2.4.2简单幂函数的图象和性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版数学必修第一册

简单幂函数的图象和性质 北师大版高中数学必修第一册 一、创设问题情境，形成数学概念 金秋时节，蜜柚飘香，又到了井冈蜜柚丰收的季节. 某游客慕名来到某蜜柚园参观，并购买了一些井冈蜜柚. (1)该蜜柚园今天井冈蜜柚特惠价格为 1 元/斤，游客购买了 x 斤，则他需支付 y= 元，这里 y 是 x 的函数. (2)游客购买完井冈蜜柚，需要对井冈蜜柚进行包装，包装所用纸箱是一个棱长为 a 的正方体，那么纸箱占地面积 S=_____，纸箱体积 V= ，这里 S 和 V 都是 a 的函数. (3)正方形的蜜柚园的面积为 S，那么蜜柚园的边长 c= ，这里 c 是 S 的函数. (4)购买完井冈蜜柚后，游客租用了一辆三轮车把打包好的井冈蜜柚运送到 1km 外的停车场，用时 t 秒，那么运送的平均速度 v= km/s，这里 v 是 t 的函数. 问题1：将以上五个函数的自变量都用 x 表示，因变量都用 y 表示，并认真观察它们有什么共同特征？ （1）都是 的形式； （2）底数都是自变量 x； （3）指数是常数； （4）系数都是1. 幂函数的定义 一般地，形如 ( 为常数)，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数(power function). 练习1 判断下列函数是否为幂函数. (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 练习2 若函数 是幂函数，则 m 的值为_____. 由， 解得 或. 课堂练习 数学文化微课堂：幂的含义和由来 《说文解字》：“冖，覆也，从一下垂也。” 刘徽：“此谓田幂”、“勾股幂合以成弦幂。” 徐光启：“自乘之数曰幂。” 问题2：现在我们已经学习了幂函数的定义，那么我们应该怎么研究幂函数的图象和性质呢？ 从特殊到一般 二、探究图象性质，体验研究方法 问题3：在高中阶段，我们主要研究 , , , , 这 5 个幂函数的图象和性质，结合我们在第二章所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 定义域 单调性 奇偶性 值域 学生活动1： 五个幂函数中， , , 是我们在初中就学过的函数，请在图中指出它们分别对应的图象． 问题4：你能结合图象说说 , , 这三个幂函数的定义域、单调性、奇偶性和值域吗？ 函数性质 定义域 R R (−∞,0)∪(0,+∞) 单调性 R ↑ (−∞,0)↓ (0,+∞)↑ (−∞,0)↓ (0,+∞)↓ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 值域 R [0, +∞) (−∞,0)∪(0,+∞) 学生活动2：（小组合作）在同一坐标系中用描点法画出函数 和 的图象. y＝x3 y＝ 1 2 -1 -1 1 2 x y O -2 -2 函数性质 定义域 R R R 单调性 R ↑ R ↑ 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 值域 R (−∞,0)∪(0,+∞) [0, +∞) [0, +∞) R 问题5：观察图象，你能说出函数 和 这两个函数的定义域、单调性、奇偶性和值域吗？ 问题6：从函数的图象与上述表格中，你能发现这五个函数有哪些共同特征和不同点吗？ 猜想：根据以上归纳，请你猜想一般幂函数 的性质. (1)当 时， 过定点(1,1)和(0,0); (2)当 时， 在上单调递增. 过定点(1,1); 在上单调递减. (3)当 为奇数时， (4)当 为偶数时， 幂函数 为奇函数. 幂函数 为偶函数. 三、借助信息技术，探究验证猜想 探究活动：用GGB探究验证猜想 根据幂函数 的这些性质，我们可以快速画出任一幂函数的草图. 方法： ①画定点； ②确定第一象限图象； ③根据奇偶性画出其它象限图象. 练习3 在下图中，只画出了函数在 y 轴某一侧的图象，请你画出函数在 y 轴另一侧的图象，并说出画法的依据. 四、课堂练习 练习4 (2025广东省联考)已知幂函数 在上单调递减，则 ________. 练习5 已知幂函数 的图象过点 ，则下列关于 的说法正确的是（    ） A. 定义域是 B. 奇函数 C. 偶函数 D. 在区间上单调递增 D 1. 通过这节课的学习，你能说说我们是怎么研究幂函数的吗？ 课堂小结 实际问题 幂函数概念 函数性质 函数图象 定义域 值域 抽象概念 描点法 写出解析式 单调性 奇偶性 2.学会画幂函数的草图的方法： ①画定点；②确定第一象限图象；③根据奇偶性画出其它象限图象. 作业布置 完成导学案上的课后作业 感谢聆听！ $