专题5.3 用待定系数法确定二次函数表达式（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题5.3用待定系数法确定二次函数表达式 教学目标 1．熟记二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）及适用条件 2．理解待定系数法的核心思路，能根据已知条件选择对应解析式形式 3．会根据不同条件（如三点坐标、顶点、与轴交点）列方程（组），求解待定系数得到解析式 教学重难点 重点：二次函数三种解析式形式的区分与选择；用待定系数法列方程（组）求解析式 难点：根据题目条件（如对称轴、最值）灵活选择最优解析式形式；解含多个待定系数的方程组 知识点01 二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意三个点坐标求解。 顶点式：（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的顶点坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数最值时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的横坐标）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 【即学即练】 已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设抛物线的顶点式为，其中为顶点，为二次项系数， ∵二次项系数为1，顶点坐标为， ∴， 故选：A． 知识点02 待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选顶点式，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选交点式，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选一般式。 【即学即练】 1．已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线经过点，， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 整理，得：． 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：，nn 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 题型01直接代入求参 【例1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， 、当时，，则该图象不经过点，故本选项不符合题意； 、当时，，则该图象不经过点，故本选项不符合题意； 、当时，，则该图象经过点，故本选项符合题意； 、当时，，则该图象不经过点，故本选项不符合题意； 故选：． 【例2】在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)当时，则图象对应的函数值的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)二次函数图象的顶点坐标为，画图见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为. （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，则图象对应的函数值的取值范围是. 【变式1-1】已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的解析式为，图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， 设二次函数的解析式为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则， ∴图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式1-2】如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作轴于点，则， 由题意可知， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若，为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵此函数图象过点， ∴， 化简可得：， 联立， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：由题意可得：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，关于对称轴对称， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 题型02待定系数法——设一般式 【例3】根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式： (1)已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点； (2)已知抛物线经过点，； (3)点，在同一条抛物线上，与y轴交点的纵坐标为9，且经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵图象的顶点在坐标原点， ∴可设二次函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：把点，代入，得： ，解得：， ∴二次函数表达式为； （3）解：设二次函数表达式为， ∵点，在同一条抛物线上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵与y轴交点的纵坐标为9， ∴， 又∵二次函数图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【例4】一个二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若另外三点也在该二次函数图象上，求n的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】 【详解】（1）解：设二次函数的关系式为， ∵二次函数的图象经过点三点， ∴， 解得， 所以这个函数关系式是：； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵三点也在该二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质以及待定系数法是解题的关键． 【变式2-1】二次函数（其中、、为常数，且）的变量与变量的部分对应值如下表： … … … … （1）表中________； （2）求此二次函数的解析式及抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）-3；（2），（-2，1）． 【分析】 【详解】解：（1）∵由表格可知，当和当时的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴； 故答案为：-3； （2）把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入二次函数中得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为（-2，1）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 【变式2-2】如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上，设的坐标为， ， ， 所以点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ，解得：， 这个二次函数的解析式为． 【变式2-3】如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为； (3)存在点D，使得，点D的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4， ， 则， ， 点， 直线的解析式为， 的解析式为， 联立抛物线解析式， 解得：， 点D的坐标为； （3）存在， 取点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 点， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得： ， 解得：（舍去），， 点D的坐标为， 综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式． 题型03待定系数法——设顶点式 【例5】与抛物线形状相同，开口向下，顶点为的抛物线解析式为 ． 【答案】 【详解】解：设解析式为， ∵抛物线形状与相同， ∴， ∵开口向下， ∴, ∵顶点为， ∴，， ∴解析式为． 故答案为：． 【例6】已知抛物线过与且有最小值．求此二次函数的解析式； 【答案】 【详解】解：已知抛物线过与且有最小值， 顶点坐标为， 设二次函数的解析式为，把点的坐标代入得： ，解得， 二次函数的解析式为，即； 【变式3-1】已知抛物线的图象顶点为，且过，试求此抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的图象顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【变式3-2】有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】 【详解】解：对称轴是直线，函数有最小值， 顶点坐标是， 设该二次函数的表达式为， 点关于轴的对称点是， 将点代入函数表达式，得， 解得， 该二次函数的表达式为． 【变式3-3】已知二次函数的顶点坐标为，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)若点在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为，且图象过点， ∴设抛物线的解析式为，把代入解析式，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴； （3）∵点在该二次函数的图象上，且， ∴， 解得或． 题型04待定系数法——设交点式 【例7】已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【详解】∵抛物线与轴交于点，， 设抛物线表达式为， ∴将代入得，， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 【例8】已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的解析式为. (2)①的值为或；② 【分析】 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 把点代入得， 解得， ， 该二次函数的解析式为； （2）①时，则， 解得，； 故的值为或； ， 当时，函数有最小值， 当时，即时，有最小值， 故的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式4-1】已知抛物线经过点 A（－2，0），B（ 1，0），C（0，2）三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将C（0，2）代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的解法步骤，灵活选择二次函数的解析式求解是解答的关键． 【变式4-2】设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴：直线，最小值 (3) 【分析】 【详解】（1）解：因为函数图象经过点，所以可得：， 解得：，， 因为，所以， 所以． （2） ， 该函数图象的对称轴：直线，最小值． （3）∵函数图象经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，抛物线经过点，点，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且． ∴， 即， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：∵， ∴, 如图所示，过点作轴于点，交于点，    设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型05综合题 【例9】已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：由表格知二次函数的图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为，故A正确，不符合题意； ∴当时，，故B正确，不符合题意；     故选：C． 【例10】已知是的二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_____． (3)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由表格得，抛物线的顶点为， 设函数关系式为， ∵该二次函数过，则， 解得：， 二次函数的表达式为． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 又开口向上， 图象上的点到对称轴的距离越大，函数值也越大， ， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为． 故答案为：． （3）解：由（1）得抛物线的顶点为， 点关于直线的对称点为， 该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为． 故答案为：． 【变式5-1】已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵抛物线与轴两交点距离为4，且以直线为对称轴， ∴抛物线与轴的两交点的坐标为． 设二次函数的表达式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：． ∴二次函数的表达式为，即二次函数的表达式为． 故答案为：． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求此抛物线的对称轴； (2)当时，写出的取值范围； 【答案】(1)直线； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵，且， ∴，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 【变式5-3】二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． (1)求的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)，最大值 【分析】 【详解】（1），， ，， ， ，即点的坐标为； （2）解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 由于这个函数图象过点，可以得到， 又由于该图象过点，， 则， 解方程组，得， 所求的函数解析式为． ， 当时，有最大值； 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 点在图象上， 把坐标代入得：，解得：， 所求的二次函数解析式为， 点，的坐标分别是点，， 线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线， ， 当时，有最大值，为． 一、单选题 1．已知二次函数经过点，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：将点代入函数解析式得，， ∴， 故选：D． 2．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】 【详解】解：抛物线经过和两点， ， 解得， 故选：A． 3．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键． 4．二次函数，自变量与函数的对应值如下表：下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴 C．二次函数的最小值是 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：将点，，代入到二次函数中， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，故此选项错误； B、，抛物线的对称轴是，故此选项正确； C、，二次函数的最小值是，故此选项错误； D、，当时，随的增大而增大，故此选项错误． 故选：B． 5．如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵抛物线经过点， 得， 解得. 故选：C. 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：连接，交于点 当， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则 解得， 故选：B． 7．如图，是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图像上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：如图，连接，过作轴于； ∵四边形是边长为1的正方形 ∴， ∵与x轴正半轴的夹角为 ∴； 已知正方形的边长为1， 则； 在中，，， 则，； 故， 代入抛物线的解析式中， 得：， 解得； 故选：A． 二、填空题 8．写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：答案不唯一，如：， 故答案为：． 9．二次函数的图象如图，则它的解析式是 ． 【答案】 【详解】解：由图象得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，则二次函数解析式为， ∴， 解得：； ∴二次函数的解析式为； 故答案为． 10．已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为 【答案】 【详解】解：把代入中， 得， 解得， 二次函数解析式为， 由可知顶点坐标为， ， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 11．初三数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 … y … 4 … 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个错算的y值所对应的 ． 【答案】1 【分析】 【详解】解：从表格可以看出，当或时，， 可以判断，是抛物线上的两个对称点， 所以，就是顶点，对称性可知与的函数值相等， 设抛物线顶点式， 把代入解析式得，， 解得， 所以，抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 所以这个错算的y值所对应的． 故答案为：1． 12．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 【答案】 【详解】解：抛物线与x轴只有一个公共点， 该抛物线的顶点坐标为，且， ， 抛物线过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 即：， ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得的值是解题的关键． 13．如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴点B的横坐标为， ∵在轴上， ∴轴， ∵点B和点C在二次函数图象上，且二次函数的对称轴为y轴， ∴点B和点C关于y轴对称， ∴点C的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 设二次函数解析式为，则， ∴， ∴二次函数解析式为， 故答案为：． 三、解答题 14．一条抛物线顶点为，且与y轴的交点．请求出此二次函数的表达式． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意可设解析式为， 把代入得， 解得， ∴此二次函数的表达式为． 15． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 16．如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数式中，得， 即， 令，得， ∴， 设，把点A的坐标代入得：， ∴， ∴， 化为一般式为：； （2）解：由题意知， ∴． 17．已知抛物线与直线交于和两点，请你确定抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 【详解】和在上， ，， ，， ，， 又，在二次函数上， ， 解得， 抛物线的解析式为． 18．已知二次函数图象经过点，，并以直线为对称轴． (1)求二次函数的表达式． (2)若轴上有一点，点向左平移个单位落在此二次函数图象上，或点向右平移个单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为二次函数以直线为对称轴， 所以可设二次函数表达式为， 又函数过点，， 所以，解得， 则二次函数表达式为． （2）向左平移个单位坐标为， 点向右平移个单位为， 又平移后的点都在函数图象上， 所以两点关于对称轴对称， 则，解得， 当时，图象过点， 当时，， 所以的值为． 19．已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得，即该直线解析式为， 当时，可得，即， ∵C是的中点， ∴点， ∵二次函数的图象经过点A，C， ∴ 解得， ∴抛物线； （2）解：由题意得，平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为， 则，即， ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴当时，k取最大值，最大值为． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3用待定系数法确定二次函数表达式 教学目标 1．熟记二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）及适用条件 2．理解待定系数法的核心思路，能根据已知条件选择对应解析式形式 3．会根据不同条件（如三点坐标、顶点、与轴交点）列方程（组），求解待定系数得到解析式 教学重难点 重点：二次函数三种解析式形式的区分与选择；用待定系数法列方程（组）求解析式 难点：根据题目条件（如对称轴、最值）灵活选择最优解析式形式；解含多个待定系数的方程组 知识点01 二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意________个点坐标求解。 顶点式：________（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的________坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数________时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的________）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 【即学即练】 已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 知识点02 待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选________，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选________，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选________。 【即学即练】 1．已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式 ． 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ． 题型01直接代入求参 【例1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【例2】在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)当时，则图象对应的函数值的取值范围是_____． 【变式1-1】已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【变式1-2】如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若，为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值． 题型02待定系数法——设一般式 【例3】根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式： (1)已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点； (2)已知抛物线经过点，； (3)点，在同一条抛物线上，与y轴交点的纵坐标为9，且经过点． 【例4】一个二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若另外三点也在该二次函数图象上，求n的值． 【变式2-1】二次函数（其中、、为常数，且）的变量与变量的部分对应值如下表： … … … … （1）表中________； （2）求此二次函数的解析式及抛物线的顶点坐标． 【变式2-2】如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【变式2-3】如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03待定系数法——设顶点式 【例5】与抛物线形状相同，开口向下，顶点为的抛物线解析式为 ． 【例6】已知抛物线过与且有最小值．求此二次函数的解析式； 【变式3-1】已知抛物线的图象顶点为，且过，试求此抛物线的解析式． 【变式3-2】有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 【变式3-3】已知二次函数的顶点坐标为，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)若点在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围． 题型04待定系数法——设交点式 【例7】已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ． 【例8】已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 【变式4-1】已知抛物线经过点 A（－2，0），B（ 1，0），C（0，2）三点，求抛物线的解析式． 【变式4-2】设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【变式4-3】如图，抛物线经过点，点，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积． 题型05综合题 【例9】已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【例10】已知是的二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_____． (3)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为_____． 【变式5-1】已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求此抛物线的对称轴； (2)当时，写出的取值范围； 【变式5-3】二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． (1)求的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 一、单选题 1．已知二次函数经过点，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 2．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（    ） A． B． C． D． 4．二次函数，自变量与函数的对应值如下表：下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴 C．二次函数的最小值是 D．当时，随的增大而增大 5．如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 7．如图，是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图像上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式 ． 9．二次函数的图象如图，则它的解析式是 ． 10．已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为 11．初三数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 … y … 4 … 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个错算的y值所对应的 ． 12．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 13．如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为 ． 三、解答题 14．一条抛物线顶点为，且与y轴的交点．请求出此二次函数的表达式． 15． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 16．如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 17．已知抛物线与直线交于和两点，请你确定抛物线的解析式． 18．已知二次函数图象经过点，，并以直线为对称轴． (1)求二次函数的表达式． (2)若轴上有一点，点向左平移个单位落在此二次函数图象上，或点向右平移个单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值． 19．已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $