九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（浙教版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 二次函数~第3章 圆的基本性质 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 3．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A．1.5 B．2 C． D．无法确定 5．（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 7．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽亳州·二模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（   ） A．无论取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 9．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 12．（2024·江苏宿迁·三模）如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °． 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ． 14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ． 15．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 17．（6分）（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 18．（6分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点； (1)求抛物线的对称轴及k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大？若存在，求出点P的坐标； (3)如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标． 19．（6分）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 20．（8分）（2024·湖南·模拟预测）已知二次函数（a，b，c是常数）． (1)若二次函数图象的对称轴为直线且二次函数图象经过，两点，求该二次函数的表达式； (2)若该二次函数的顶点式可以写成的形式，其中常数h满足，且的最小值为，求a的值； (3)若该二次函数的表达式可以写成的形式，当时，函数的最小值记为T，请问T是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 21．（8分）（2025·青海玉树·模拟预测）如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 22．（8分）（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 23．（12分）（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 24．（12分）（2023·四川乐山·中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 (1)求b的值； (2)将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理得，，得到，推出，根据三角形的外角定理求出，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解： 为的直径，且于点， ，， ， ，即， ， 设与交于点G， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 3．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A．1.5 B．2 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理来求解的长度． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，， ∵是直径， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定及性质、垂径定理以及三角形中位线定理，熟练掌握这些定理并能灵活运用是解题的关键． 5．（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，，可得为等边三角形，，求解；再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于， ∵由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由等边三角形的性质可得：，，而， ∴，， ∴， ∴； ∴的长； 故选：A 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键. 6．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：点在抛物线上， 把代入，得， 解得， 抛物线表达式为． 设（ ）， 点，关于轴对称， ． 过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则． ∴，， ∴，． 四边形周长， ． ∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线． ∴当时，． 故选： ． 7．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 点是和的角平分线的交点， 点是的内心， 平分， 为直径， ， ， 为定值， 点的轨迹为一段弧， 此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上， 如图2，过圆心作，连接，， 设，则， 为直径， ， 平分， ， ，　　 ， 如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，， 是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角， ， ， ， 点，，，，四点共圆， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为， 点的运动路径为， 由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为， 点的运动路径为， 点和点的运动路径比为． 故选：D． 8．（2025·安徽亳州·二模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（   ） A．无论取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 【答案】C 【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像即可判断A；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断B；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断C；分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行即可判断D． 【详解】解：记抛物线与分别为抛物线和抛物线， A、， ， ， 无论取何值，总是负数， 故A正确，不符合题意； B、∵抛物线与交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， ∵将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， ∴将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线， 故B正确，不符合题意； C、 ， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， ， 当，随着的增大，的值减小， 故C不正确，符合题意； D、设与轴交于点， ， ， 由C可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ∵，，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 9．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 10．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查“叠梦点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“叠梦二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点， ， 解得：， ∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ， ， ， ∴点在直线上运动， 设直线与“叠梦二次函数”交于点， 当时，， ， 二次函数的顶点为， ， ∴当点的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 12．（2024·江苏宿迁·三模）如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键． 根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可得，得到，再由得到，代入到得，，再根据直线与交点的横坐标为，列出关于的方程，即可求解m的值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∵直线与抛物线存在两个交点， ∴这两个交点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 代入到得，，解得， ∵直线与交点的横坐标为， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ． 【答案】8.8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；连接．由垂径定理得，结合，得M，N，O三点共线，由勾股定理求得的长，从而求得的长，再代入弧长l的近似值计算公式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵点N是的中点， ∴， 又∵， ∴M，N，O三点共线， ∵， ， ， ， ； 故答案为：8.8． 15．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定以及勾股定理，逐步推导得出线段的长度． 【解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 17．（6分）（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（6分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点； (1)求抛物线的对称轴及k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大？若存在，求出点P的坐标； (3)如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标． 【答案】(1)直线， (2)抛物线对称轴上存在点，使得的值最大 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质、运用待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系的利用、平行线间的距离等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据抛物线解析式写出对称轴解析式即可，把点C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出k值； （2）令，解关于x的一元二次方程得到点A、B的坐标，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点P、C、B在同一直线上时，的值最大，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而确定点P的坐标即可； （3）先求出直线的解析式，再根据平行线间的距离相等，过点M的直线与直线平行且与抛物线只有一个交点时距离最大，然后联立抛物线与直线解析式，根据列式求出过点M的直线，即可得到点M的坐标，再求出直线与x轴的交点，然后利用直线与x轴的夹角为，利用正弦值列式计算即可求出最大距离． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为直线， 把点代入抛物线得，，解得：． （2）解：如图：由（1）可知：， 令，则，解得，， ∴点，， 由三角形的三边性质，， ∴当点P、C、B在同一直线上时，的值最大， 此时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴抛物线对称轴上存在点，使得的值最大； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 如图：过点M的直线与直线平行且与抛物线只有一个交点时M点到的距离最大， 此时，过点M的直线解析式设为， 联立， 消掉y得，， ，解得：， ∴过点M的直线解析式为，，此时，，， ∴点M的坐标为， 设过点M的直线与x轴的交点为D， 则由，得， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴直线与之间的距离， ∴M点到的距离最大值为． 19．（6分）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 【答案】(1)，树状图见详解； (2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数； (3)2次． 【分析】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率． （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． （3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可． 【详解】（1）树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键． 20．（8分）（2024·湖南·模拟预测）已知二次函数（a，b，c是常数）． (1)若二次函数图象的对称轴为直线且二次函数图象经过，两点，求该二次函数的表达式； (2)若该二次函数的顶点式可以写成的形式，其中常数h满足，且的最小值为，求a的值； (3)若该二次函数的表达式可以写成的形式，当时，函数的最小值记为T，请问T是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为． 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和待定系数法求解即可； （2）根据不等式求出，再由化成一般式得，从而可得，把看作是关于的二次函数．当时．该二次函数有最小值， 分两种情况①当时，函数图象开口向上，时，二次函数取最小值，②当时，函数图象开口向下，当时，二次函数取最小值. （3）由题意得，函数图象与轴的交点坐标为和，可得对称轴为直线，根据对称轴的取值范围确定函数的最小值T的解析式求出T的最小值即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得 该二次函数的表达式为． （2） ，， ，． 把化成一般式得， ，， ． 记， 把看作是关于的二次函数．当时．该二次函数有最小值， ①当时，函数图象开口向上，对称轴为直线． ，当时，， ． ②当时，函数图象开口向下， 当时，， ． 综上，或． （3））由题意得，函数图象与轴的交点坐标为和， 对称轴为直线． ①当，即时， 由图象可知，当时，． ②当，即时，． ③当，即时， 由图象可知，当时，． 综上所述， 由上述函数画出图象（如图）可知，的最小值为． 21．（8分）（2025·青海玉树·模拟预测）如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 22．（8分）（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【分析】探究发现：图形面积分割法得出 ，根据得出； 实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解． 【详解】解：探究发现：∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，，；． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， 在中，． ∵将线段绕点逆时针旋转得， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， ∴由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴由探究发现可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键． 23．（12分）（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质． 24．（12分）（2023·四川乐山·中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 (1)求b的值； (2)将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 【答案】(1)0 (2)①② 【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论； （2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：                     时，总有， ． 则， ∴， ∴总成立，且， ； （2）①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示，    此时，，解得或（舍）．                   （ii）当抛物线过点时，如图所示，    此时，， 解得或（舍）， 综上，， ②同①考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示，    此时，，解得或（舍）．      （ii）当抛物线过点时，如图所示，    此时，，解得或0（舍）．                          综上， 如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上．    令，解得， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ． ，即， ， 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $