6.1.3向量的减法6.1.4数乘向量 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

课题 6.1.3向量的减法 6.1.4数乘向量 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第二册 章节 第六章第一部分第三小节第四小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 1、 【教学目标】 2、 1. 了解相反向量的概念； 3、 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 4、 3. 了解数乘向量的定义，掌握并理解其几何意义； 5、 4. 通过数乘向量的学习会判断两向量平行及三点共线问题. 6、 【教学重难点】 教学重点：掌握向量的减法；了解数乘向量的定义，掌握并理解其几何意义； 教学难点：会判断两向量平行及三点共线问题. 教学方法和手段 教学方法：启发式教学，讲授法、讨论法和练习法 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入 新课 创设问题情境：两个向量能否进行减法运算？如何定义两个向量的减法运算？ 教师提问：已知向量是向量与向量x的和, 如图所示,你能作出表示向量x的有向线段吗? （学生以小组单位讨论交流，通过上一节向量加法的学习，教师引导学生通过类比实数运算中减法是加法的逆运算从而由向量加法来定义减法，教师给出情境中的思考问题，让学生自主完成，教师提示学生这里用到了向量加法的三角形法则） 通过提问，让学生能够自主探索，从而根据减法是加法的逆运算得出向量的减法，引出本节课题。 新知 讲解 知识点1：向量的减法 知识点2：相反向量 知识点3：数乘向量 教师讲解： 一般地,平面上任意给定两个向量a,b, 如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作： x=a-b 不难看出,在平面内任取一点O,作,作出向量,注意到 ,因此向量就是向量a与b的差（也称为向量a与b的差向量),即 （教师通过板书作图帮助学生理解两个向量的差，并带领学生分析的代数特点，之后让学生自己举例加深理解） 教师讲解：当 a 与 b 不共线时，求 a -b 的差可用下图表示，此时向量 a ，b ， a - b 正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则。 （教师结合图形演示两个向量减法的三角形法则，并要求学生自己作图，感受作图手法和步骤） 教师讲解：类似于 3 的相反数是- 3，给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量， 向量 a 的相反向量记作- a.因此，的相反向量是，而且.因为零向量的始点与终点相同，所以-0 = 0. 不难看出，任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即 a +（- a）= 0，. 如同在数的运算中，减法可以看成加法的逆运算，即 x-y = x+（-y）一样，不难看出，向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算，即 a-b = a+（-b），也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量.这一结论也可以从下图中看出来. 【例1】已知平行四边形 ABCD 中， a，b，用 a，b 分别表示向量，. 【解析】如图所示，由向量加法的平行四边形法则可知 a + b. 按照减法的定义可知a-b. 【例2】已知，求的取值范围 . 【解析】当 a 与 b 不共线时，由向量减法的三角形法则可知， 正好是一个三角形的三条边，从而， 因此. 当 a 与 b 共线时，不难看出：如果a 与 b方向相同，有；如果a 与 b方向相反，有，综上有. 教师提问：我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量. 特别地，给定一个向量 a，请大家思考： （1）3 个 a 相加 a + a + a 的结果是向量吗？ （2） 结果向量的模是多少？方向如何？与向量a 的模及方向有什么关系？ （3） 可否类比实数乘法的定义方法，把 a + a + a 进行简写？ 学生交流讨论，给出回答：3 个 a 相加 a + a + a 的结果是一个模为、方向与 a 相同的向量，类比实数乘法的定义方法， a + a + a 可以简写为3a . （教师在学生回答的基础上给出图示，对数乘向量进一步讲解，并对学生进行追问，引导学生根据实例归纳出数乘向量的定义） 教师追问：你能根据上述实例，给出实数 λ 与任意一个向量 a 的乘积 λa 的定义吗？ 师生归纳： 一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积是一个向量，记作 λa，其中： （1）当λ≠0且 a≠ 0 时，λa 的模为λ|a|，而且 λa 的方向如下： ① 当 λ＞0 时，与 a 的方向相同； ② 当 λ＜0 时，与 a 的方向相反. （2）当 λ = 0 或 a = 0 时，λa= 0. 上述实数 λ 与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量. 数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积，即-a = （-1）a. 当 λ 和 μ 都是实数，且 a 是向量时： μa是向量，λ（μa） 也是向量； λμ 是实数， 但 （λμ ）a 是向量. 可以看出 λ（μa）=（λμ ）a. 【例3】已知a=3e，b=-2e，判断 a与 b 是否平行，并求|a|:|b|的值. 【解析】由b=-2e得e=b，代入a=3e得a=b，因此 a∥b，且|a|=|b|，即|a|:|b|=3:2. 教师补充：利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形.例如： 当时，A，B，C 三点一定共线，而且点 B 为线段 AC 的中点；当时，M，N，O 三点共线，而且 N 为线段 OM 的一个三等分点，如图所示： 一般地，如果存在实数 λ，使得，则与平行且有公共点 A，从而 A，B，C 三点一定共线. 【例4】已知= - e，=5e，判断 A，B，C 三点是否共线.如果共线，求出AB:AC. 【解析】由已知可得= -5,因此 A，B，C 三点共线，且AC=5AB，即AB:AC=1:5. 运用解方程的思想定义向量的减法。 通过图形演示直观展示向量减法的三角形法则，使学生理解更深刻。 从长度和方向两个方面介绍相反向量。 运用向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则给出两个向量的和向量与差向量的关系。 通过问题串的形式引导学生自行归纳数乘向量的定义，锻炼学生的概括能力. 旨在说明，判断两个向量是否平行时，可以考虑其中一个向量是否能写成数与另一个向量的乘积。 当堂 达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 考察学生对向量减法和数乘的理解和运算，巩固所学内容。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括. 回顾本节课所学重点内容，加深印象。 板书设计 标题 6.1.3 向量的减法 6.1.4 数乘向量 问题导入 新课讲解 知识点1：向量的减法 知识点2：相反向量 知识点3：数乘向量 例题精讲 当堂练习 课堂小结 教学设计反思 教师在课后应及时反思自己的上课表现，总结优点与不足，思考课堂上的学生反馈，学生是否充分掌握知识，是否进行了充足的讨论。同时，也要跟踪学生的作业完成情况和正确程度。根据学生的各项反馈及时调整自己的教学方式和教学节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $