专题2.8 直角三角形全等的判定（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

专题2.8 直角三角形全等的判定 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角平分线的定义 1 知识点梳理02：角平分线的性质与判定 1 优选题型 考点讲练 3 考点1 用HL证全等 3 考点2 全等的性质和HL综合 5 考点3 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 6 考点4 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 7 考点5 角平分线的判定定理 9 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 17 知识点梳理01：角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 知识点梳理02：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 考点1 用HL证全等 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 【变式训练1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究． 【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为是直角、钝角、锐角三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等． (2)第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）． 如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）． (3)第三种情况：当是钝角时，≌． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点2 全等的性质和HL综合 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北·期末）如图，在中，是过点A的直线，于D，于点E． (1)若B、C在的同侧（如图所示）且．求证：； (2)若B、C在的两侧（如图所示），其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖北·阶段练习）如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 考点3 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式训练2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 考点4 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【变式训练2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 考点5 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：点在的平分线上． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段上时，求证：平分： (3)如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在与中，交于点，，，，、交于点，连接．过点作于点于点． (1)求证：； (2)若，求的度数．（用含的式子表示） 1．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 3．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．    基础夯实 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为 ． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，直尺乙靠在直尺甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求 的长． 8．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，已知，点P在垂直平分线上，，，垂足分别为、，若，求证：点P在的平分线上． 9．（25-26八年级上·山东·阶段练习）教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容． 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 通过判定两个三角形全等，可以得到： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明． (2)定理应用：如右图，，是的中点，平分．求证：平分． 10．（25-26八年级上·四川·阶段练习）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在线段上，其余条件不变，求证：． 培优拔高 11．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 14．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，平分，于E．则下列结论：①，②，③，④平分，⑤，其中正确的是 ． 15．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 16．（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为 17．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，的外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，用直角三角尺摆放两次可以画出的角平分线，图中是第一次摆放的位置，请用尺规作出该直角三角尺第二次摆放的位置，再用没有刻度的直尺画出的角平分线，并说明这种方法的正确性． 19．（21-22七年级下·湖南·期末）（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图，为上一点，连接、，，若，，求线段的长． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 直角三角形全等的判定 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角平分线的定义 1 知识点梳理02：角平分线的性质与判定 1 优选题型 考点讲练 3 考点1 用HL证全等 3 考点2 全等的性质和HL综合 8 考点3 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 12 考点4 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 17 考点5 角平分线的判定定理 23 中考真题 实战演练 28 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 42 知识点梳理01：角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 知识点梳理02：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 考点1 用HL证全等 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定，灵活证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得到，再利用判定出得到，即可解答； （2）灵活运用全等三角形的判定方法证全等即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：全等三角形有；；；，理由如下： ∵，， ∴是边上的高，是边上的高， 由（1）可得， ∴，，，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究． 【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为是直角、钝角、锐角三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等． (2)第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）． 如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）． (3)第三种情况：当是钝角时，≌． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程． 【答案】(1)不一定，作图见详解 (2)一定 (3)证明见详解 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及尺规作图及邻补角定义等知识，读懂题意，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理即可判定，再由尺规作图，以点为圆心、为半径，作交边于点即可得到答案； （2）当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），直接结合条件判定即可得到答案； （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示，先判定，得到；进而判定，得到，从而得证． 【规范解答】（1）解：根据三角形全等的判定方法：“”， 在和中，，，，和不一定全等； 如图所示： 则即为所求； 故答案为：不一定； （2）解：当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），如图所示： 在和中，，，，由判定，可知和一定全等， 故答案为：一定； （3）解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示： ， 由，可得， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为7 【思路引导】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，而，即可根据“”证明，得； （2）由，，根据“”证明，得，而，，由，得，求得． 【规范解答】（1）证明：平分，于点，交的延长线于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中 ， ， ， ，且，， ， ， ， 的长为7． 考点2 全等的性质和HL综合 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北·期末）如图，在中，是过点A的直线，于D，于点E． (1)若B、C在的同侧（如图所示）且．求证：； (2)若B、C在的两侧（如图所示），其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明是解题的关键. （1）通过证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证； （2）用和（1）相同的方法证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． （2）．理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖北·阶段练习）如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质定理，正确作出辅助线为解题关键 （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）延长交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明 【规范解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长交于点G， ， ，又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 考点3 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由证明，可得结论； （2）由和都是等边三角形，则，得到，证明，得到，进而求解； （3）在上截，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明是等边三角形，可得，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：、、之间存在的数量关系是：．理由如下： 如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：在上截，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【规范解答】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 考点4 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【思路引导】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【变式训练2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 考点5 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段的关系和直角，证明，得出，然后利用角平分线的判定定理进行证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段上时，求证：平分： (3)如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】（1）由题意易得，然后根据直角三角形的性质可得，进而可证，最后问题可求证； （2）过点C分别作于点H，于点K，根据题意易证，则有．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M．同（1）（2）问，，由题意易证，则有，然后根据等积法可进行求解． 【规范解答】（1）证明：如图1， ∵点D是射线上一点，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图2，过点C分别作于点H，于点K， ∴． 同（1），． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴点C在的平分线上， 即平分． （3）解：如图3，过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M． 同（1）（2）问，． ∵D是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在与中，交于点，，，，、交于点，连接．过点作于点于点． (1)求证：； (2)若，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及等面积法．证明出是解决此题的关键． （1）利用，证明，进而根据三角形的面积公式得出，即可得证． （2）由，可得出，进而求得，证明平分，则可求得的度数． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ， 又由（1）知， 又于点于点， 平分， ． 1．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【规范解答】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【思路引导】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【规范解答】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 3．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【规范解答】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 4．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】根据题意，用AAS证明． 【规范解答】证明：∵， ∴为的角平分线， 又∵点P在上，，， ∴ 又∵（公共边）， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．    【答案】70 【思路引导】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°. 【规范解答】∵∠ABC=90°，AB=AC， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°， 故答案为70. 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 基础夯实 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【规范解答】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【规范解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则． 【规范解答】解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】先求出平分，再结合已知的度数求出的度数． 【规范解答】解：∵,，且， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，直尺乙靠在直尺甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，过点P作于F，可证明，，据此求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点P作于F，则， ∵两把直尺完全相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ． 【答案】/104度 【思路引导】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理应用，熟练掌握角平分线的判定定理，是解题的关键．根据点P到三边，，的距离，得出、是、的角平分线，然后根据三角形内角和定理，进行求解即可． 【规范解答】解：∵点P到三边，，的距离， ∴、是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容即可求解． （1）由得，根据即可求证； （2）根据得，，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵． ∴； （2）解：∵； ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，已知，点P在垂直平分线上，，，垂足分别为、，若，求证：点P在的平分线上． 【答案】见详解 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 连接、，证明，得，证出点P在的平分线上． 【规范解答】证明：连接、， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴点在的平分线上． 9．（25-26八年级上·山东·阶段练习）教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容． 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 通过判定两个三角形全等，可以得到： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明． (2)定理应用：如右图，，是的中点，平分．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定，可以得到，即可求解； （2）过点作于，可以得到，进而证明，根据角平分线的性质即可求解 【规范解答】（1）已知：，，垂足分别是、，且． 求证：平分． 证明：，． ． 在和中， ， ． ， 是的平分线． （2）解：如图，过点作于， 平分，， ∴， 是的中点，   ∴， ∴． 又∵，   ∴， ∵， 是的平分线． 10．（25-26八年级上·四川·阶段练习）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在线段上，其余条件不变，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． 培优拔高 11．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【规范解答】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【规范解答】解：如图： ①在和中， ， ∴，故本选项正确； ②在和中， ， ∴，故本选项正确； ③在和中， ， ∴，故本选项正确； ④∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴，故本选项正确； ∴能判定的条件为：①②③④， 答案：D． 13．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选D． 14．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，平分，于E．则下列结论：①，②，③，④平分，⑤，其中正确的是 ． 【答案】①②③④⑤ 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据全等三角形的性质及直角三角形的性质可进行求解． 【规范解答】解：∵平分，，， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，平分，故②④正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴；故⑤正确； 故答案为①②③④⑤． 15．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【答案】/55度 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 16．（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为 【答案】6 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立线段之间的关系． 过点作，利用角平分线的性质得到，再通过“”分别证明 和，结合线段和差关系推导出，进而求出的长． 【规范解答】如图，过点作于， ∵是的角平分线， 在和中， ， ， ， 在和中， 故答案为：6 17．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，的外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【规范解答】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ∵ ， 即， 解得． 18．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，用直角三角尺摆放两次可以画出的角平分线，图中是第一次摆放的位置，请用尺规作出该直角三角尺第二次摆放的位置，再用没有刻度的直尺画出的角平分线，并说明这种方法的正确性． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图：作一个与直角三角形全等的直角三角形，直角三角形全等的判定与性质等知识；作，使与点O重合，在射线上，且在的内部，延长交于点K，连接，则射线是的角平分线． 【规范解答】解：如图，为直角三角尺第二次摆放的位置，延长交于点K，连接，则射线是的角平分线． 由作法及已知得：， 由图知，， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． 19．（21-22七年级下·湖南·期末）（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质和判定定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据三角形内角和为180度求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形外角的性质得出，，再由角平分线的定义得出，进而求解即可； ②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质定理得出，再由角平分线的判定定理证明平分，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线相交于点F， ∴， ∴； （2）解：①在中，， 在中，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②作于E，于F，于G， ∵的平分线与内角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图，为上一点，连接、，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含度的直角三角形的性质，解本题的关键是构造全等三角形． （1）连接，根据折叠的性质可得，；根据等边三角形的性质可得，，通过角的等量代换以及边的等量代换，结合等边对等角可得出，得到，进而得证． （2）过点作于，作交的延长线于， 根据角平分线的性质可得， 证得， 得到，证明 ， 得到， 在中， 利用含的直角三角形的性质可得， 借助（1）的结论可得 ， 从而得到，代值计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接． 沿翻折至， ，． 为等边三角形， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ，即． （2）解：如图所示，过点作于，作交的延长线于， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $