3.1.3组合与组合数（第一课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该教案聚焦组合与组合数的概念、公式及与排列的区别，通过高考选科和大学志愿选择的情境问题导入，对比有顺序的排列与无顺序的组合，衔接已学排列知识，搭建学习支架。 特色在于情境化与逻辑推导结合，从生活实例（选科、选大学）抽象概念，用“先选后排”推导公式培养逻辑推理，例题解决实际问题提升数学运算。启发式与类比教学激发探究，帮助学生用数学思维思考、用数学语言表达，提升学习主动性，助力教师高效教学。

课题 3.1.3 组合与组合数（第一课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第二册 章节 第三章第一节第一小节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标及重难点： 1.理解组合与组合数的定义，能够正确认识组合和排列的区别和联系.【重点】 2.掌握组合数公式并会用组合数公式进行计算.【难点】 教材分析 本节课是人教B版（2019）选择性必修第二册组合与组合数的第一课时，是在学生学习了排列的相关知识之后，进一步学习组合与组合数的概念、性质及计算方法等内容，是对排列组合知识体系的完善和深化，同时也为后续学习二项式定理等知识奠定了基础. 核心素养 1.逻辑推理:组合数公式的推导； 2.数学运算:组合数的计算，运用组合数解决实际应用问题； 3.数学抽象:组合与组合数的概念; 4.直观想象:通过实例体会组合数的应用. 教学方法和手段 。 1.教学方法 (1)启发式教学：通过提出问题或设置情境，引导学生自主思考并探索组合与组合数的定义。这种方法可以激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的思维能力。 (2)类比教学：将排列与组合进行类比，帮助学生理解它们之间的联系和区别。 2.教学手段 (1)多媒体教学：利用PPT等多媒体资源，展示组合数公式的推导。 (2)互动教学：鼓励学生提问、讨论和分享自己的见解。教师可以设置一些小组的活动，让学生在互动中能够运用组合数解决实际问题。 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境： 高考不分文理后，思想政治，历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，考生可以从中任选取3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？ （1） 小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ （2）小张要在3所大学中选择2所作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 教师：这就是我们今天要学习的组合与组合数，就让我们带着问题开启今天的新课堂. 通过情境导入，引导学生明确本节课的学习任务. 知识精讲 知识点1：组合与组合数 知识点2：组合数公式 例题典析 问题：你能列举出上述两题中所有的选择方式吗？ 师生活动： 学生自主思考，利用列举法 ,教师引导学生把所有可能都列出来,设3所学校分别为A，B，C，那么 问题（1）的所有情况：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(B，C)，(C，B). 问题（2）的所有情况：(A，B)，(A，C)，(B，C). 教师追问：这两个问题的区别在哪里？你能看出这两个问题之间有什么关联吗？ 学生回答： （1）选出的学校是要排列顺序的，而（2）选出的学校不需要排列顺序. 我们发现（1）中的事情，可以分成两步来完成： 第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校； 第二步，将选出的两所学校做全排列（共有种方法）， 因为问题（1）的答案是，所以如果设问题（2）的答案是x，那么根据上述分析和分步乘法计数原理可知= x，从而 x= =3. 教师讲解： 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数.用符号表示. 我们现在能看出上述问题（2）实际就是求组合数，也就是= =3 问题：排列与组合之间有哪些区别与联系呢？ 预设答案： ①共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象. ②不同点：排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关. 只有两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合. 问题：判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1) 设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个? (2) 某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票,多少种票价? (3) 元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,传递新年的祝福,贺年卡共有多少张? 预设答案： (1) 因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题. (2) 因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. (3) 甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题. 师生活动： （1） 教师提问：你能列举出我们实际生活中关于组合数的情况吗？ （2） 学生小组为单位讨论，说出自己的想法. 例如：从15名学生中选择5人去参加学生代表大会，共有种不同的选择方法；从10名教师中指派6人去参加教学交流，有种不同的指派方法等等. （3）教师追问：依据求组合的方法，如何求组合数？ （4）教师与学生共同分析，可以按 “先选后排”分两步完成： 第一步，先从n个不同对象取出m个，是组合问题，方法有种； 第二步，将选出的m个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理，得， 所以 这就是组合数公式. 问题：现在你是否能解答出情景导入中的问题了呢？ 预设答案：从6大科目中任选取3科，那么选考的组合方式一共有 =＝20(种). 问题：由组合数公式，分别取m=0, m=1, m=n,我们能得到？ 预设答案： 1； 1 1. 计算： （1）； （2） 【师生活动】 学生根据组合数公式对问题进行分析，教师出示解题过程. 【解析】 （1） （2） 2.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． ①现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ ②现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 【师生活动】 学生首先要判断是不是组合问题，再根据分步乘法计数原理得出答案，教师讲解. 【解析】 ①从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，因此不同的选法有=＝45(种)． ②从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法＝90(种)． 3.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件中,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加. 【师生活动】 学生首先要判断它是不是组合问题，再结合具体问题具体分析，教师对学生的答案进行点评. 【解析】 (1)=792种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126种不同的选法. 通过问题情境中的问题，学生具体分析，教师引导学生培养转化思想，并明确组合与组合数的定义与表示。 教师引导学生依据求组合的方法求出组合数，能通过组合数解答组合实际应用问题. 通过例题，引导学生发现并关注运算问题，养成严谨的学习习惯，提升逻辑推理、数学运算的数学学科素养。 课堂检测 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 学会用组合数公式进行计算并能够解决一些简单的实际应用问题，提高解题能力. 课堂小结 梳理组合与组合数（第一课时）。 板书设计 5.3.1组合（第一课时） 一、组合的相关概念 1.组合：一般的从n个不同元素中取出m(mn，且m，n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2.相同组合：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。 二、排列与组合的联系与区别 1.共同点：两者都是从n个不同元素中取出m（m）个元素。 2.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。 三、题型 1.组合的有关概念 2.简单的组合问题 四、总结 与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题。 教学设计反思 高中数学中的组合与组合数是一个非常重要的概念，在教学这一概念时，教师需要考虑如何让学生更好地理解和运用，同时也要注意一些可能存在的教学反思点，以下是一些建议： 概念理解和直觉建立：组合与组合数的概念对于学生来说可能比较抽象，教师可以通过生动的例子和实际问题帮助学生建立直观的认识。例如，通过抽象问题和日常生活中的例子展示组合数的应用，让学生更容易理解和接受这一概念。 练习设计和巩固：在教学过程中，要确保学生有足够的练习机会来巩固的应用。设计多样化的练习题目，涵盖不同难度和类型的问题，帮助学生真正掌握这一概念。 联系实际问题：将组合数与实际生活和其他学科内容联系起来，可以增加学生对这一概念的兴趣和理解。例如，可以通过讨论排列组合问题在生活中的应用，引导学生思考如何解决实际问题。 引导学生思考：在教学中，不仅要告诉学生如何应用，还要引导他们思考问题背后的逻辑和原理。通过提出开放性问题和让学生自己发现规律，培养其独立思考和解决问题的能力。 反馈和纠正：及时给予学生反馈，帮助他们发现和纠正错误。通过批改作业、课堂讨论等方式，指导学生正确理解和应用组合数。 总的来说，高中数学组合与组合数的教学需要注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，同时要注重概念的理解和运用。通过生动有趣的教学方式和多样化的练习设计，可以帮助学生更好地掌握和运用这一重要概念。 学科网（北京）股份有限公司 $