2.4圆的方程【六大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.4：圆的方程 【知识梳理】 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例题详解】 题型一、求圆的标准方程 【例1】．（25-26高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为； (2)过三点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （2）解法一：设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解，解法二：设出圆的一般方程，再代入三点坐标，即可求解. 【详解】（1）设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. （2）解法一、设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 解法二、设所求圆的一般方程为， 将已知三点的坐标代入，即得方程组，解得， 故所求圆的方程为，即. 【变式1】．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； （2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解. 【小题1】所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. 【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. 【小题3】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 【变式2】．（24-25高二上·广东深圳·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和圆上的点求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）根据垂径定理，圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上可求圆心，再求半径，得圆的标准方程. 【详解】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径 故圆的标准方程为 （2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上. 又圆心在直线上，所以圆心的坐标为， 所以圆的半径， 故圆的标准方程为. 题型二、圆的一般方程的求圆心与半径 【例2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【答案】B 【分析】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【详解】， 故圆心为，半径为1. 故选：B 【变式1】．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标. 【详解】由得，故圆心坐标为. 故选：D. 【变式2】．（24-25高二上·广东湛江·期中）圆的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为标准方程即可求解. 【详解】由可得： ， 所以圆心和半径分别为. 故选：A 题型三：求圆的一般方程 【例3】．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三个顶点为，，， (1)求三角形ABC外接圆的方程； (2)判断点是否在这个圆上. 【答案】(1) (2)点在这个圆上，点不在这个圆上 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入计算即可； （2）将点的坐标代入圆方程判断即可. 【详解】（1）设三角形ABC外接圆的方程为 由已知可得方程组：解得：，   则圆的方程为. （2）圆的标准方程化为. 把点的坐标代入圆的方程，得， 即点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上，            把点的坐标代入圆的方程得， 即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 【变式1】．（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)求AB边中线所在直线的方程； (2)求△ABC外接圆的一般方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段AB的中点坐标，然后利用两点式可求出AB边中线所在直线的方程； （2）设△ABC的外接圆为，然后解方程组可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以线段AB的中点坐标为，又因为， 所以AB边中线所在直线的方程为，即； （2）设△ABC的外接圆为，则 ，解得， 所以圆方程为. 【变式2】．（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入三点坐标利用待定系数法求圆的一般方式. （2）要求圆关于直线的对称圆，只需求出圆心关于直线的对称点，再根据对称前后的圆半径相等即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 题型四：二元二次方程表示圆的参数问题 【例4】．（25-26高二上·陕西渭南·阶段练习）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 【答案】(1)； (2)圆心坐标为，半径为. 【分析】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解； （2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径. 【详解】（1）由题意，解得：， 所以的取值范围是； （2）圆的标准方程是， 圆心坐标为，半径为. 【变式1】．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 【变式2】．（22-23高二上·重庆渝中·阶段练习）已知圆的方程为： (1)求实数的取值范围. (2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方程配方化为圆的标准方程，由右边大于0可得； （2）由（1）得圆半径，由函数性质得最大值，从而得值，求出圆心坐标，然后求得圆心到已知直线的距离，确定直线与圆相离，由距离减半径得最小值． 【详解】（1）方程配方得：，它表示圆， 则，解得； （2）由（1），时，， 圆方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为，已知直线与圆相离， 所以的最小值是． 题型五：圆的定点问题 【例5】．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式1】．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【变式2】．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【变式3】．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型六：圆的方程综合问题 【例6】．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆C经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点在圆C上，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解； （2）由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解即可得出的最值. 【详解】（1）由已知可设圆心为， 则，即， 解得，∴，， ∴圆C的方程为． （2）表示原点与圆C上的点间的距离， 而原点O在圆C外，，圆C的半径， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为，最小值为． 【变式1】．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定半径，可得圆的标准方程. （2）可直接写出圆的直径式方程，再化成标准方程即可. （3）用待定系数法可求圆的一般方程. 【详解】（1）所求圆的标准方程为：， 即. （2）所求圆的直径式方程为：， 即. （3）设所求圆的方程为. 由题意得：，解得. 所以所求圆的一般方程为. 【变式1】．（22-23高二上·江苏·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于0，即或求解. 【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即. 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）已知圆的方程为，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】将圆的一般方程配方成标准方程，即得圆的半径. 【详解】由配方，可得，故该圆的半径为3. 故选：B. 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定点后结合圆的标准方程定义即可得. 【详解】，令，解得， 故直线恒过定点， 则以为圆心，2为直径的圆的方程为. 故选：C. 4．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 5．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 6．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 8．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】AD 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 10．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由圆的标准方程即可判断A，由解出即可判断B，由表示圆上点到定点的距离，计算圆心到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 12．（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，点是圆上任意一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ） A．圆的半径为4 B．满足的点有两个 C．的最大值为 D．若点在轴上，则满足的点有两个 【答案】BC 【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D． 【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A错误； 选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是， 最小距离是，因此满足的点有两个，故B正确； 选项C：令，则，所以， 将点的坐标代入圆的方程并整理，得， 依题意有，即， 解得，因此的最大值为，故C正确． 选项D：不妨设，由于，所以， 整理得．因为点在圆上， 所以，则， 因此，得， 所以符合要求的点是唯一的，故D错误． 故选：BC 13．（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 14．（24-25高二上·海南·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆关于直线对称 C．若，则圆过坐标原点 D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 【答案】BCD 【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，再根据圆的性质判断各选项是否正确. 【详解】圆：， 所以圆心为，圆的半径：，（），故A错误； 因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确； 对C：当时，圆：，所以圆过坐标原点，故C正确； 对D：由且或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 15．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知圆C过点，，且圆心C在直线：上，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【分析】解法一，根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可； 解法二：由题知圆心在线段的垂直平分线上，进而结合题意得圆的圆心与半径，写出方程； 【详解】解法一：设圆的标准方程为， 由已知得， 解得， 所以圆的标准方程为； 解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上， 易知的中点为，，所以垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， ，得，即圆心 半径， 所以圆的标准方程为； 故答案为： 16．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，则以为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求圆心和半径可得结果. 【详解】由，，得圆心的坐标为， ， 因此，圆的半径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 17．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】首先把的最小值转化为的最小值，再利用最短路径问题的结论即可求解. 【详解】由题意可知圆心的坐标为，半径， 点关于轴对称的点的坐标为， 则，从而， 故，即的最小值是4. 故答案为：4    18．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，，根据为的中点可得，进而代入圆的方程即可求解. 【详解】设，， 由于为的中点，则，即， 又在圆上 所以，则， 所以的轨迹方程为. 故答案为：. 19．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的一般方程为， 将点代入得， 解得，满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 故答案为： 20．（25-26高二上·全国·课后作业）若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据数量积可将问题转化为，进而利用相切求解的最小值即可得解. 【详解】由于，故在圆的外部， 如图，作于点，于点， 则． 因为，所以， 故要求的最小值，即求的最小值． 沿向左下平移至与圆相切处，且与相交于点， 易知直线的方程为，即，点到直线的距离为，所以, , 由圆的性质知，， 所以的最小值为． 故答案为：    四、解答题 21．（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心是直线与的交点，半径长为． 【答案】(1); (2). 【分析】本题考查的是圆的标准方程的求解，需要确定圆心坐标和半径长. 【详解】（1）设圆的半径为r（）， 则， 故圆的标准方程是． （2）圆心是两直线的交点， 解方程组，得， 所以圆心为，又半径长为， 所以圆的标准方程为． 22．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 23．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，最大距离 (2) 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 24．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得圆心与半径可求圆的方程； （2）由已知可得AB垂直平分CM，求得，进而求得的中点，可求直线的方程. 【详解】（1）因为圆心C是直线与轴的交点， 所以圆心C的坐标为， 又因为圆C经过，所以圆C的半径为， 所以圆C的方程为. （2）因为四边形CAMB为菱形， 所以AB垂直平分CM， 因为，所以 又因为CM的中点坐标为 所以直线AB的方程为，即. 25．（24-25高二上·吉林·期中）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4：圆的方程 【知识梳理】 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例题详解】 题型一、求圆的标准方程 【例1】．（25-26高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为； (2)过三点. 【变式1】．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【变式2】．（24-25高二上·广东深圳·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点. 题型二、圆的一般方程的求圆心与半径 【例2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【变式1】．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·广东湛江·期中）圆的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 题型三：求圆的一般方程 【例3】．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三个顶点为，，， (1)求三角形ABC外接圆的方程； (2)判断点是否在这个圆上. 【变式1】．（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)求AB边中线所在直线的方程； (2)求△ABC外接圆的一般方程． 【变式2】．（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 题型四：二元二次方程表示圆的参数问题 【例4】．（25-26高二上·陕西渭南·阶段练习）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 【变式1】．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【变式2】．（22-23高二上·重庆渝中·阶段练习）已知圆的方程为： (1)求实数的取值范围. (2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值. 题型五：圆的定点问题 【例5】．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【变式2】．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【变式3】．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 题型六：圆的方程综合问题 【例6】．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆C经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点在圆C上，求的最大值与最小值． 【变式1】．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【变式1】．（22-23高二上·江苏·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）已知圆的方程为，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．9 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A．B． C． D． 6．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 10．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 12．（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，点是圆上任意一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ） A．圆的半径为4 B．满足的点有两个 C．的最大值为 D．若点在轴上，则满足的点有两个 13．（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·海南·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆关于直线对称 C．若，则圆过坐标原点 D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 三、填空题 15．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知圆C过点，，且圆心C在直线：上，则圆C的标准方程为 . 16．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，则以为直径的圆的标准方程为 ． 17．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是 . 18．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则线段中点的轨迹方程为 . 19．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 20．（25-26高二上·全国·课后作业）若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 四、解答题 21．（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心是直线与的交点，半径长为． 22．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 23．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 24．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 25．（24-25高二上·吉林·期中）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 1 学科网（北京）股份有限公司 $