精品解析：广东省佛山市金桂实验高级中学2025-2026学年高一上学期t第一次检测数学试题

2025-2026学年高（一）上学期第一次检测 数学试题 2025.10 本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 与为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 5. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知，若，则的最小值为（   ） A. B. C. 4 D. 7. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 不等式：的解集为或 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________． 13. 命题“”为真命题，则实数a的取值范围是__________． 14. 已知函数满足，则在区间的最大值是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 实数a，b满足a2+b2+2a-4b+5=0.若不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题，求实数c的取值范围. 16. 已知，. （1）当时，写出A的所有子集． （2）当且时，求m的取值范围． 17. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 18. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 19. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高（一）上学期第一次检测 数学试题 2025.10 本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，根据元素与集合的关系判定选项即可. 【详解】解不等式得， 所以，故A，B，C，错误，D正确. 故选：D. 2. 与为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域、值域、对应关系判断出正确选项. 【详解】的定义域为，值域为. A选项中的定义域为，不符合. B选项中，定义域、值域、对应关系都与相同，符合题意. C选项中的定义域为，不符合. D选项中的值域为，不符合. 故选：B 【点睛】本小题主要考查相同函数的判断. 3. 设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系. 【详解】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 5. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故不等式解集为. 故选：A 6. 已知，若，则的最小值为（   ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 7. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，判断选项即可. 【详解】根据元素与集合的关系可知，是正确的，故A正确； 根据集合与集合的关系可知，是不正确的，应为， 是正确的，是正确的，故B不正确，CD正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判定A，利用充分条件、必要条件的定义结合反例可判定B、C、D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，由可知，满足充分性， 而推不出，比如，不满足必要性，故B正确； 对于C，由不能推出，故C错误； 对于D，若，则方程判别式， 有两个不等根，且，所以两个根异号，满足充分性， 若方程有一正一负根，则需， 解之得，满足必要性，故D正确. 故选：BD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 不等式：的解集为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的定义判断A，且由判断B、C，解一元二次不等式求得或，进而确定的范围判断D. 【详解】A：当时，当时，错误； B、C：由定义知：，故，正确； D：由，故或，则或，所以解集为或，正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 因此定义域为. 故答案为：. 13. 命题“”为真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】①当时，恒成立，满足条件， ②当时，，解得， 综上，． 故答案为： 14. 已知函数满足，则在区间的最大值是__________． 【答案】##52 【解析】 【分析】由得，联立两者求解出的表达式，再利用单调性定义判断的单调性，即可求出在区间的最大值． 【详解】因为①，所以②， 由得，即， 设，则， 故在内单调递增，所以． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 实数a，b满足a2+b2+2a-4b+5=0.若不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题，求实数c的取值范围. 【答案】{c|c<-1} 【解析】 【分析】 先利用已知条件求出的值，将不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题转化为ax2+bx+c<0对一切实数恒成立，代入的值，求解即可得出答案. 【详解】解：∵ 实数a，b满足a2+b2+2a-4b+5=0， ∴ (a+1)2+(b-2)2=0， 得a=-1，b=2， ∵ 不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题， ∴-x2+2x+c<0对一切实数恒成立， 等价于x2-2x-c>0对一切实数恒成立， ∴(-2)2+4c<0，解得c<-1， ∴实数c的取值范围为{c|c<-1}. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题.属于较易题. 16. 已知，. （1）当时，写出A的所有子集． （2）当且时，求m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）或. 【解析】 【分析】（1）写出集合的元素，再由子集定义写出所有子集； （2）根据已知B是A的子集，讨论集合是否为空分别求出对应参数范围. 【小问1详解】 因为时，集合A内的元素为， 故所有子集为. 【小问2详解】 因为且，所以B是A的子集， 当B非空时，可知，解得， 当B为空集时，只需满足，解得， 综上，m的取值范围为或. 17 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）R； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． 【小问1详解】 ， ∴， ， ∴不等式的解集为R 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 18. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2）240 【解析】 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【小问1详解】 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 19. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $