专题5.4 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题5.4二次函数与一元二次方程 教学目标 1．掌握二次函数图象与x轴交点情况（由判别式判断），能根据判别式确定方程根的个数； 2．会判断抛物线与直线的交点个数（转化为解方程组），能求两者交点坐标； 3．学会用二次函数图象求一元二次方程的近似解，掌握“作图→定范围→探索→定近似根”的步骤； 4．理解二次函数与一元二次不等式的关系，能结合函数图象求不等式的解集 教学重难点 重点：由判别式判断二次函数与x轴交点；将函数交点问题转化为方程组求解；结合图象求方程近似解与不等式解集 难点：理解二次函数、一元二次方程、不等式三者的中在联系；用图象法精准确定一元二次方程的近似解 知识点01二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 【即学即练】 1．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 2．关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】 【详解】解：令，则， 解得， 即二次函数的图象与轴交点为和， 二次函数的图象与轴交点个数的情况是有两个交点， 故选：B． 知识点02抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 【即学即练】 3．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【答案】， 【详解】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 知识点03利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【即学即练】 4．如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（    ） x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，；当时，， ∵0.24更接近于0， ∴方程的一个近似根为2.2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点坐标，一元二次方程的近似解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 知识点04二次函数与一元二次不等式 函数图象 不等式 解集 或 或 【即学即练】 5．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 题型01求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设另一个交点的坐标为， ∵二次函数的对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 【例2】已知：关于x的二次函数， (1)当时，求图象与轴的交点坐标； (2)若图象与轴有一个交点，求的值． 【答案】(1)和 (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； （2）解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 【变式1-1】已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得， 此抛物线与x轴的交点坐标为，． 【变式1-2】已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 【分析】 【详解】（1）解：， 即； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为和， 把代入，得， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为． 【变式1-3】二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，当时，，当时，或， ∴（不妨设点A在点B左侧）， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02已知二次函数的函数值求自变量值 【例3】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为 ． 【答案】4或0 【详解】解：把点、、代入得， ，解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 解得，， 当时，x的值为4或0， 故答案为：4或0． 【例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：根据题，抛物线的表达式为．           将代入，得， 解得．           ∴该抛物线的表达为． （2）由（1）可知， 当时，， 解得，． ∴该抛物线与直线的交点坐标分别为，． 【变式2-1】已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为 ． 【答案】0或 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 【变式2-2】已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】 【详解】由题知，二次函数经过点，，， 点与的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，的值为或5， 即关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 【变式2-3】已知二次函数的图象过，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式及图象与轴的交点坐标； (2)若点在二次函数的图象上，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为； （2）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或， ∴的值为或． 题型03图像法确定一元二次方程的近似根 【例5】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 【例6】二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 【变式3-1】由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据表格可得方程的一个解的范围在， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴方程正数解的分布范围是， 故选：B． 【变式3-2】已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴关于x的一元二次方程的解就是函数与的交点的横坐标， 如图所示： 又， ∴， 故选：A． 【变式3-3】二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有 个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 题型04抛物线与x轴交点问题 【例7】已知二次函数：与轴有两个不同的交点和，且满足：，，则（    ） A．，． B．， C．； D．， 【答案】D 【详解】解：由题意得：是方程的两个实数根， ∴； ∴, ∵，， ∴, ∴，； 故选：D 【例8】二次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， ∴在时，， ∴的解相当于与直线的交点， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式4-1】设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的两根分别为1、2， ∴抛物线与x轴交于点． ∴将抛物线往下平移m个单位可得到新抛物线，且一元二次方程的两实根分别为，，如图所示， ∴由图象可知：． 故选：C． 【变式4-2】若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵抛物线与两坐标轴有且只有两个交点， ①抛物线与轴有且只有一个非原点的交点， ∴， 解得：； ②抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为原点， ∴， 解得：， ∴的值为或． 故答案为：或． 【变式4-3】已知二次函数， (1)求证：无论为任何实数，此函数图象与轴总有两个交点． (2)已知图象与轴的两个交点分别为，，满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：由题意可得： ， 故无论m为任何非零实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）解：∵图象与轴的两个交点分别为，， ∴的两根分别为，， ∴，， ∵即， ∴， 解得：． 解决抛物线与轴交点问题，核心是结合二次函数与一元二次方程的关系：先明确抛物线与x轴交点的横坐标，就是方程的实数根；通过计算判别式判断交点个数(有两个不同交点，有一个交点，无交点);若求交点坐标，解方程得根后写成，若已知交点情况求参数，则根据的对应关系列不等式或方程求解，同时注意。 题型05求x轴与抛物线的截线长 【例9】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 【例10】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 【变式5-1】抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【答案】3 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或．nn 题型06确定一元二次不等式的解集 【例11】已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （3）解：由图象知：当时，. 【例12】已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)直接写出不等式的解集__________； (4)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解：由表格可得，当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：根据表格，描点、连线，画出函数图象如下： （3）解：如图：先画出函数， 由函数图象可得不等式的解集为． （4）解：当时，， 如图：由函数图象可得：当时，y的取值范围是． 【变式6-1】抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． (1)C点坐标为________，顶点坐标为________； (2)不等式的解集是________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于C点， 令得，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； （2）解：令得，， 解得，， 如图，当或时，不等式， 故答案为：或． 【变式6-2】已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：列表： 0 1 2 3 0 0 描点、连线，画图： （3）解：由图象得，当时，． 【变式6-3】如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为 ．    【答案】 【详解】解：由图可知：当或时，一次函数和二次函数的函数值是相等的， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 先将不等式化为（或）的标准形式，求出对应方程的根（无实根时直接判断）；再看二次项系数的符号，时抛物线开口向上，不等式的解集取根的两侧，的解集取根之间；时开口向下，解集方向相反，无实根时，则恒成立、无解，则恒成立、无解。 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】 【详解】解：令， 则， ， 方程有2个不相等的实数根， 所以二次函数的图象与x轴的交点有2个． 故选：C． 2．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 3．将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线恰好与轴仅有一个交点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线恰好与轴仅有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故选：C 4．已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题意可得： A的值始终比B的值大， ∴， 即， 即的函数图象与x轴无交点， ∴， ∴， ∴整数的最小值为． 故选：C． 5．在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当且时，则 【答案】C 【详解】解：由抛物线， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴交点为，， 、当时，随的增大而减小， ∴越大，越小， ∵， ∴，原结论错误，不符合题意； B、当时，随的增大而增大， ∴越大，越大， ∵， ∴，原结论错误，不符合题意； 、当时，代入抛物线得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴此时需满足，原结论正确，符合题意； 、当时，代入抛物线得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴此时需满足此时需满足或，原结论错误，不符合题意； 故选：． 6．如图，抛物线交轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则应满足的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当抛物线与直线有交点时，方程有实数根； ∵抛物线顶点为， ∴当时，方程有实数根； 故选：A． 7．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．．②③④ 【答案】B 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，则当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 二、填空题 8．如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为 【答案】 【分析】 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 9．已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如下表，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图表所示，可得和时，，则此二次函数图象的对称轴为直线； 则当和时，，且图象开口向下，则当时，x的取值范围是：． 故答案为：． 10．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 11．如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是 ． 【答案】 【详解】解：由方程变形为， ∵抛物线与直线相交于点， ∴方程的根是； 故答案为． 12．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ． 【答案】 ， 【详解】解：∵对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴与轴的另一交点为， ∵当时，， ∴方程的一个根为， ∵对称轴为直线， ∴方程的另一个根为， 故答案为：；，． 13．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由图知，抛物线开口向下，顶点坐标为， ，，， 方程可化为， 由题知，， ， ， 又， 解得． 的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 14．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点． 【答案】(1)顶点 (2)与x轴的交点坐标为， ，与y轴的交点坐标为 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴该函数与x轴的交点坐标为， ； 当时，， ∴该函数与y轴相交于点． 15．如图，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)求点A、B、C坐标； (2)若直线经过B、C两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：令，则，即， 解得或， 点坐标为，点坐标为， 令，则， 点坐标为； （2）解：由图象可得，时，抛物线在直线上方， 的解集为． 16．已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该二次函数有最小值，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)a的值为1或5 【分析】 【详解】（1）解：令，得， ， ∴无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）解：， ∴该二次函数有最小值， 解得：， ∴a的值为1或5． 17．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图象上，则______； (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：由题可知， ∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， 即， ∴或． 18．已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点Q的坐标； 【答案】(1)m的值为或 (2)点Q的坐标为 【分析】 【详解】（1）由题意得，在函数中，，，，则： 令，即， 得， 解得或． （2）因为在抛物线上，所以将，代入，得： 则． 这是一个关于m的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得． ． 将代入，得： ． 所以点Q的坐标为． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4二次函数与一元二次方程 教学目标 1．掌握二次函数图象与x轴交点情况（由判别式判断），能根据判别式确定方程根的个数； 2．会判断抛物线与直线的交点个数（转化为解方程组），能求两者交点坐标； 3．学会用二次函数图象求一元二次方程的近似解，掌握“作图→定范围→探索→定近似根”的步骤； 4．理解二次函数与一元二次不等式的关系，能结合函数图象求不等式的解集 教学重难点 重点：由判别式判断二次函数与x轴交点；将函数交点问题转化为方程组求解；结合图象求方程近似解与不等式解集 难点：理解二次函数、一元二次方程、不等式三者的中在联系；用图象法精准确定一元二次方程的近似解 知识点01二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有_________的实数根 有_________的实数根 _________ 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 【即学即练】 1．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 知识点02抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是_________ 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有_________； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有_________； ③当方程组无解时两函数图象_________． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 【即学即练】 3．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    知识点03利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的_________的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用_________的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近_________的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【即学即练】 4．如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（    ） x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 知识点04二次函数与一元二次不等式 函数图象 不等式 解集 _________ _________ _________ _________ 【即学即练】 5．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 题型01求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【例2】已知：关于x的二次函数， (1)当时，求图象与轴的交点坐标； (2)若图象与轴有一个交点，求的值． 【变式1-1】已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线与x轴的交点坐标． 【变式1-2】已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【变式1-3】二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，则 ． 题型02已知二次函数的函数值求自变量值 【例3】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为 ． 【例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 【变式2-1】已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为 ． 【变式2-2】已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为 ． 【变式2-3】已知二次函数的图象过，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式及图象与轴的交点坐标； (2)若点在二次函数的图象上，求的值． 题型03图像法确定一元二次方程的近似根 【例5】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【例6】二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 【变式3-2】已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有 个根（填“0”，“1”或“2”） 题型04抛物线与x轴交点问题 【例7】已知二次函数：与轴有两个不同的交点和，且满足：，，则（    ） A．，． B．， C．； D．， 【例8】二次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是 ． 【变式4-1】设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为 ． 【变式4-3】已知二次函数， (1)求证：无论为任何实数，此函数图象与轴总有两个交点． (2)已知图象与轴的两个交点分别为，，满足，求的值． 解决抛物线与轴交点问题，核心是结合二次函数与一元二次方程的关系：先明确抛物线与x轴交点的横坐标，就是方程的实数根；通过计算判别式判断交点个数(有两个不同交点，有一个交点，无交点);若求交点坐标，解方程得根后写成，若已知交点情况求参数，则根据的对应关系列不等式或方程求解，同时注意。 题型05求x轴与抛物线的截线长 【例9】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【例10】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【变式5-1】抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 题型06确定一元二次不等式的解集 【例11】已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围． 【例12】已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)直接写出不等式的解集__________； (4)当时，y的取值范围是 ． 【变式6-1】抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． (1)C点坐标为________，顶点坐标为________； (2)不等式的解集是________． 【变式6-2】已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【变式6-3】如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为 ．    先将不等式化为（或）的标准形式，求出对应方程的根（无实根时直接判断）；再看二次项系数的符号，时抛物线开口向上，不等式的解集取根的两侧，的解集取根之间；时开口向下，解集方向相反，无实根时，则恒成立、无解，则恒成立、无解。 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线恰好与轴仅有一个交点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 4．已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当且时，则 6．如图，抛物线交轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则应满足的条件为（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．．②③④ 二、填空题 8．如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为 9．已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如下表，当时，的取值范围是 ． 10．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 11．如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是 ． 12．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ． 13．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 14．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点． 15．如图，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)求点A、B、C坐标； (2)若直线经过B、C两点，直接写出不等式的解集． 16．已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该二次函数有最小值，求a的值． 17．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图象上，则______； (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 18．已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点Q的坐标； 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $