1.2.4 绝对值 第2讲 绝对值计算 基础讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第2讲 绝对值 知识点1 绝对值的非负性 绝对值的性质： 互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【典例】 1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________． 【方法总结】 根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键. 2.已知|x-2017|+|y﹣2016|=0，则x+y=____ 【方法总结】 此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案． 【随堂练习】 1．|a|=﹣a，则a一定是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 　 2．若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（　　） A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10 　 3．|m﹣n+2|+|m﹣3|=0，则m+n=____． 　 4．已知|x﹣2|+|y+2|=0，则x+y=____． 　 知识点2比较大小 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 【典例】 1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（　　） A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4 【方法总结】 先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键． 【随堂练习】 1．在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2 　 2．在﹣7，5，0，﹣3这四个数中，最大的数是（　　） A．﹣7 B．5 C．0 D．﹣3 　 3．下列比较大小结果正确的是（　　） A．﹣3＜﹣4 B．﹣（﹣2）＜|﹣2| C． D． 　 知识点3数轴与绝对值 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边. 【典例】 1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值． 【方法总结】 先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值． 本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.　 【随堂练习】 1．如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|化简的结果为_____． 　 2．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|． 知识点4 绝对值的几何意义 式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离. ∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 【典例】 1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______ 【方法总结】 根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解． 本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点． 2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________． （3）如果|x﹣2|=5，则x=___________． （4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【方法总结】 本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程. 【随堂练习】 1．|x+1|+|x﹣3|的最小值是_____． 　 2．当有理数a满足______条件时，|a+4|+|a﹣5|的值最小． 　 3．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x﹣3|=|x+1|，则x=____； （2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为____； （3）若|x﹣3|+|x+1|=7，求x的值． 综合集训 1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣|中，负数有_______________. 2.若|m|=|﹣7|，则m=__________． 3.在数﹣5，﹣ ，，中，大于﹣的数有___________. 4.填空： （1）﹣的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________； （3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________； （4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______． 5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________． 6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值． 7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值. 8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值． 9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？ 10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|． 理解： （1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________； 应用： （1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____； （2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 绝对值 知识点1 绝对值的非负性 绝对值的性质： 互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【典例】 1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________． 【解析】解：因为|a|=3，|b|=2， 所以a=±3，b=±2， 因为a＜0＜b， 所以a=﹣3，b=2， 所以a的相反数与b的和=3+2=5． 故答案为：5． 【方法总结】 根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键. 2.已知|x-2017|+|y﹣2016|=0，则x+y=____ 【解析】解：由|x-2017|+|y﹣2016|=0，得 x-2017=0，y﹣2016=0， 解得x=2017，y=2016． x+y=4033， 【方法总结】 此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案． 【随堂练习】 1．|a|=﹣a，则a一定是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【解答】解：∵|a|=﹣a ∴a≤0，故a是非正数， 故选：C． 　 2．若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（　　） A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10 【解答】解：∵|n+2|+|m+8|=0， ∴n=﹣2，m=﹣8， 则n﹣m=﹣2﹣（﹣8）=6． 故选：A． 　 3．|m﹣n+2|+|m﹣3|=0，则m+n=____． 【解答】解：∵|m﹣n+2|+|m﹣3|=0， ∴m﹣n+2=0，m﹣3=0， 解得：m=3，n=5， 故m+n=8． 故答案为：8． 　 4．已知|x﹣2|+|y+2|=0，则x+y=____． 【解答】解：∵|x﹣2|+|y+2|=0， ∴x=2，y=﹣2， ∴x+y=2﹣2=0． 故答案为：0． 　 知识点2比较大小 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 【典例】 1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（　　） A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4 【解析】解：利用绝对值比较两数大小的方法，将4个数两两比较后按由小到大的顺序排列，得﹣3.2＜﹣2＜0＜4， 所以最小的数是﹣3.2，故选C. 【方法总结】 先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键． 【随堂练习】 1．在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2 【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2， ∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1． 故选：B． 　 2．在﹣7，5，0，﹣3这四个数中，最大的数是（　　） A．﹣7 B．5 C．0 D．﹣3 【解答】解：﹣7＜﹣3＜0＜5， 即在﹣7，5，0，﹣3这四个数中，最大的数是：5． 故选：B． 　 3．下列比较大小结果正确的是（　　） A．﹣3＜﹣4 B．﹣（﹣2）＜|﹣2| C． D． 【解答】解：化简后再比较大小． A、﹣3＞﹣4； B、﹣（﹣2）=2=|﹣2|=2； C、＜﹣； D、|﹣|=＞﹣． 故选：D． 　 知识点3数轴与绝对值 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边. 【典例】 1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值． 【解析】解：∵|a|=2，|b|=2，|c|=4， ∴a=±2，b=±2，c=±4， 由数轴可知a＜0，b＞0，c＞0， ∴a=﹣2，b=2，c=4． 【方法总结】 先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值． 本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.　 【随堂练习】 1．如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|化简的结果为_____． 【解答】解：∵由数轴上a、b两点的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1， ∴a+b＞0，b﹣a＞0， ∴原式=﹣a+b+a+b+b﹣a=3b﹣a． 故答案为：3b﹣a． 　 2．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|． 【解答】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0， 因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0． ∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c． 知识点4 绝对值的几何意义 式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离. ∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 【典例】 1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______ 【解析】解：∵|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，即表示a的点与表示c的点之间的距离为4，表示b的点与表示d的点之间的距离为4，表示a的点与表示d的点之间的距离为5， ∴表示a的点与表示b的点之间的距离为5﹣4=1， 表示c的点与表示d的点之间的距离为5﹣4=1， ∴表示b的点与表示c的点之间的距离为4﹣1=3． 即|b﹣c|=3. 【方法总结】 根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解． 本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点． 2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________． （3）如果|x﹣2|=5，则x=___________． （4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【解析】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，故答案为：7； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|； （3）通过数轴可知，到点2距离为5的数是7和-3， 故答案为：7或﹣3； （4）∵|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x-（-3）|+|x﹣1|=4， ∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1； （5）|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，由数轴可知，x应为数轴上3到6当中的任一点，且最短距离为3，故有最小值，最小值是3． 【方法总结】 本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程. 【随堂练习】 1．|x+1|+|x﹣3|的最小值是_____． 【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+3=﹣2x+2，则﹣2x+2≥4； 当﹣1＜x≤3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1﹣x+3=4； 当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1+x﹣3=2x﹣2，则2x﹣2＞4． 综上所述|x+1|+|x﹣3|的最小值为4． 故答案为：4． 　 2．当有理数a满足______条件时，|a+4|+|a﹣5|的值最小． 【解答】解：当a＜﹣4时，|a+4|+|a﹣5|=﹣a﹣4+5﹣a=1﹣2a＞9； 当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+5﹣a=9； 当a＞5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+a﹣5=2a﹣1＞9； 故当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|的值最小． 故答案为：﹣4≤a≤5． 　 3．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x﹣3|=|x+1|，则x=____； （2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为____； （3）若|x﹣3|+|x+1|=7，求x的值． 【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0， ∴原式可化为3﹣x=x+1， ∴x=1； （2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值． ∴|x﹣3|=3﹣x，|x+1|=x+1， ∴|x﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4； （3）∵|x﹣3|+|x+1|=7， 若x＞3，则原式可化为（x﹣3）+（x+1）=7，x=； 若﹣1≤x≤3，则﹣（x﹣3）+（x+1）=7，x不存在； 若x＜﹣1，则﹣（x﹣3）﹣（x+1）=7，x=﹣； ∴x=或x=﹣． 故答案为：1，4，x=或x=﹣． 综合集训 1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣|中，负数有_______________. 【解析】解：因为﹣（﹣2）=2，﹣|﹣7|=-7，﹣|+1|=-1，|﹣|=，负数有﹣|﹣7|，﹣|+1|． 故答案为﹣|﹣7|，﹣|+1|. 2.若|m|=|﹣7|，则m=__________． 【解析】解：∵|﹣7|=7， ∴|m|=|﹣7|=7， ∴m=±7， 故答案为：±7． 3.在数﹣5，﹣ ，，中，大于﹣的数有___________. 【解析】解：∵|﹣5|=5，|﹣|=，5＞，∴﹣5＜﹣； ∵|﹣|=，|﹣|=，＞，∴﹣＜﹣； ∵|﹣|=，|﹣|=，＞，∴﹣＜﹣； ∵|﹣|=，|﹣|=，＜，∴﹣＞﹣． 故答案为. 4.填空： （1）﹣的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________； （3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________； （4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______． 【解析】解：（1）﹣的绝对值的相反数是﹣，﹣0.3的相反数的绝对值是 0.3； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是±2； （3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为 3和﹣3； （4）相反数等于它本身的数是 0，相反数等于它的绝对值的数是非正数， 故答案为：﹣，0.3；±2；3，﹣3；0，非正数． 5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________． 【解析】解：∵|x﹣2|+|y-3|=0， ∴x=2，y=3， ∴x+y=2+3=5． 故答案为：5． 6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值． 【解析】解：∵|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0， ∴x+1=0，y﹣2=0，z+3=0， 解得：x=﹣1，y=2，z=﹣3， ∴|x|+|y|+|z|=|﹣1|+|2|+|﹣3|=6． 7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值. 【解析】解：∵|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9， ∴| r﹣s|=12-10=2， ∴|q﹣r|=9-2=7． 8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值． 【解析】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0， ∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0， ∴a=2，b=3，c=4， ∴a+2b+3c=2+6+12=20． 9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？ 【解析】本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以-1≤x≤3。 10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|． 理解： （1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________； 应用： （1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____； （2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）． 【解析】解：理解： （1）画出数轴，由数轴可知，表示2和﹣4的两点之间的距离是6； 故答案为6. （2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是|x-（-6）|； 故答案为|x-（-6）|. 应用： （1）代数式|x﹣1|+|x-（-2）|表示点x到表示1的点与表示-2的点的距离和，由数轴可知，当x在1和-2之间时，距离和有最小值3， 所以当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣2≤x≤1，最小值为3； 故答案为﹣2≤x≤1， 3. （2）∵代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|表示点x到表示点1的点的距离与表示-2的点的距离差， 当x≤﹣2时，由数轴可知该距离差为3， ∴|x﹣1|﹣|x-（-2）|=3． 故答案为：=． 13 学科网（北京）股份有限公司 $