2.4.2 幂函数的图象和性质课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版数学必修第一册

第二章 函数 2.4.2 简单幂函数的图象和性质 32999 情景导入 32999 问题1：“我的井冈行”是吉安市以井冈山精神为核心、面向全国打造的红色研学品牌，若旅行社给我区团购价为100元/张，请根据以下情景写出下列 y 关于 x 的函数关系式，并观察有什么共同特征？ （1）需买x份，需支付的金额为y百元； （2）乘坐班车，班车秒内行进了1km，那么该班车的平均速度为 （3）列队听思政课时，，总人数为 （4）列队听思政课时，，总人数为 （5）某同学携带了的正方体行李箱，行李箱容积 共同特征：1. 幂的形式；2. 幂的底数是自变量；3.幂的指数是常数. 情景导入 32999 问题2：根据情景研究这五个函数的共同特征填一填？ 因变量 = 自变量 常数 幂函数 底数 指数 概念生成 一般地，形如 (是常数) 的函数，即底数为自变量 ，指数为常数 的函数称为幂函数. 32999 概念运用 例1. 下列函数中，是幂函数的有__________. ① ② ③ ④ ⑤ 幂函数的特征： ① 的底数为自变量 ；② 的系数为 1；③ 指数为常数； 注意：只有同时满足上述三个条件的，才是幂函数. ① 例2.已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． 32999 问题3：试利用列表描点连线法在同一坐标系中画出这五个函数的图象？ 新知探究 32999 信息技术 32999 问题 4：通过观察同一坐标系中这五个函数的图象，完成下列填空. y = x y = x2 y = x3 y = x –1 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 思考：根据上述五个简单幂函数的性质，你能总结幂函数的一般性质吗？ R R R R [0，+∞) R [0，+∞) [0，+∞) { x | x ≠ 0 } { y | y ≠ 0 } 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 增函数 (– ∞，0] 递减 [0，+∞) 递增 增函数 增函数 (– ∞，0) 递减 (0，+∞) 递减 ( 1，1 ) 新知探究 32999 （1）所有的幂函数在 (0，+ ∞) 都有定义，并且图象都过点 (1，1)，图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限.； （2）α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0，+ ∞) 上是增函数； （当 α > 1 时，幂函数的图象下凸；当 0 < α < 1 时，幂函数的图象上凸） α < 0 时，幂函数的图象不过原点，在区间 (0，+ ∞) 上是减函数； （3）奇数时，幂函数为奇函数；偶数时，幂函数为偶函数. 新知归纳 问题 5：通过观察同一坐标系中这五个函数的图象，你归纳总结幂函数的一般性质？ 32999 新知运用 例3.我画你补，下图只画出了函数在轴的某一侧的图象，请你画出函数在轴另一侧的图象，并说出画法的依据. 32999 例2变式.已知幂函数，指出其奇偶性和单调性． 当堂检测 例2变式.已知幂函数，当时，随的增大而减小，求此幂函数的解析式. 32999 11 B 当堂检测 32999 12 归纳总结 32999 根据今天所学，回答下列问题： 1. 回顾幂函数的概念，说说什么是幂函数； 2. 结合图象说说幂函数有哪些基本性质. 下课啦！ 32999 例3：右图中曲线是幂函数y = xn在第一象限的图象，已知n取 ±2，± 四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ） A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 分析：根据幂函数y = xn的性质，在第一象限内的图象： 当n > 0时，n越大，y = xn递增速度越快，故C1的n = 2，C2的n = ； 当n < 0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n = -，曲线C4的n = -2；故选B. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则： 1. 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)区间上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴； ②在(1，+∞)区间上，指数越大，幂函数图象越远离x轴； 2. 依据图象确定幂指数 α 与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y = x－1或y = x或y = x3)来判断. $