2.5.1：直线与圆的位置关系【八大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【题型探究】 题型一：判断直线与圆的位置关系 【例1】．（25-26高二上·河北邢台）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【变式1】．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【变式2】．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 【例2】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆，若直线与圆相切，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：圆的弦长问题 【例3】．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【变式1】．（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【变式2】．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 题型四：圆的弦长求参数或者切线方程 【例4】．（25-26高二上·陕西·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【变式1】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； 【变式2】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 题型五：圆的切线方程 【例5】．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 【变式1】．（25-26高二上·山西晋中·期中）过点与圆相切的直线方程为 . 【变式2】．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题 【例6】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【变式1】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【变式2】．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 题型七：直线与圆的应用 【例7】．（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【变式1】．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【变式2】．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 【例8】．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【变式1】．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 【变式2】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·江苏·阶段练习）对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 3．（25-26高二上·江西·阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知实数满足方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段练习）过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的方程为，直线与圆相交于M、N两点且，则的值为（    ） A． B． C． D．10 8．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，，若直线上任意一点，都使恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆，则（   ）． A．圆的面积是 B．圆关于直线对称 C．点在圆外 D．直线与圆相离 11．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）过点的直线与圆相交于，两点，则线段长度可以是（   ） A．6 B．7 C．12 D．13 12．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆：，直线：（），下列选项正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线与圆可能相切 C．当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时，则 D．设与圆交于，两点，则中点的轨迹方程为 13．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，则入射光线所在的直线方程为（      ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江西·阶段练习）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．当为等边三角形时， B．的最小值为4 C．的最小值为 D．直线过定点 15．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 三、填空题 16．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 . 17．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则 ． 18．（25-26高二上·天津·阶段练习）直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P是圆上的动点，则面积的最小值为 ． 19．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 20．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，且满足，则的最大值是 ． 21．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在平面直角坐标系中，一道光线沿直线经轴反射，反射光线与圆恰有一个公共点，则 . 四、解答题 22．（17-18高二上·四川·开学考试）已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 23．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知两直线和的交点为. (1)直线过点且与直线垂直，求直线的一般式方程； (2)已知圆，过点作圆的切线，求切线方程. 24．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 25．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 26．（25-26高二上·天津）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程； (3)已知实数满足圆的方程，求的最小值. 27．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 28．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； (3)设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【题型探究】 题型一：判断直线与圆的位置关系 【例1】．（25-26高二上·河北邢台）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 【变式1】．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 【变式2】．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 【例2】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆，若直线与圆相切，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值. 【详解】圆，则圆心为，半径为， 因为直线即和圆相切， 所以，平方得，解得或. 故选：C 【变式1】．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 【变式2】．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由表示圆上半部分，数形结合求出临界情况下的直线，进而确定参数范围，最后由充分、必要性的定义得结论. 【详解】由表示圆上半部分，且圆心为，半径为2，如下图示，    由图知，当直线与半圆左上部分相切或与轴的交点在线段上（不含点），满足题设， 当直线与圆左上部分相切时，，可得， 当直线过点时，即，直线过点时，即， 综上，满足条件的， 所以“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 题型三：圆的弦长问题 【例3】．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 【变式1】．（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； （2）由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 【变式2】．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 题型四：圆的弦长求参数或者切线方程 【例4】．（25-26高二上·陕西·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 【变式1】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设圆的方程为，再由直线与圆相切于点，可得关于与r的方程组，求得与r的值，则圆的方程可求； （2）先根据垂径定理求得圆心到直线的距离为，然后按照直线斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式列式求得，即可得解. 【详解】（1）由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得，， 所以圆的标准方程为； （2）依题意，圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离为3，符合题意； 当直线斜率存在时，设为，即， 则，即，则，解得， 所以直线的方程为 综上，直线的方程为或 【变式2】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解； （2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程. 【详解】（1）    因为圆心在射线上，设，其中. 设圆的标准方程为，其中 圆经过点，所以，化简得 圆心到直线的距离. 该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得. 故，解得. 故圆的方程为. （2）点距离圆心的距离为，所以点在圆外. 过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线. 设过点作圆的另一条切线方程为，变形得. 圆心到该直线的距离为，即，解得. 故该切线方程为，即. 综上，过点作圆的切线方程为或. 题型五：圆的切线方程 【例5】．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先可得点在圆上，求出，即可求出直线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】圆的圆心为， 又，所以点在圆上， 又由直线的斜率， 所以直线的斜率为2，则直线的方程为，即． 故答案为：． 【变式1】．（25-26高二上·山西晋中·期中）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 【变式2】．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当切线的斜率存在时，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 故答案为：或. 题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题 【例6】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 【变式2】．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【分析】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【详解】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 题型七：直线与圆的应用 【例7】．（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，进而即可计算出的长． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得， 又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 【变式1】．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【分析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，由可求得，圆心，可得圆的方程；由题意设，代入圆的方程可求支柱的高度． 【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 【变式2】．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 【例8】．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）设，再利用两点间距离公式计算即可得； （2）①设出直线方程，借助韦达定理与向量数量积计算即可得；②借助韦达定理、点到直线距离公式与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符；则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得，则，即， 有、，，即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ，点到直线的距离， 则，令，则，则，当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为. 【变式1】．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设点，，根据向量运算公式可得，代入圆的方程，可得轨迹方程； （2）根据，方程确定，，结合两点间距离公式化简可得证. 【详解】（1）由已知，， 设，， 则，，则，即，则，即，故点的轨迹方程为； （2）设，则，直线方程是：，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以，即为定值. 【变式2】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或6，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程； （2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式即可求解； （3）设，由建立方程，化简可得，由（2）可得，联立求解得，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）设，求出，， 则或6， 当时，，此时直线的方程为：， 圆心到直线距离，满足题意； 当时，，，直线的方程为：， 圆心到直线距离（舍去）； （2）设直线的方程为：，联立 可得：， 设，则，① ， 则 ，② 将①代入②化简可得， 即； （3）设点，由点，， 可得，化简得，③ 又，④ ④式代入③式解得或， 由圆心到直线的距离，故， 此时，圆心到直线距离， 则，直线方程为：，， 到直线的距离，则. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论. 【详解】由，可得， 所以圆心的坐标为, 半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏·阶段练习）对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，判断坐标参数的关系，根据圆心到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系. 【详解】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C外，可知， 可得， 圆心到直线的距离， 因为，所以，所以直线与圆相交； 故选：B. 3．（25-26高二上·江西·阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切求出，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 由直线与圆相切， 则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知实数满足方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 5．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段练习）过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求出圆心，根据直线对称可得与直线垂直，即可求出直线的方程，再联立即可求出. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线（不过圆心）对称时，则直线与直线垂直， 所以直线的方程为，即， 联立，解得，所以. 故选：. 6．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 6．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到圆心和半径，根据求出，故点C到直线l的距离为，利用点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】根据题意，圆C的圆心为，半径为4，直线l：， 因为，其中，所以， 解得，可得， 所以点C到直线l的距离为，则， 可得（舍）或. 故选：D. 7．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的方程为，直线与圆相交于M、N两点且，则的值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】由题设易得圆心为，半径为，，，进而根据列方程求解即可. 【详解】由圆：，即， 则圆心为，半径为，， 在圆中，由于，， 则， 而圆心到直线的距离为， 由，则，解得. 故选：A 8．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 9．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，，若直线上任意一点，都使恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得点在以为直径的圆外，即直线与以为直径的圆相离，求出以为直径圆，再利用圆心到直线的距离大于圆的半径，即可得到不等式，解得即可. 【详解】因为，，且，则点在以为直径的圆外， 又以为直径的圆的方程为，即， 又点为直线上任意一点，所以直线与相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：C 二、多选题 10．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆，则（   ）． A．圆的面积是 B．圆关于直线对称 C．点在圆外 D．直线与圆相离 【答案】BCD 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用圆的性质、面积公式、两点间距离公式及点到直线的距离公式等知识点逐一判断选项． 【详解】， ，即圆是圆心为，半径是的圆． 圆的面积为：，故A错误； 圆心在直线上，即， 圆关于直线对称，故B正确； 设点与圆心距离为，则， 点在圆外，故C正确； 设圆心到直线的距离为，则， 直线与圆相离，故D正确． 故选：． 11．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）过点的直线与圆相交于，两点，则线段长度可以是（   ） A．6 B．7 C．12 D．13 【答案】BC 【分析】先探究点与圆的位置关系，再求出的取值范围即可. 【详解】圆的圆心为，半径为6， 由，得点在圆内， 所以当直线与直线垂直时，线段最短，最短为， 而的最大值为，所以. 故选：BC. 12．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆：，直线：（），下列选项正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线与圆可能相切 C．当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时，则 D．设与圆交于，两点，则中点的轨迹方程为 【答案】AC 【分析】A选项，化直线为点斜式判断；B选项，根据直线经过的定点在圆内判断；C选项，结合半径长度，点到直线的距离求解；D选项，根据垂径定理判断出即可得解. 【详解】A选项，整理得，， 可知该直线经过，A选项正确； B选项，整理圆的方程为：， 注意到， 可知直线经过的定点在圆内，则直线必和圆相交，不可能相切，B选项错误； C选项，当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时， 则圆心到直线的距离小于， 即，解得，C选项正确； D选项，由垂径定理和直线经过定点可得，， 则的轨迹是以为直径的圆上运动， 又中点是，， 则的轨迹是，D选项错误. 故选：AC 13．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，则入射光线所在的直线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于轴对称的圆的方程，设的斜率为，利用相切求出的值即可得到的方程． 【详解】已知圆的标准方程是， 它关于轴的对称圆的方程是， 可知入射光线所在的直线的斜率存在，设光线所在直线的方程是，    由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离等于1， 即．整理得：，解得：或, 故所求的直线方程是或，即或． 故选：AD． 14．（25-26高二上·江西·阶段练习）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．当为等边三角形时， B．的最小值为4 C．的最小值为 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理和勾股定理计算可判断A，B，根据三角形等面积法计算得，可计算并判断C，通过设点的坐标为，可得以线段为直径的圆的方程为，与圆方程联立可得交线的方程为，从而可得出定点判断D. 【详解】 对于A，若为等边三角形，则， 又，根据余弦定理，，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，在中，根据等面积法，可得， 得，故C正确； 对于D，设点的坐标为， 以线段为直径的圆的方程为，整理得， 将代入可得直线的方程为，可知点一定在直线上，故D正确. 故选：ACD. 15．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 【答案】ACD 【分析】由题可得，即可求出定点，可对A判断求解；由题可将圆化成标准式并求出圆心及半径，由可转化为原点到圆上一点距离值的平方，即可求解对B判断；作出相应图象，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，即可对C判断；求出圆心到直线的距离，分情况讨论、时的取值情况即可对D判断. 【详解】A：由题可得，即，解得，所以直线恒过定点，故A正确； B：由题可得圆：，即圆心，半径， 因为圆上任意一点，则， 则等价于原点到圆上一点距离值的平方， 即，则的最大值为，故B错误； C：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，，，且，故C正确； D：圆心到直线的距离，当时，； 当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 16．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出曲线，考查直线与圆相切且切点在第四象限时的值、直线过点、时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】由，可得，即， 所以，曲线表示圆的下半圆， 作出曲线与直线如下图所示， 当直线与圆相切且切点在第四象限时， 且由几何关系可得，解得，此时，直线与曲线有1个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有2个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有1个公共点； 由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 17．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则 ． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 18．（25-26高二上·天津·阶段练习）直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P是圆上的动点，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求的长，求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，可得面积的取值范围，结合题意可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则． 的最小值为. 故答案为：． 19．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 【答案】4 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 20．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，且满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先求出点的轨迹方程，再利用数形结合思想求解. 【详解】因为，所以，化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去两点）， 如图．不妨设，则的最大值在直线与圆相切时取得， 由，解得或， 所以的最大值是． 故答案为：    21．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在平面直角坐标系中，一道光线沿直线经轴反射，反射光线与圆恰有一个公共点，则 . 【答案】 【分析】分析可知直线过定点，斜率为，根据直线与圆相切列式求解即可. 【详解】圆：的圆心为，半径， 因为直线：即为， 令，可得，即直线过定点， 根据对称性可知，直线过定点，斜率为， 则直线：，即， 依题意可得，整理可得，解得. 故答案为：.    四、解答题 22．（17-18高二上·四川·开学考试）已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 23．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知两直线和的交点为. (1)直线过点且与直线垂直，求直线的一般式方程； (2)已知圆，过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求出两直线的交点坐标，由两直线垂直可得斜率，即可得到结果； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，结合列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）直线与直线垂直，故设直线为， 联立方程组，解得， 直线和的交点. 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为. （2）圆心，半径 ①当斜率不存在时，则直线为，此时，满足题意 ②当斜率存在时，设 则，解得， 此时切线方程为 综上，切线方程为. 24．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据几何法求出圆心坐标及半径，进而可得圆的方程； （2）先判断直线与圆的位置关系，用几何法可得圆上的点到直线的距离的范围. 【详解】（1）由，，得中点坐标为. 由直线斜率，得中垂线斜率. 所以中垂线方程为，即. 由得，. 所以圆圆心为，半径. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可得直线方程为，即. 圆心到直线距离，显然直线与圆相交. 所以点到直线的最小距离为0，最大距离为. 故到直线距离的取值范围为. 25．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 （2）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 26．（25-26高二上·天津）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程； (3)已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为， 则有，解得， 即圆的标准方程为； （2）由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； （3）由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 27．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，由圆直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时则直线，即可验证直线与圆是否相切，当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解；法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线为，即， 由圆心到切线的距离为得，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. （3）法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 28．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； (3)设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值. 【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证； （3）设，由为圆的切线，得到，得到方程，结合方程的恒成立，列出方程组，求得的值，进而得到答案. 【详解】（1）解：由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又由圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称，可得，解得，所以圆的标准方程为. （2）证明：设，，且，联立方程组，整理得， 则，且，，则， 所以当不断变化时，轴始终平分. （3）解：假设存在定点，使得为定值，设，，， 因为点在圆上，所以，则， 因为为圆的切线，所以， 所以，， 所以， 整理得（）， 若使（）对任意恒成立，则，可得， 代入③整理得，解得或， 所以或， 所以存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $