第28章 微专题12 三角函数与代数、几何综合-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂教学课件(人教版)

天骄出品 必属精品 深圳天骄文化传播有公司 宝典训练 配套教学课件 高效课堂 微专题12　三角函数与代数、几何综合 第二十八章　锐角三角函数 一、三角函数与代数综合 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b的图象与 反比例函数y＝ 的图象交于第二、四象限内的A，B两点， 与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m， －4），连接AO，AO＝5， sin ∠AOC＝ . （1）求反比例函数和一次函数的解析式； 解：（1）如答图，过点A作AE⊥x轴于点E， 则∠AEO＝90°.在Rt△AEO中， ∵AO＝5， sin∠AOC＝ ＝ ， ∴AE＝3.∴OE＝ ＝4. ∴点A的坐标为（－4，3）. ∵点A（－4，3）在反比例函数y＝ 的图象上，∴3＝ .解 得k＝－12.∴反比例函数的解析式为y＝－ .∵点B（m， －4）在反比例函数y＝－ 的图象上，∴－4＝－ .解得m＝3.∴点B的坐标为（3，－4）.将点A（－4，3），点B（3， －4）代入y＝ax＋b中，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x－1； （2）连接OB，求△AOB的面积. （2）令一次函数y＝－x－1中y＝0，则0＝－x－1， 解得x＝－1，即点C的坐标为（－1，0）. S△AOB＝ OC·（yA－yB）＝ ×1×[3－(－4)]＝ . 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b （k≠0）的图象与反比例函数y＝ （n≠0）的图象交于第 二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点B的坐标为 （m，－1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝ . （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； 解：（1）∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°.在Rt△ADO中，AD＝3，tan∠AOD＝ ＝ ，∴OD＝2.∴A（－2，3）.∵点A在反比例函数y＝ 的图象上，∴n＝－2×3＝－6.∴反比例 函数的解析式为y＝－ .∵点B（m，－1）在反比例函数y＝－ 的图象上，∴－m＝－6.∴m＝6.∴B（6，－1）.将点A（－2，3），B（6，－1）代入直线y＝kx＋b中，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－ x＋2； （2）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写 出满足条件的E点的个数（写出个数即可，不必求出E点坐 标）. （2）满足条件的点E有四个. 二、三角函数与几何综合 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA 至点D，使AD＝AB，连接BD. （1）求∠D及∠DBC的度数； 解：（1）∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD. ∵∠BAC＝∠D＋∠ABD＝30°， ∴∠D＝15°. ∴∠DBC＝90°－∠D＝75°； （2）求tanD及tan∠DBC的值； （2）设BC＝x，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2x，AC＝ BC＝ x. ∴AD＝AB＝2x.∴DC＝AD＋AC＝（2＋ ）x. 在Rt△BCD中，tanD＝ ＝ ＝2－ ， tan∠DBC＝ ＝ ＝2＋ ； （3）用类似方法，求tan22.5°. （3）如答图，在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，延长CA至点D，使AD＝AB，连接BD，则∠D＝22.5°.设BC＝a，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝a，AB＝ a. ∴AD＝ a.∴CD＝DA＋AC＝（ ＋1）a.在Rt△BCD中，tanD＝ ＝ ＝ －1，即tan22.5＝ －1. 4. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且 AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂 足为P. （1）求证：FG＝EH； （1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠A＝∠B＝90°，又∵AE＝DF，∴BE＝AF. ∵FG⊥EH，∴∠PEG＋∠PGE＝90°.∵∠PGE＋∠GFA＝90°，∴∠PEG＝∠GFA. 在△AFG和△BEH中， ∴△AFG≌△BEH（ASA）.∴FG＝EH； （2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝ ， 求PF的长度. （2）解：∵正方形ABCD边长为5，AE＝2，∴AD＝5，DF＝2.∴AF＝5－2＝3.∵tan∠AGF＝ ，∴AG＝4. ∴GE＝AG－AE＝2.根据勾股定理，可得FG＝5，∵tan∠AGF＝ ，设EP＝3x，GP＝4x， 根据勾股定理，得（3x）2＋（4x）2＝4， 解得x＝ ，∴GP＝ .∴PF＝FG－GP＝ . $