专题2.7 探索勾股定理（知识梳理+30个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

专题2.7 探索勾股定理 （知识梳理+30个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 优选题型 考点讲练 3 考点1 用勾股定理解三角形 3 考点2 已知两点坐标求两点距离 6 考点3 勾股树（数）问题 8 考点4 以直角三角形三边为边长的图形面积 10 考点5 勾股定理与网格问题 11 考点6 勾股定理与折叠问题 13 考点7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 15 考点8 利用勾股定理证明线段平方关系 18 考点9 勾股定理的证明方法 21 考点10 以弦图为背景的计算题 24 考点11 用勾股定理构造图形解决问题 26 考点12 勾股定理与无理数 27 考点13 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 29 考点14 求旗杆高度（勾股定理的应用） 31 考点15 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 33 考点16 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 35 考点17 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 37 考点18 解决航海问题（勾股定理的应用） 39 考点19 求河宽（勾股定理的应用 41 考点20 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 44 考点21 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 46 考点22 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 48 考点23 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 51 考点24 判断三边能否构成直角三角形 53 考点25 图形上与已知两点构成直角三角形的点 54 考点26 在网格中判断直角三角形 58 考点27 利用勾股定理的逆定理求解 60 考点28 勾股定理逆定理的实际应用 63 考点29 勾股定理逆定理的拓展问题 64 考点30 求最短路径（勾股定理的应用） 67 中考真题 实战演练 69 难度分层 拔尖冲刺 74 基础夯实 74 培优拔高 81 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 考点1 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）． (1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度； (2)在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？ 【答案】(1)秋千绳索的长度为 (2)小丑甲相比点A最多升高 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理构建方程或算式． （1）设．在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）由题意，最大宽度为，根据勾股定理，求出，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，连接交于点D．设秋千绳索长为，则． 由对称性知，垂直平分， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：秋千绳索的长度为． （2）解：由题意可知： 最大宽度为， 此时， 在中，， ∴（m）， ∴（m）． 答：比点A最多升高． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）由，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 考点2 已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可化简成或． (1)若已知两点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，请求出该图形的面积． 【答案】(1) (2)9 (3) 【思路引导】本题考查勾股定理及其逆定理、两点坐标距离公式，理解两点坐标距离公式是解答的关键． （1）直接将两点坐标代入公式求解即可； （2）直接根据平行于轴时，两点间的距离公式求解即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得的值，再验证成立，进而利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后利用面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：因为点， 所以， 即两点间的距离是． （2）解：因为点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， 所以， 即两点间的距离是9． （3）解：因为一个三角形各顶点的坐标为， 所以，， ． 因为， 所以是直角三角形， 所以． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)13 (2)6 (3)等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状． 【规范解答】（1）解：∵、， ∴． 故答案为：13 （2）解：∵轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴． 故答案为：6 （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵、、， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 考点3 勾股树（数）问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ (2)根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． (3)继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】(1)7，24，25的股的算式是：，弦的算式是：； (2)成立，证明见解析 (3)股表示为，弦表示为 【思路引导】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【规范解答】（1）解：，； ，； ∴7，24，25的股的算式为：；弦的算式为：； （2）当n 为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，， 猜想它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股 弦； （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； … ∴m为勾，股表示为：；弦表示为：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【思路引导】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律． 根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【规范解答】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 考点4 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（   ） A．16 B．9 C．4 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出、及之间的关系是解答此题的关键．先根据勾股定理得出，可得，从而得出，再由，可得，求得，由勾股定理得出，再求解即可． 【规范解答】解：中，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 故选：B． 【变式训练】（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【规范解答】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 考点5 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图中画一条线段，使； (2)在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，实数的运算． （1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边即为； （2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； 由勾股定理，得：． （2）解：如图，即为所求； 由勾股定理，得， ∴， ∴为三边均为无理数的直角三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏·阶段练习）如图所示，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图． (1)在图（1）中画一个面积为5的正方形； (2)在图（2）中画，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【规范解答】（1）解：如图（1），正方形即为所作： （2）解：如图（2），即为所作． 考点6 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出后，根据折叠性质得，，由等边对等角推出，可证，再由勾股定理即可得解． 【规范解答】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查的知识点是折叠的性质、勾股定理、等边对等角、平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握折叠性质． 考点7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【思路引导】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【变式训练】（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可； （2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）， 证明如下：过B作，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 考点8 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【思路引导】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【规范解答】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 考点9 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路引导】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）∵ ； 又， ， ∴， ； （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置， ，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)点的位置见解析，米 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可； （1）由图可知：梯形的面积，的面积；由推出四边形的面积；即可求解； （2）连接，作，则四边形是矩形，推出，，即可求解； （3）作出的垂直平分线即可确定点，设，则；，即可求解； 【规范解答】（1）解：由图可知：梯形的面积，的面积； ∵， ∴四边形的面积； ∴ ， ∴； （2）解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∴两个站点C，D之间的直线距离为米； （3）解：如图所示： 设，则； ∵， ∴，解得：； 即：的长度为米； 考点10 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，熟记勾股定理是解题的关键．根据三角形的面积公式可得的值，结合已知的的值，利用完全平方公式可求得， 根据勾股定理求得，最后根据小正方形的面积大正方形的面积（即）个直角三角形的面积之和，计算即可得解． 【规范解答】解：直角三角形的直角边长为，，每个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 小正方形的面积为． 故选：A ． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【规范解答】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：A． 考点11 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，一只蚂蚁在长方体（长10厘米，宽5厘米，高20厘米）的底面上的点A处，蚂蚁想吃到底面上与点A相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】25厘米 【思路引导】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键在于要考虑到将长方体展开成长方形有三种情况，分别计算出点A到点的距离，通过比较找到最小的．将该长方体展开得到长方形，使点A、点位于同一平面，有三种情况：长方形、长方形、长方形；分别计算对角线的长度，其中最小的即为所求． 【规范解答】解：在长方形中，厘米，厘米， 则（厘米）； 在长方形中，厘米，厘米，则厘米； 在长方形中，厘米，厘米，则厘米； 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是25厘米． 【变式训练】24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 考点12 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． (1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______； (2)迁移应用： 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图； ②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点． 【答案】(1)， (2)①图见详解；②数轴见详解 【思路引导】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题； （2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可； ②先在数轴上找到表示数的点，然后向左移动3个单位即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，点到原点的距离为：，点在原点左侧， ∴点表示的实数为， 故答案为：，； （2）解：①如图所示： ②点表示，如图所示： 【变式训练】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 【规范解答】解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 考点13 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【思路引导】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【规范解答】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动的距离为，求物体C上升的高度． 【答案】(1)物体C到定滑轮A的垂直距离的长 (2)物体C上升的高度为 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理得，即，解方程即可得出答案； （2）利用勾股定理得，求出、，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：由已知得，， ，即， ， 所以物体C到定滑轮A的垂直距离的长； （2）解：如图， 由题意得，，， ， ， ． 所以物体C上升的高度为． 考点14 求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为15米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 作，，可证，可得，，则米，且可求米，米，即可求的长． 【规范解答】解：如图，作，，则四边形是矩形，米，， ， 在和中， ， ， ，， 即米， 根据题意，米，米， （米，则米， 米， 则米， 米，米， 米， 答：旗杆的高度为15米． 【变式训练】（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)秋千的长为4米 【思路引导】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）根据空白部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，也等于边长为的两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）， ， ∴， ∴． （2）设，， 在中，，即， 解得； 答：秋千的长为4米． 考点15 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【典例精讲】（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 【变式训练】（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【规范解答】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 考点16 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【变式训练】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断 (2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【思路引导】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； （2）解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 考点17 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了长方体中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出筷子最长和最短时在盒中所处的位置，然后计算求解． 根据题中已知条件，首先要考虑筷子放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长为；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在盒外的长度最短． 【规范解答】解：①当筷子放进盒子垂直于底面时露在盒外的长度最长，最长为； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长为，高为， 由勾股定理可得盒里面的筷子长为， 则露在盒外的长度最短为； 故选：B． 【变式训练】（21-22八年级下·湖北孝感·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【规范解答】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 考点18 解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，早上8：00，一艘轮船以h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上．到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上．若在小岛P周围内有暗礁，则轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 【答案】轮船继续向前航行，有触礁的危险． 【思路引导】分析已知和所求，过P作交AB延长线于点D，由，，根据三角形外角定理可得，由，根据等角对等边可得； 由轮船的速度是，经过两小时从点A到B处，可求AB的长，即得PB长，在中，，，根据直角三角形的性质可得，代入求其值与18比较大小即得答案． 【规范解答】解：如图，过点P作于点D． ， ， ． ， ． 在中，， ， ， 轮船继续向前航行，有触礁的危险． 【考点剖析】本题是一道关于解直角三角形应用的题目，应熟练掌握直角三角形的性质及三角形外角定理． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，垂线段最短,解决本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知：，根据“路程速度时间”分别得出，，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，根据垂线段最短，则的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等积法求解即可； 掌握并能利用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，， ∴，，， ∴（海里）， 答：，两点之间的距离为海里； （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ∵， ∴（海里）， 答：该轮船行驶的最短距离为海里． 考点19 求河宽（勾股定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 【变式训练】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【规范解答】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 考点20 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（18-19八年级下·河南洛阳·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【规范解答】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【规范解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为： 米． 故选：B．    考点21 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 【变式训练】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【思路引导】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 考点22 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【思路引导】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【规范解答】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为小时 【思路引导】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【规范解答】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，又， ， 是直角三角形，， 过点作于， ，即， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 考点23 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 【答案】30千米 【思路引导】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据和求x的值是解题的关键． 【规范解答】解：设，则， ∵，， ∴和都是直角三角形， ∴，， 又∵，，， ∴， 解得． 答：信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【规范解答】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 考点24 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，四边形中，，，，，．判断是否是直角，并说明理由． 【答案】是直角，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接,先由勾股定理求出，再证明得到即可． 【规范解答】解：是直角，理由： 连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【变式训练】（24-25八年级下·云南红河·期末）已知满足． (1)求的值； (2)判断长度为的三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形，见解析 【思路引导】本题考查非负性，勾股定理逆定理，熟练掌握绝对值，完全平方和算术平方根的非负性，勾股定理逆定理是解题的关键： （1）根据非负性进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：，， 解得，，； （2）长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形． 理由如下： ，， ； 即； 长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形． 考点25 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林·期中）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺完成如下作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个钝角，且点在格点上，使它有一边与该边上的高线长度相等； （2）在图②中画一个五边形，使其是轴对称图形，且，点、、在格点上． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析． 【思路引导】（1）使AC上的高与AC相等即可； （2）先利用格点的特点，作，再以点C所在的格点，画一条垂线MN，然后分别作点关于MN的对称点，最后顺次连接即可得． 【规范解答】（1）AC上的高与AC相等，都是3个单位长度，如下图所示：（答案不唯一） （2）分以下四步： ①利用格点的特点，作 ②以点C所在的格点，画一条垂线MN ③分别作点关于MN的对称点 ④顺次连接即可 作图结果如下图所示：（答案不唯一） 【考点剖析】本题考查了三角形和五边形的作图、画轴对称图形，理解题意，掌握轴对称图形的定义是解题关键． 考点26 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，若三角形的顶点均在格点上，则称之为“格点三角形”，点，均在格点上；只用无刻度的直尺、在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，（铅笔画图确认无误后，用中性笔描黑） (1)作格点，使为等腰直角三角形且； (2)作格点，使为等腰钝角三角形且； (3)在直线上找一点，连结，使平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图-应用设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理等，熟记等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形定义结合网格特点作图即可； （2）根据等腰三角形及钝角三角形结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形三线合一性质作图即可． 【规范解答】（1）解：根据网格对角线可得，即为所求，如下图所示： ∵，， ∵， ∴，即为等腰直角三角形； （2）解：如下图所示，格点即为所求： （3）解：连接，即等腰三角形底边上的中线，则平分，如下图所示：点即为所求； 【变式训练】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键． （1）利用勾股定理求出、的长即可； （2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断． 【规范解答】（1）解：； ； （2）解：如图，，， ，， ， 以、、三条线段可以组成直角三角形． 考点27 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； (3)判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由垂直可得，利用勾股定理可得，即可得到结果； （2）由（1）知，利用勾股定理可得，再根据即可得到结果； （3）由，，，利用勾股定理的逆定理即可判断求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴； （3）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【规范解答】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 考点28 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 【变式训练】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车不符合安全标准，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理；利用勾股定理求出，由，可得，则和不垂直，该车不符合安全标准． 【规范解答】解：该车不符合安全标准； 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和不垂直， ∴该车不符合安全标准． 考点29 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【思路引导】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【规范解答】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【考点剖析】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【思路引导】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【规范解答】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【考点剖析】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 考点30 求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)图见解析， 【思路引导】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个长方体，其中，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，则它爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，最短路径问题，根据题意画出展开图是解题的关键．先根据题意画出平面展开图，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：将蚂蚁爬行的两个面展开，如图所示， 则， ，，，点是的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， 它爬行的最短路径长为． 故答案为：． 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，即可得到结果． 【规范解答】证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在和中， ∵，， ∴， 同理可得：，， 在和中， ∴≌， ∴． 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【思路引导】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【规范解答】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 4．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①，；②C． (2) 【思路引导】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【考点剖析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【思路引导】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【规范解答】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 基础夯实 1．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）在中，，若，，则的长是（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【规范解答】解：∵中，，，， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）在中，，且，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，正确应用勾股定理确定各边长度是解题关键． 直接利用勾股定理得出的值即可． 【规范解答】解：在中，，且，， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）三个正方形的面积如图，正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据正方形的面积可知，，根据勾股定理可知，所以正方形的面积为． 【规范解答】解：如下图所示， 以为边的正方形的面积是， ， 以为边的正方形的面积是， ， ， 正方形的面积为．    故选：A． 4．（24-25八年级上·河北·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 【答案】2.7 【思路引导】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【规范解答】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 5．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，首先利用勾股定理求得边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【规范解答】解：在中，，，， 由勾股定理得，， 故． 故答案为：36． 6．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理的几何意义解答即可． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ∵， ， ∴． 8．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【规范解答】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）如图2所示：三角形即为所求． 9．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，．在边上有一点P，连接，若，，，求的长． 【答案】17 【思路引导】本题考查勾股定理，先利用勾股定理求得，则，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得． 10．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 培优拔高 11．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在和中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，则阴影部分（正方形和正方形）面积是（    ） A．5 B．25 C．49 D．64 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出，再根据正方形的面积和勾股定理得到两个正方形的面积之和为，即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即两个正方形的面积之和为； 故选B． 12．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【规范解答】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 13．（18-19八年级下·广东·期末）若，则以a，b，c为边长的是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．先根据题意得出，，，求出a，b，c的值，再求出，最后根据勾股定理的逆定理求出答案即可． 【规范解答】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∵，， ∴， ∴以a，b，c为边长的是直角三角形． 故选：B． 14．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，把圆柱的侧面展开图分成三个一样的长方形，此长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高的三分之一，由于绕了3圈，那么螺旋线的最短长度为三个长方形的三条对角线的长的和，据此利用勾股定理求出一条对角线的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图，将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线的最短长度为三个长方形的三条对角线的长的和， ∵圆柱高，底面周长是， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴这条花带的长度至少为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，点D为外一点，连接交于点H，连接，若，，则线段的长度为 ． 【答案】15 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形，勾股定理及直角三角形的两个锐角互余等知识，先利用等腰三角形的性质、互余及直角三角形的性质说明，得到与间关系，再用含的代数式表示，最后在直角中利用勾股定理得结论． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵ ∴． 解得． 故答案为：15． 16．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是 ． 【答案】17 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，作辅助线构造全等是解题的关键；作于D，作于E，证明，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：作于D，作于E，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：17． 17．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 【答案】 ； ． 【思路引导】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可； （2）过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是，得到关于的方程，解方程求出的值，即为的长． 【规范解答】解：由折叠可知，，， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：； 解：如下图所示，过点D作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 设， 则， 四边形的面积是， 由可知正方形的面积是， 由折叠可知：四边形的面积是， ， 解得：， 的长为． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)B，N之间的距离为36米 (2)珍珍的观点正确 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出线段的长，进而求出线段的长，则可证明，得到，即，再由垂线段最短即可得到结论． 【规范解答】（1）解：在中，由勾股定理得（米）， 答：B，N之间的距离为36米； （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴， ∴， ∴，即， ∴由垂线段最短可知，是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 19．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C，D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C，D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2) 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，利用勾股定理求出即可． 【规范解答】（1）解：∵C，D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为， ∴， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 20．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）在中，，，点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， 求的长； 连接，若，求的度数； (2)如图，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，且，过点作，交于点，求的长度． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的性质易证，从而证得，得到， 即，结合 ，求解即可；根据四边形的内角和为可求得的度数，连接，易证， 得到，，通过角的等量代换可求得的度数，进而利用三角形内角和定理即可求得的度数； （2）如图，延长交于， 根据角平分线的性质结合三角形内角和定理易求得，根据外角的性质可得，从而得到的度数，根据对顶角相等可得，，得到，从而证明， 可得到、的长， 易证， 得到， 在中，通过勾股定理可求得，从而得到的长． 【规范解答】（1）解： 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ，即 ， ； ，， ， 如图，连接， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ； （2）解：如图，延长交于， 平分，平分，， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 探索勾股定理 （知识梳理+30个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 优选题型 考点讲练 3 考点1 用勾股定理解三角形 3 考点2 已知两点坐标求两点距离 5 考点3 勾股树（数）问题 6 考点4 以直角三角形三边为边长的图形面积 7 考点5 勾股定理与网格问题 7 考点6 勾股定理与折叠问题 8 考点7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 9 考点8 利用勾股定理证明线段平方关系 10 考点9 勾股定理的证明方法 11 考点10 以弦图为背景的计算题 13 考点11 用勾股定理构造图形解决问题 13 考点12 勾股定理与无理数 14 考点13 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 15 考点14 求旗杆高度（勾股定理的应用） 16 考点15 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17 考点16 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 19 考点17 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 20 考点18 解决航海问题（勾股定理的应用） 20 考点19 求河宽（勾股定理的应用 22 考点20 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 23 考点21 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 23 考点22 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 24 考点23 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 25 考点24 判断三边能否构成直角三角形 26 考点25 图形上与已知两点构成直角三角形的点 27 考点26 在网格中判断直角三角形 28 考点27 利用勾股定理的逆定理求解 29 考点28 勾股定理逆定理的实际应用 30 考点29 勾股定理逆定理的拓展问题 31 考点30 求最短路径（勾股定理的应用） 32 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 35 基础夯实 35 培优拔高 38 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 考点1 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）． (1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度； (2)在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？ 【变式训练】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 考点2 已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可化简成或． (1)若已知两点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，请求出该图形的面积． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 考点3 勾股树（数）问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ (2)根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． (3)继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 考点4 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（   ） A．16 B．9 C．4 D．3 【变式训练】（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 考点5 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图中画一条线段，使； (2)在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角． 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏·阶段练习）如图所示，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图． (1)在图（1）中画一个面积为5的正方形； (2)在图（2）中画，使，，． 考点6 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ． 考点7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【变式训练】（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 考点8 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 考点9 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【变式训练】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置， ，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 考点10 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 考点11 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，一只蚂蚁在长方体（长10厘米，宽5厘米，高20厘米）的底面上的点A处，蚂蚁想吃到底面上与点A相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 【变式训练】24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 考点12 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． (1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______； (2)迁移应用： 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图； ②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点． 【变式训练】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 考点13 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动的距离为，求物体C上升的高度． 考点14 求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 【变式训练】（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 考点15 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【典例精讲】（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【变式训练】（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 考点16 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【变式训练】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 考点17 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（21-22八年级下·湖北孝感·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点18 解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，早上8：00，一艘轮船以h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上．到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上．若在小岛P周围内有暗礁，则轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 考点19 求河宽（勾股定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【变式训练】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 考点20 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（18-19八年级下·河南洛阳·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 考点21 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【变式训练】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 考点22 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 考点23 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 考点24 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，四边形中，，，，，．判断是否是直角，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·云南红河·期末）已知满足． (1)求的值； (2)判断长度为的三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 考点25 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林·期中）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺完成如下作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个钝角，且点在格点上，使它有一边与该边上的高线长度相等； （2）在图②中画一个五边形，使其是轴对称图形，且，点、、在格点上． 考点26 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，若三角形的顶点均在格点上，则称之为“格点三角形”，点，均在格点上；只用无刻度的直尺、在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，（铅笔画图确认无误后，用中性笔描黑） (1)作格点，使为等腰直角三角形且； (2)作格点，使为等腰钝角三角形且； (3)在直线上找一点，连结，使平分． 【变式训练】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 考点27 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； (3)判断的形状． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 考点28 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【变式训练】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 考点29 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 考点30 求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个长方体，其中，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，则它爬行的最短路径长为 ． 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 基础夯实 1．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）在中，，若，，则的长是（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 2．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）在中，，且，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．7 3．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）三个正方形的面积如图，正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 5．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 7．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 8．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 9．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，．在边上有一点P，连接，若，，，求的长． 10．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 培优拔高 11．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在和中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，则阴影部分（正方形和正方形）面积是（    ） A．5 B．25 C．49 D．64 12．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 13．（24-25八年级下·广东·期末）若，则以a，b，c为边长的是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 14．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，点D为外一点，连接交于点H，连接，若，，则线段的长度为 ． 16．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是 ． 17．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 18．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 19．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C，D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C，D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 20．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）在中，，，点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， 求的长； 连接，若，求的度数； (2)如图，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，且，过点作，交于点，求的长度． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $