝ ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】由已知，可得6 ＝1， ∴2a＋b＝6 ×(2a＋b)＝6 ≥6×(5＋2 )＝54， 当且仅当 ＝ 时，即a＝b＝18时，等号成立， ∴9m≤54，即m≤6. 【例8-5】已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m＜6} B. {m|m≤6} C. {m|m≤8} D. {m|m＜8} 【答案】D 【解析】x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8 当且仅当. 所以x＋2y＞m恒成立，只需(x＋2y)min＞m.所以m＜8.故选D. 【例8-6】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 夯基*必备基础知识梳理 三、二次函数与一元二次方程、不等式 （一）二次函数 1.二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图 象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值 域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 （二）一元二次不等式 1．概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. （三）三个“二次”之间的关系 1．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． 2．三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ （四）不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. （五）待定系数法的应用 1.待定系数法解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程． 提升*常考题型归纳 题型一：求二次函数的解析式 【例1-1】已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用待定系数法及题目所给条件即可求解求的解析式； （2）恒成立问题常用分离参数的方法，分离参数后转化为求函数在区间上的最值即可. 【小问1详解】 由是二次函数，设， 因为， 所以 所以, 又,所以解得 所以. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 当时,单调递减;当,4]时,单调递增， 所以,所以， 所以的取值范围为. 【例1-2】已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 【规律方法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 题型二：二次函数的图象 【例2-1】设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，若图象正确，则，， 开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确； 对于B，若图象正确，则，，开口方向向下，与图象不符，B错误； 对于C，若图象正确，则，，开口方向向上，与图象不符，C错误； 对于D，若图象正确，则，，开口方向向上，与图象不符，D错误. 故选：A. 【例2-2】【多选题】设，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的图象的对称轴为，与轴的交点的坐标分别为， 则， A中，，则，，，∴，符合题意； B中，，则，，，∴，符合题意； C中，，则，，，∴，不符合题意； D中，，则，，，∴，符合题意， 故选：ABD. 【规律方法】 识别二次函数图象应学会“三看” 题型三：二次函数的单调性问题 【例3-1】已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】二次函数的对称轴为，欲使得时是单调的， 则对称轴必须在区间之外，即或者；故选：A. 【例3-2】若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由题意得的对称轴为， 因为函数在内不单调，所以，得． 故答案为：． 【例3-3】已知二次函数对任意的x都有，且的图象与x轴的两个交点间的距离为6. (1)求的解析式； (2)设，若在上是减函数，求的最小值. 【详解】（1）， 关于对称， ，． 设方程的两根为，， 则：，， 又，，解得：， ． （2）， 当时，，满足题意． 当时，，开口向上，对称轴为， 又在，上是减函数，，解得：， 的最小值为． 当时，，开口向下，对称轴为， 又在，上是减函数，，解得：， 综上当在，上是减函数时，，， 的最小值为：． 题型四：二次函数的最值问题 【例4-1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】当时，函数， 当时，；当时，， 所以函数在上的值域为 因为是上的奇函数，所以的值域为， 所以的最小值是. 【例4-2】函数在区间上的最大值为．求的解析式； 【详解】 当，即时，在区间上为增函数， 当，即时，； 当时，在区间上为减函数， 综上所述，. 题型五：二次不等式问题 【例5-1】设函数，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式解集为. 故选：B 【例5-2】已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 26 【答案】A 【分析】令，结合二次函数的图象以及题意得到和，再根据，即可求解. 【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 根据题意可得：，解得：， 解集中有且仅有5个整数，则这5个整数必为， 结合二次函数的对称性可得：，即， 解得：，又，， 即符合题意的的值之和. 故选：A. 【例5-3】已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则且 D. 若，则关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根， 则，得到，所以，故A正确； 对于B，若，则， 此时等价于，即， 显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误； 对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点， 所以且，故C正确； 对于D，因为，由选项A知，，且， 由，得到，即，解得或，所以D正确， 故选：ACD. 【例5-4】（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）利用根与系数关系列方程组来求得. （2）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，解原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为； 当时，解得. 【例5-5】（多选）已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由已知可得，并且是方程的两根， 则由韦达定理可得：，解得，，所以A错误； 选项B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B错误； 选项C：，所以C正确， 选项D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：CD. 【例5-6】已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 【例5-7】已知二次函数. （1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）或 （2） （3）答案见解析 【分析】（1）令得两点的坐标分别为，令得点的坐标为， 代入三角形面积公式列式计算即可. （2）由题意化为恒成立，利用判别式法列不等式组求解即可. （3）根据和、、分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 令，则有，得两点的坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. 【小问2详解】 不等式可化为， 若不等式恒成立，则必有解得， 故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 不等式可化， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为． 【例5-8】已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 题型六：恒成立问题 【例6-1】已知不等式对任意都成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】解：因为不等式对任意都成立， 当时恒成立， 当时，解得， 综上可得； 故选：D 【例6-2】若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A．0 B． C． D．【答案】C 【详解】因为不等式对于一切恒成立， 所以对一切恒成立， 所以， 又因为在上单调递减， d所以， 所以，所以的最小值为，故选：C. 【例6-3】若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围__________. 【答案】或 【分析】令，依题意可得时恒成立，则， 即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以 令，即在恒成立，即时恒成立， 所以，即， 解得或；解得或， 所以原不等式组的解集为 故答案为： 【例6-4】若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立； 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例6-5】若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围. 【详解】关于不等式的解集为. 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 题型七：二次函数的综合应用 【例7-1】定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可； 【详解】由题意可变形为， 即， 化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得， 解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 【例7-2】已知函数 (1)若，求关于的不等式的解集. (2)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. (3)已知，当时，，求的最小值. 【答案】(1)或；(2)；(3)36. 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可； (2)由题意可得，且和是一元二次方程的两个根， 结合韦达定理可得，代入求解即可； （3） 由题意可得，， ， 化简得， 利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 关于的不等式， 即为，即， 故该不等式的解集是或； （2）因为关于的不等式的解集为， 故，且和是一元二次方程的两个根， 所以，即， 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 故不等式的解集为； （3）因为当时，，所以， 即，所以， 由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【例7-3】年某企业计划引进新能源汽车生产设备.经过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且由市场调研知，每一百辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额-成本） (2)当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1)； (2)当年的年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，分，两种情况即可； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求最值进行分析即可. 【详解】（1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元， 则， 当时， ， 当时， ， 所以所求函数关系为：. （2）当时，，则， 当且仅当时，不等式中等号成立； 当时， ，即， 当且仅当，即时，不等式中等号成立， 因为， 所以当时，即当年的年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 【例7-4】安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】（1）； （2）千克，最大利润是元． 分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【小问1详解】 根据题意知 ， 整理得； 【小问2详解】 当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $