第三讲 全等三角形课件 2025-2026学年 浙教版（2024）八年级数学上册专题复习培优

第三讲 全等三角形 1. 能够完全重合的两个三角形全等，全等三角形对应边相等、对应 角相等。 2. 三角形全等的条件有：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA （角边角）、AAS（角角边）。 3. 角平分线上的点到角两边的距离相等，线段中垂线上的点到线段 两端的距离相等。 重点分析： 难点分析： 1. 找全等三角形的关键在于确定对应边、对应角，找对应边、对应 角常用的方法有：公共边或公共角一般是对应边或角。对顶角、角平分 线、直角等得到的等角一般是对应角。最大（或最小）的边或角是对应 边或角。对应边的夹角是对应角，对应角的夹边是对应边。书写全等时 顶点字母要对应，便于我们找对应的边和角。 2. 注意边边角（两边及其中一边的对角对应相等）不能判定两个三 角形全等，这是本节内容的易错点。 3. 注意借助常见的全等基本图形以及对称、平移、旋转等变换来确 定图形中的全等三角形。 　【安顺】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点 O，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD （　　）。 A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 　欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理SSS，SAS，ASA，AAS添加条件，逐一证明即可。 　已知AB=AC，∠A为公共角，如果添加∠B=∠C，那么利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；如果添加AD=AE，那么利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；如果添加BD=CE，根据等量关系可得AD=AE，那么利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；如果添加BE=CD，因为SSA不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件。故选D。 　本题主要考查了学生对全等三角形判定定理的理解和掌 握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理。 　 注意三角形全等判定中没有SSA定理，即两个三角形如果 有两边和一个角相等，并且等角不是两条等边的夹角，那么这两个三角 形不一定全等。 　如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE，求证：∠ACB=∠AFB。 　先得出△ABC≌△DEB（SSS），故∠ACB=∠EBD，再根据∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，由此可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出结论。 　在△ABC和△DEB中，∵ ∴△ABC≌△DEB（SSS）。∴∠ACB=∠DBE。 ∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB=∠ACB+∠EBD。 ∴∠AFB=2∠ACB，即∠ACB=∠AFB。 　本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的 判定定理并能利用SSS定理证明两个三角形全等是解答本题的关键。 　本题的难点与易错点是根据外角的性质找到∠AFB与∠ACB 的关系，并且能根据全等三角形的性质判断△BFC的两个内角相等。 　如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB。 （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举。 （2）求证：CF=EF。 　（1）可以从条件出发，根据图形特征，利用全等三角形 知识进行探索。（2）实际上就是要求证明（1）中列举出来的与CF，EF 有关的那组全等三角形。 　（1）△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF。 （2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠CAB=∠EAD。 ∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB，即∠CAD=∠EAB。 ∴△ACD≌△AEB。∴CD=EB，∠ADC=∠ABE。 又∵∠ADE=∠ABC，∴∠CDF=∠EBF。 又∵∠DFC=∠BFE，∴△CDF≌△EBF。∴CF=EF。 　第（1）题属于结论探究题型，难在要求一一列举出其中 的全等三角形，蕴含多解且要求全部找出来，需要具备很好的分辨图形 能力和逻辑分析能力。 　找全等三角形时，结合图形的轴对称性找可以避免遗漏。 　在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥ MN于点D，BE ⊥ MN于点E。 （1）当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时，求证：DE=AD+BE。 （2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点） 时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写 出其关系式。 　（1）证明△ACD≌△CBE得到AD=CE，CD=BE，从而得到DE=AD+BE。（2）符合题意的情况有两种，分别画出图形，利用同样的方法证明△ACD≌△CBE，从而得到DE=AD-BE或DE=BE-AD。 　（1）∵AD ⊥ MN，BE ⊥ MN，∴∠ADC=∠CEB=90°。 ∴∠ACD+∠CAD=90°。 又∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°。 ∴∠CAD=∠BCE。 又∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）。 ∴AD=CE，CD=BE。∴DE=CD+CE=AD+BE。 同（1）可得△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE。 ∴图1中，DE=AD-BE；图2中，DE=BE-AD。 （2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点）时，相 应的图形如图1、图2。 　 本题是直线的旋转问题，解题的关键是明确基本图形 △ABC的始终不变性，而在直线MN旋转的过程中，我们可以探求变中相对不变的图形。利用图形中AC=BC的特征作为解题的切入点，很容易发现在变化过程中△ACD与△CBE始终全等，这点为“变”中“不变”，可以“动”中思“静”，也是求解该类题的核心。 　将线段和差关系转化为证明线段相等时，要注意线段对应 关系不要混淆。 　（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD。求证：EF=BE+DF。 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。 　（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换，延长 EB到点G，使BG=DF，连结AG。由作图可知EG=BE+DF，于是只要证明△AEG≌△AEF即可证明EF=EG=BE+DF。（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过在证明△ABG和△ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的知识点是同角的补角相等，其他的过程都一样，因此与（1）的结果完全一样。（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换。在BE上截取BG，使BG=DF，连结AG。根据（1）的证法，我们可以得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF，所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的。 　（1）如图4，延长EB到点G，使BG=DF，连结AG。 在△ABG和△ADF中，∵∴△ABG≌△ADF（SAS）。 ∴AG=AF，∠1=∠2。∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD。 ∴∠GAE=∠EAF。在△AEG和△AEF中，∵∴△AEG≌△AEF （SAS）。∴EG=EF。∵EG=BE+BG=BE+DF，∴EF=BE+DF。 （3）结论EF=BE+DF不成立，应该是EF=BE-DF。 证明：如图5，在BE上截取BG，使BG=DF，连结AG。 （2）（1）中的结论EF=BE+DF仍然成立。 ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF。 在△ABG和△ADF中，∵ ∴△ABG≌△ADF（SAS）。 ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF。 ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD，∠GAE=∠BAD-∠BAG-∠EAD=∠BAD-∠DAF-∠EAD=∠BAD-∠EAF=∠BAD。∴∠GAE=∠EAF。 在△AEG和△AEF中，∵∴△AEG≌△AEF（SAS）。 ∴EG=EF。∵EG=BE-BG，∴EF=BE-DF。 　本题考查了三角形全等的判定和性质。本题中通过全等三 角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通 过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形。 　题中利用构造全等三角形实现“截长补短”的等量转换，要 注意有效利用题中的条件添加辅助线构造全等。 1. 尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为 半径画弧分别交OA，OB于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　D　）。 A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS D 2. 如图，在边长为1的正方形网格中标有A，B，C，D，E，F六个格点， 根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　C　）。 A. △ACF B. △ACE C. △ABD D. △CEF C 3. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7 cm，CF=4 cm，则 BD= cm。  3 4. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连结BD，BD ⊥ CD，∠ADB=∠C。若点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 。  4 5. 如图，取一张长方形纸片ABCD，将其折叠，使点D与点B重合，EF为 折痕，观察图形，图中有全等的三角形吗？如果有，请找出全等的三角 形并说明理由；如果没有，请说明理由。 【答案】有，△ABE≌△GBF，理由略。 6. 如图，△ABC≌△ADE，∠EAB=125°，∠CAD=25°，求∠BFD的度数。 【答案】∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD=∠CAB，∠B=∠D。 ∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD。∴∠EAC=∠DAB。∵∠EAB=125°，∠CAD=25°， ∴∠DAB=∠EAC=×（125°-25°）=50°。 ∵∠B=∠D，∠FGD=∠BGA，∠D+∠BFD+∠FGD=180°， ∠B+∠DAB+∠AGB=180°，∴∠BFD=∠DAB=50°。 7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE ⊥ AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G。求证： （1）DF∥BC。 【答案】（1）∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAF。 在△ACF和△ADF中，∵，∴△ACF≌△ADF（SAS）。∴∠ACF=∠ADF。∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°。∴∠ACF=∠B。∴∠ADF=∠B。∴DF∥BC。 （2）FG=FE。 【答案】（2）∵DF∥BC，BC⊥AC，∴FG⊥AC。∵FE⊥AB，AF平分∠CAB，∴FG=FE。 8. 如图，已知AB=AC，AF=AE，∠EAF=∠BAC，点C，D，E，F共线。下列结论中，正确的是（　A　）。 ①△AFB≌△AEC；②BF=CE；③∠BFC=∠EAF；④AB=BC。 A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ A 9. 如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6。延长BC到点E，使CE=2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（s），当t的值为（　C　）时，△ABP和△DCE全等。 A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 C 10. 如图，CA ⊥ AB，垂足为A，AB=24 cm，AC=12 cm，射线BM ⊥ AB，垂足为B，一动点E从点A出发以3 cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着点E运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 s时，△DEB与△BCA全等。  0，4，12，16 11. 如图，∠ABC=90°，∠DBE=90°，AB=BC，BD=BE，连结AE，CD，AE所在的直线交CD于点F，连结BF。 （1）如图1，连结AD，EC，求证：AD=EC。 【答案】（1）∵∠ABC=90°，∠DBE=90°，∴∠ABD=∠CBE。又∵AB=BC，BD=BE，∴△ABD≌△CBE。∴AD=EC。 （2）如图2，若BF ⊥ AF，求证：F为CD的中点。 【答案】（2）如图，作CP⊥BF交BF的延长线于点P，作DN⊥BF于点N。∵∠ABC=90°，BF⊥AF，∴∠ABF+∠A=90°，∠ABF+∠PBC=90°。 ∴∠A=∠PBC。∵AB=BC，∠P=∠AFB=90°，∴△ABF≌△BCP。∴BF=CP。∵∠DBN+∠EBF=90°，∠DBN+∠BDN=90°，∴∠BDN=∠EBF。∵∠DNB=∠BFE=90°，BD=BE，∴△DNB≌△BFE。 ∴DN=BF=CP。∵∠DNF=∠CPF，∠NFD=∠PFC，∴△NFD≌△PFC。∴DF=FC，即F是CD的中点。 12. 如图，已知△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点。 （1）如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动。 ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。 【答案】（1）①∵t=1，∴BP=CQ=3×1=3。∵AB=10，点D为AB的中点，∴BD=5。又∵PC=BC-BP，BC=8，∴PC=8-3=5。∴PC=BD。又∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BPD≌△CQP。 ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少 时，能够使△BPD与△CQP全等？ 【答案】②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ。又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=4，CQ=BD=5。∴点P，Q运动的时间t=（cm/s）。 （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都沿三边逆时针运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇。 【答案】（2）设经过x（s）后点P与点Q第一次相遇。由题意得 s点P与点Q第一次在AB边上相遇。 1. 【成都】如图，∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　C　）。 A. ∠A=∠D B. ∠ACB=∠DBC C. AC=DB D. AB=DC C 2. 【随州】如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　D　）。 A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧 B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧 C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧 D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧 D 3. 【荆州】已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线。作法：①以点O为圆 心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射 线OC，射线OC即为所求。上述作图用到了全等三角形的判定方法，这 个方法是 。  SSS 4. 【陕西】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连结AC。若AC=6，则四边形ABCD的面积为 。  18 5. 【永州】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC。延长AD到点E，使DE=AB。求证： （1）∠ABC=∠EDC。 【答案】（1）在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°。∴∠B+∠ADC=180°。又∵∠EDC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠EDC。 （2）△ABC≌△EDC。 【答案】（2）连结AC，由（1）证得∠ABC=∠EDC。在△ABC和△EDC中，∵∴△ABC≌△EDC（SAS）。 1. 如图，在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，∠BOC的平分线交BC于点F，则下列说法中正确的是 ⁠ 。  ①③④ ①∠BOE=60°； ②∠ABD=∠ACE； ③OE=OD； ④BC=BE+CD。 2. 如图，AM是△ABC的中线，∠DAM=∠BAM，CD∥AB。求证： AB=AD+CD。 【答案】如图，延长AM，与CD的延长线相交于点N。 ∵CD∥AB，∴∠BAM=∠N。在△ABM和△NCM中， ∵∴△ABM≌△NCM（AAS）。∴AB=NC。∵∠BAM=∠N，∠DAM=∠BAM，∴∠DAM=∠N。∴AD=ND。∴AB=NC=AD+CD。 3. 在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连结DE，易证AB=AC+CD。 （1）如图2，当∠C ≠ 90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想。 【答案】（1）猜想：AB=AC+CD。 （2）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明。 【答案】（2）猜想：AB+AC=CD。证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连结ED。∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD。在△EAD和△CAD中，∵∴△EAD≌△CAD。∴ED=CD，∠AED=∠ACD。∴∠FED=∠ACB。又∵∠ACB=2∠B，∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B。∴EB=ED。∴EA+AB=EB=ED=CD。∴AC+AB=CD。 $