专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，即．故选：B． 例2（24-25七年级上·重庆綦江·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置；(2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)18.2 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求， （2）解：，，；故答案为：； （3）解：，，， ，，故答案为：18.2． 例3（24-25七年级上·上海·期中）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOD=∠AOD+∠AOC,∴∠AOC=∠BOD,故选C. 例4（24-25云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ）    A．30° B．80° C．40° D．45° 【答案】C 【详解】解：∵∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=140°−90°=50°， ∴∠COD=∠BOD−∠BOC=90°−50°=40°，故选：C． 例5（24-25七年级上·江苏·专题练习）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，对，说明理由． 理由：因为直线，相交于点（已知），所以 （　        　） 因为平分（已知），所以（　          　） 所以 （　       　） 因为 （　        　） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以 （　        　） 因为（　         　） 所以（　       　）． 【答案】见解析 【详解】解：理由：因为直线，相交于点（已知）， 所以 （对顶角相等） 因为平分（已知）， 所以（平分线的定义） 所以 （等量代换） 因为 （平角的定义） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以（垂直的定义） 因为（两角差的定义） 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，，垂直的定义，两角差的定义，等量代换． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，由阳新站发终点至汉口的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：阳新-大冶-黄石-武汉-汉口，那么要为这次列车制作的单程火车票 种． 【答案】10 【详解】解：∵这次列车有阳新-大冶-黄石-武汉-汉口5个站点， ∴要为这次列车制作的单程火车票有种．故答案为：10． 例2（24-25七年级上·山西太原·期末）从太原南开往天津西的次动车，运行途中停靠的站点有太原南、石家庄、正定、保定、白洋淀、霸州、胜芳、天津西，那么这次列车要准备多少种不同的车票（　　） A．15种 B．28种 C．30种 D．56种 【答案】D 【详解】解：依题意，可得从太原南开往天津西的次动车，一共有8个站点， 如图：， 类似于求线段的条数，但是线段和的票价不一样， 可得：（种），故选：D． 例3（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）如图，在一个角的内部画射线，画1条射线，就有3个不同的角，画2条射线，就有6个不同的角，画3条射线，就有10个不同的角……以此类推，在一个角的内部画条射线有 个不同的角（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵当条射线时有1个角，1条射线时有3个不同的角，画2条射线，就有6个不同的角，画3条射线，就有10个不同的角，∴一个角的内部画条射线时有角的个数为：， 故答案为：． 例4（24-25湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校一共要安排 场比赛．      （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛； ………… （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手________________次． 拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为____种． 【答案】（1）10，10；（2）15；（3）；（4）861；（5）30 【详解】（1）由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛．   （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛． 当 时均成立，所以假设成立． （4）将n=42代入关系式中∴全班同学总共握手861次． （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将n=6代入 中解得 ∴要准备车票的种数为30种． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级下·江苏·假期作业）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而，…； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ．故答案为：． 例2（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是，故选：A． 例3（2025·湖北武汉·模拟预测）同一平面内15条直线最多可以将平面分成（　　）个部分． A．120 B．121 C．122 D．123 【答案】B 【详解】解：由图可知，（1）有一条直线时，最多分成2部分； （2）有两条直线时，最多分成部分； （3）有三条直线时，最多分成部分； （4）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律：． ∴15条直线最多可将平面分成个部分．故选：B． 例4（24-25七年级上·江苏·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点；7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点，… n条直线相交最多有个交点；故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分；2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分；4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分；6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分；… n条直线最多把平面分成；故答案为：，，，； 例5（24-25·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·浙江·专题练习）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【详解】解：∵边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形， ，解得：．∴这个多边形是九边形．故选：D． 例2（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线，故选：A ． 例3（24-25·山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（    ） A．9 B．54 C．60 D．108 【答案】B 【详解】12×（12-3）÷2=54故本题答案为：B 例4（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示）；②拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析(2)①，；②场 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，；②（场），答：共需要比赛场． 1．（24-25·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 【答案】B 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而BC为AB和CD共有线段，故AC=BD，故选：B． 2.（24-25七年级上·新疆·期中）一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【详解】解：设多边形有n条边，则，，故多边形是八边形．故选：C． 3．（24-25福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 4．（24-25广东七年级期期）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①图中共有5个角（小于）；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：如图 有共个角，故①错误；∵，∴，即：，故②正确； ∵，故③正确； 若平分，则， ∴，∴平分，故④正确； 如图所示：假设的平分线是射线，则， 由②得：，∴，即：， ∴的平分线也是射线，故⑤正确；故选：C． 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C． 6．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：（种），∴要为这次列车制作的单程火车票6种．故选：B． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．    【答案】 【详解】解：如图，过顶点可以画条对角线，过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线；…，过顶点可以画条对角线； ∴n边形的对角线条数的为，故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同，∴从到的车票共有种，故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏·期中）如图所示，，，则 ． 【答案】68 【详解】解：∵，， 又，，∴．故答案为68． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）平面上5个圆最多能把平面分成 个部分． 【答案】22 【详解】解：1个圆最多把平面分成2部分，如图1所示； 2个圆最多把平面分成部分，如图2所示； 3个圆最多把平面分成个部分，如图3所示； …，以此类推，n个圆最多把平面分成个部分； ∴5个圆最多把平面分成个部分．故答案为：22． 11．（21-22七年级上·贵州遵义·期末）如图，1条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，4条直线最多将平面分成11个部分，5条直线最多将平面分成16个部分，6条直线最多将平面分成22个部分，则49条直线最多将平面分成 个部分．     【答案】 【详解】解：1条直线最多将平面分成2个部分，而 2条直线最多将平面分成4个部分，而 3条直线最多将平面分成7个部分，而 4条直线最多将平面分成11个部分，而 5条直线最多将平面分成16个部分，而 6条直线最多将平面分成22个部分，而 总结归纳可得：n条直线最多将平面分成个部分， 当时，，所以49条直线最多将平面分成个部分.故答案为： 12．（24-25七年级上·山西·阶段练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小：　　（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，且，则的长为 　　cm；(2)若线段被点B、C分成了2：3：4三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是18cm，求的长． 【答案】(1)①＝，②20(2)27cm 【详解】（1）解：①∵，∴，所以，故答案为：=； ②∵，且，∴，∴， ∵，∴，∴；故答案为：20． （2）解：如图： 设，根据已知得：， ∴，， ∵，∴，所以，解得， ∴．答：的长是． 13．（24-25黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或 或 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）可知，，，， 平分，，的度数是； （3）的度数是或或或， 理由如下：如图1，， ，，       ， 又，，， 如图2，，即， 又，，，    如图3，，， 又，， 如图，，  ， ， 综上所述，的大小为或或 或． 14．（24-25七年级上·福建三明·期中）观察，是思维的起点！利亚说：观察可能导致发现，观察将揭示某种规则模式或定律．同学们在遇到问题时，一定要仔细观察，认真分析，切忌乱来一气，或凭感觉、想当然！请你认真阅读以下两个问题，观察图形或数据，探索其中规律，解决相应问题： （1）过多边形的一个顶点A作出所有对角线，三角形没有对角线，四边形有一条对角线，五边形有两条对角线，…… 探讨其中规律，我们可以发现：（将你的答案填在相应横线上） （i）在n边形中，从一个顶点出发，总共可以画出的对角线有 条； （ii）小学我们就知道了：三角形的内角和为180°．依此结论完成下表 多边形 三角形 四边形 五边形 …… n边形 多边形的内角和 180° 360° 540° …… __________ （2）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求1+2+3+……+99+100了，爱探索的他，对从1开始的连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请你沿着他的探索，根据其中的规律计算：1+3+5+……+47+49= ______； 【答案】（1）（i）n-3；（ii）见解析；（2）625 【详解】解：（1）（i）∵四边形从一个顶点出发，可以画出的对角线共有4-3=1条； 五边形从一个顶点出发，可以画出的对角线共有5-3=2条； 六边形从一个顶点出发，可以画出的对角线共有6-3=3条； ∴n边形中，从一个顶点出发，可以画出的对角线共有（n-3）条； （ii）三角形内角和为180°×1=180°， 四边形内角和为180°×2=360°， 五边形内角和为180°×3=540°，... ∴n边形内角和为180°×（n-2）=180°×（n-2），填表如下： 多边形 三角形 四边形 五边形 …… n边形 多边形的内角和 180° 360° 540° …… 180°×（n-2） （2）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… ∴第n个等式：1+3+5+…+（2n-1）=n2， ∴1+3+5+……+47+49==252=625． 15．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【答案】（）；（）；（）；（）①种；②种 【详解】解：（）图中有条线段，故答案为：； （）图中有条线段，故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段，直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段，故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，，∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的，∴需要印制种火车票． 16．（24-25七年级上·河北唐山·期中）（1）如图，已知线段，在上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有十个不相同的点时，共有多少条线段？ （2）如图2，已知，在内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角（不大于平角）？当内有十条射线时，共有多少个角？ （3）小亮在解答（2）题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 【答案】（1）3，6，10，；（2）3，6，10， ；（3）可以 【详解】解：（1）图①中，线段上有1个点，共有3条线段，即； 图②中，线段上有2个点，共有6条线段，即； 图③中，线段上有3个点，共有10条线段，即； 以此类推，当线段上有个点时，共有条线段； （2）图①中，内有1条射线，共有3个角，即； 图②中，内有2条射线，共有6个角，即； 图③中，内有3条射线，共有10个角，即； 以此类推，内有条射线时，共有个角． （3）可以，当小亮作一条直线分别与各射线相交时，就可以把求角的个数转化为求线段的条数，如图所示： 由（1）（2）求解过程可知，把求角的个数转化为求线段的条数，规律是一样的，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？ 【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛 【详解】解：观察思考：由题意得，图中线段有线段，共6条； 模型构建：当线段上有2个点（包括端点）时，有1条线段， 当线段上有3个点（包括端点）时，有条线段， 当线段上有4个点（包括端点）时，有条线段，……， 以此类推，可知线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有条线段； 拓展应用：把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数， ∴一共比赛场；设该队胜x场比赛，则该队负了场 ∴，解得，∴该队胜了3场比赛， 答：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛． 18．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题：如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 19．（24-25七年级上·江苏·专题练习）阅读表： 线段上的点数（包括A，B两点） 图形 线段总条数N 3 4 5 6 7 解答下列问题：(1)在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数； (2)请猜测，线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系？请写出来； (3)变式练习①：如果过每两点可以画一条直线，那么请在下面三组图中分别画线，并回答问题： 第（1）组最多可以画　　条直线；第（2）组最多可以画　　条直线；第（3）组最多可以画　　条直线． 归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线_____条．（用含n的代数式表示） 变式练习②：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握_____次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需_____件礼物． 变式练习③：从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备_____种车票． 【答案】(1)画出图形见解析；， (2)线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系为： (3)变式练习①：3；6；10；归纳结论：；变式练习②：1225；2450；变式练习③：36 【详解】（1）解：线段上的点数（包括A，B两点）为6个时，如图： 此时，线段总条数， 线段上的点数（包括A，B两点）为7个时，如图： 此时，线段总条数， 填表如下： 线段上的点数（包括A，B两点） 图形 线段总条数N 3 4 5 6 7 （2）解：线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系为：； （3）解：①第（1）组最多可以画3条直线，第（2）组最多可以画6条直线， 第（3）组最多可以画10条直线，故答案为：3；6；10； 归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条， 故答案为：； ②当时，（次），（件）， ∴某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握1225次手，最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需 2450件礼物，故答案为：1225；2450； ③当时，（种），∴从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备36种车票，故答案为：36． 20．（24-25七年级上·广东深圳·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二：（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 【答案】活动一：特例研究：见解析；类比发现：见解析；猜想分析：45；活动二：（1），；（2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；． 【详解】解：特例研究：第四种情况如图所示： 类比发现：由题意得，2条直线最多只有1个交点， 3条直线最多有个交点，4条直线最多有个交点， 以此类推可知，5条直线最多有个交点， 补全表格如图， 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 3 6 10 … 猜想分析：由类比发现的结论可知：n条直线最多有个交点， 10条直线最多有个交点，故答案为：45； 活动二：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是， 右边还剩根手指，即个位是，∴，故答案为：，； （2）根据材料可发现与（1）思路基本一致， 设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒， 因此规律为： 故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒：． 21．（24-25七年级上·广东深圳·期中）学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：    （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 实际应用：（4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次． 拓展提高：（5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来． 【答案】（2）15；（3）；（4）595；（5）要准备30种车票 【详解】解：（2）由题意可得，（场），故答案为：15； （3）由（1）（2）的规律可得，校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排（场） 故答案为：； （4）由题意可得，全班同学总共握手（次），故答案为：595； （5）由题意可得，中途经过4个车站，共6个站往返行车，则（种）， 答：要准备30种车票． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·重庆綦江·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置；(2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 例3（24-25七年级上·上海·期中）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 例4（24-25云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ）    A．30° B．80° C．40° D．45° 例5（24-25七年级上·江苏·专题练习）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，对，说明理由． 理由：因为直线，相交于点（已知），所以 （　        　） 因为平分（已知），所以（　          　） 所以 （　       　） 因为 （　        　） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以 （　        　） 因为（　         　） 所以（　       　）． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，由阳新站发终点至汉口的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：阳新-大冶-黄石-武汉-汉口，那么要为这次列车制作的单程火车票 种． 例2（24-25七年级上·山西太原·期末）从太原南开往天津西的次动车，运行途中停靠的站点有太原南、石家庄、正定、保定、白洋淀、霸州、胜芳、天津西，那么这次列车要准备多少种不同的车票（　　） A．15种 B．28种 C．30种 D．56种 例3（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）如图，在一个角的内部画射线，画1条射线，就有3个不同的角，画2条射线，就有6个不同的角，画3条射线，就有10个不同的角……以此类推，在一个角的内部画条射线有 个不同的角（用含的代数式表示）． 例4（24-25湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校一共要安排 场比赛．      （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛； ………… （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手________________次． 拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为____种． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级下·江苏·假期作业）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 例2（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 例3（2025·湖北武汉·模拟预测）同一平面内15条直线最多可以将平面分成（　　）个部分． A．120 B．121 C．122 D．123 例4（24-25七年级上·江苏·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 例5（24-25·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·浙江·专题练习）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 例2（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 例3（24-25·山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（    ） A．9 B．54 C．60 D．108 例4（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示）；②拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 1．（24-25·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 2.（24-25七年级上·新疆·期中）一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 3．（24-25福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 4．（24-25广东七年级期期）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①图中共有5个角（小于）；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 6．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．    8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 9．（24-25七年级上·江苏·期中）如图所示，，，则 ． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）平面上5个圆最多能把平面分成 个部分． 11．（21-22七年级上·贵州遵义·期末）如图，1条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，4条直线最多将平面分成11个部分，5条直线最多将平面分成16个部分，6条直线最多将平面分成22个部分，则49条直线最多将平面分成 个部分．     12．（24-25七年级上·山西·阶段练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小：　　（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，且，则的长为 　　cm；(2)若线段被点B、C分成了2：3：4三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是18cm，求的长． 13．（24-25黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 14．（24-25七年级上·福建三明·期中）观察，是思维的起点！利亚说：观察可能导致发现，观察将揭示某种规则模式或定律．同学们在遇到问题时，一定要仔细观察，认真分析，切忌乱来一气，或凭感觉、想当然！请你认真阅读以下两个问题，观察图形或数据，探索其中规律，解决相应问题： （1）过多边形的一个顶点A作出所有对角线，三角形没有对角线，四边形有一条对角线，五边形有两条对角线，…… 探讨其中规律，我们可以发现：（将你的答案填在相应横线上） （i）在n边形中，从一个顶点出发，总共可以画出的对角线有 条； （ii）小学我们就知道了：三角形的内角和为180°．依此结论完成下表 多边形 三角形 四边形 五边形 …… n边形 多边形的内角和 180° 360° 540° …… __________ （2）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求1+2+3+……+99+100了，爱探索的他，对从1开始的连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请你沿着他的探索，根据其中的规律计算：1+3+5+……+47+49= ______； 15．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 16．（24-25七年级上·河北唐山·期中）（1）如图，已知线段，在上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有十个不相同的点时，共有多少条线段？ （2）如图2，已知，在内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角（不大于平角）？当内有十条射线时，共有多少个角？ （3）小亮在解答（2）题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？ 18．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题：如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 19．（24-25七年级上·江苏·专题练习）阅读表： 线段上的点数（包括A，B两点） 图形 线段总条数N 3 4 5 6 7 解答下列问题：(1)在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数； (2)请猜测，线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系？请写出来； (3)变式练习①：如果过每两点可以画一条直线，那么请在下面三组图中分别画线，并回答问题： 第（1）组最多可以画　　条直线；第（2）组最多可以画　　条直线；第（3）组最多可以画　　条直线． 归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线_____条．（用含n的代数式表示） 变式练习②：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握_____次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需_____件礼物． 变式练习③：从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备_____种车票． 20．（24-25七年级上·广东深圳·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二：（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 21．（24-25七年级上·广东深圳·期中）学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：    （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 实际应用：（4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次． 拓展提高：（5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $