3.2.2 函数的奇偶性（2）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§3.2.2 函数的奇偶性（2） 新人教A版普通高中教科书数学必修第一册 偶函数 奇函数 定义 图象 定义域 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 关于y轴对称 关于原点对称 关于原点对称 用定义法判断函数的奇偶性的步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)和f(x)的关系； ③作出相应结论。 复习 例.已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示. (1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合 探究二 奇偶函数的图象问题 跟踪训练 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 规律总结： 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题． 探究三 利用函数的奇偶性求解析式 例 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1, (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式. 解:(1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2. (2)当x<0时,-x>0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0. 解题方法（求函数解析式的注意事项） 1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式. 若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x); 若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x). 2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉. 例，已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) 探究四 利用函数的奇偶性求值 例，已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) 探究四 利用函数的奇偶性求值 利用函数的奇偶性求值 求参数值： 若解析式含参数,则根据列式,比较系数利用待定系数法求解; 若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数. [跟踪训练] 1. [跟踪训练] 1. 例. 已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围； 探究五函数的奇偶性和单调性的综合应用 [跟踪训练] 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 答案[0， ) [跟踪训练] 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 答案[0， ) 谢 谢 大 家 【解析】　依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3). 设函数eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x). 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. 答案：－1 设函数eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________. $