精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期数学大练习（13）

2024-2025学年上学期高二年级 数学学科大练习（13） 考试时间：90分钟 满分：120分 一、单项选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将抛物线方程化成标准方程，列出，解出，再利用抛物线的焦点到准线的距离为得解. 【详解】，抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：A. 2. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. 8 C. 2或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】通过焦点位置讨论求解即可. 【详解】由条件可知， 当焦点在轴时，可得：， 得：， 所以离心率的值为； 当焦点在轴时，可得：， 得：， 所以离心率的值为； 故选：A 3. 已知双曲线C：(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 A. B. C. a D. b 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即得. 【详解】由题可得圆的半径是双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离， 所以圆的半径为：. 故选：D. 4. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由抛物线方程得到其准线方程为，再结合可得的坐标，设等轴双曲线的方程为，将其中一个代入方程即可求出，进而求解即可. 【详解】由抛物线，其准线方程为， 因为，所以，， 设等轴双曲线的方程为， 则，即，则等轴双曲线的方程为， 则，即的实轴长为. 故选：D 5. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条渐近线夹角是，可知渐近线的倾斜角为或，再根据得，最后利用双曲线的基本量运算求解离心率即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角是， 所以或. 又，所以，所以，所以， 所以双曲线C的离心率为. 故选：A 6. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（　　） A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点， 若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合． 故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1） 代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0 ∵A、B两点的横坐标之和等于5， ∴=5，k2=，则这样的直线有且仅有两条，故选B． 考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系． 点评：常见题型，联立方程组，整理得一元二次方程，运用根的判别式求参数的范围，是常规解法. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用双曲线的几何性质和 的几何性质即可求解. 【详解】 如图，由双曲线的几何性质可知 ，由条件可知 ， ， 在 中， ，即 ， ； 当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即 ， ， 由双曲线的几何性质知 ，所以离心率的取值范围是 ； 故选：C. 8. 已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：A． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线过点，焦点为F，则（ ） A. 点M到焦点的距离为3 B. 直线MF与x轴垂直 C. 直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切 D. 过点M与C相切的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出，由抛物线的定义即可判断A、C选项；B选项由坐标即可判断；D选项易知点M不在直线上即可判断. 【详解】由题意知：，解得，即，焦点，准线. 由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于到准线的距离为，故A正确； 由焦点知直线MF不与x轴垂直，故B错误； 如图，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，易知， 故以弦MN为直径的圆与C的准线相切，C正确； 由知M不在直线上，故D错误. 故选：AC. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若直线与双曲线C有交点，则 C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为 D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 【答案】AC 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断. 【详解】双曲线，则， 对于A，C的渐近线方程为，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为可知， 若直线与双曲线C有交点，则，B错误； 对于C，设点，则， 点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确； 对于D，易得，，设，则， 所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误． 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（    ） A. 当点的坐标为时， B. 当点的坐标为时，直线的斜率为 C. 存在点，使得为钝角 D. 存在点，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，可得出椭圆在点处的切线方程，设点，写出直线的方程，逐项判断可得出合适的选项. 【详解】设点、， 先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为， 由题意可得， 联立可得，即， 即方程组只有唯一解， 因此，椭圆在其上一点处的切线方程为， 同理可知，椭圆在其上一点处的切线方程为， 因为点为直线上一点，设点， 则有，即， 所以，点的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 对于A选项，当点的坐标为， 即，此时直线的方程为， 由可得，即点， 此时，A对； 对于B选项，当的坐标为时， 即时，此时，直线的斜率为，B错； 对于C选项，联立可得， ， 由韦达定理可得，， ，同理， 所以， ， 因此，恒为锐角，C错； 对于D选项，若点为椭圆的上顶点，则轴，此时， 所以，点不是椭圆的上顶点，线段的中点为， 所以，，， 存在点，使得，则，则， 化简可得，因为，， 所以，，即， 因为，解得， 因此，存在点，使得，D对. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，根据题意，先求得，再由椭圆的定义，求得，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 13. M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 14. 如图，已知直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线准线上的投影分别是，若，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到为中点，再设出，得到，分别代入抛物线方程即可得到，再求斜率即可. 【详解】因为直线恒过，抛物线的准线为， 设直线与准线交于，如图所示： 因为，所以为中点. 设，则，. 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点,,直线相交于点,且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程; （2）若点,求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设,由题意,化简即可得到点的轨迹方程； （2）由（1）中的方程，利用双曲线的定义，转化为,判定直线与双曲线的交点即为时，得到最小值 【小问1详解】 设,则,且， 因为,即,且，整理得， 所以点的轨迹方程为； 【小问2详解】 由（1）知,点的轨迹方程是双曲线， 所以， 所以为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为, 因为在第一象限，所以若最小,则在双曲线的右支上， 由双曲线的定义知,则, 所以， 因为两点之间线段最短,所以连接,则与双曲线的交点即为， 所以， 所以的最小值为， 16. 已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2） 设点,,直线的方程为：, 联立,得,所以,所以 因为, 即, 即 所以, 所以或 当时,直线的方程：过定点,舍去； 当时,直线的方程：过定点, 所以直线过定点． 【解析】 【分析】(1) 设，确定中点，由半径列出化简即可； (2) 设点,,直线的方程为：,联立直线与抛物线的方程,求得韦达定理代入求得或,再分析定点即可. 【小问1详解】 设，则中点， 以为直径的圆半径为：， 因为以为直径的圆与轴相切， 所以， 化简可得：， 即曲线的轨迹方程是； 【小问2详解】 略 17. 已知抛物线的焦点为．点在上， ． （1）求; （2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1) ；（2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）由题知 ①，由焦半径公式得 ②，两式联立即可求得答案； （2）先讨论当直线与轴平行时得，再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时，证明，再设方程，联立方程，利用向量方法求即可. 【详解】解：（1）因为点在上，所以 ①， 因为，所以由焦半径公式得 ②， 由①②解得 所以. （2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为， 当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故. 当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明. 要证明，只需证明， 只需证，即， 设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为， 联立方程得，设， 则，所以，， 联立方程得， 所以， 所以， 所以，即， 所以. 综上，为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期高二年级 数学学科大练习（13） 考试时间：90分钟 满分：120分 一、单项选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. 8 C. 2或 D. 或 3. 已知双曲线C：(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 A. B. C. a D. b 4. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（　　） A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线过点，焦点为F，则（ ） A. 点M到焦点的距离为3 B. 直线MF与x轴垂直 C. 直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切 D. 过点M与C相切的直线方程为 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若直线与双曲线C有交点，则 C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为 D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 11. 在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（    ） A. 当点的坐标为时， B. 当点的坐标为时，直线的斜率为 C. 存在点，使得为钝角 D. 存在点，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为___________ 13. M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 14. 如图，已知直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线准线上的投影分别是，若，则的值是___________． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点,,直线相交于点,且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程; （2）若点,求的最小值. 16. 已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 17. 已知抛物线的焦点为．点在上， ． （1）求; （2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $