九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（沪科版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2025·湖南长沙·三模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． 利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴， 故选：B． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作延长线的垂线，垂足为，证明，求出，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作延长线的垂线，垂足为，则 ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明： ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：点在抛物线上， 把代入，得， 解得， 抛物线表达式为． 设（ ）， 点，关于轴对称， ． 过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则． ∴，， ∴，． 四边形周长， ． ∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线． ∴当时，． 故选： ． 4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 5．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上截取连接，延长至H，使连接，可得出，进而推出 得出设则用勾股定理求出由可列方程解出x，即的长，由正切函数，求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：如图所示：在上截取连接，延长至H，使连接， 为正方形外角的平分线， 在和中， 在和中， ∴ 在和中， 设则 在中， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 6．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线求出，的长，设出， ，由得出，的长，进而得出结论． 【详解】解：对于，当时，；当时，， ， ， 设， 轴，轴， ∴四边形是矩形， ， ， 解得： 经检验，是原方程的根， ∵点在反比例函数的图象上， ，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点D，连接，可证明得到，进一步可证明，得到，进而得到，证当时，的长度最短，求出，得到，则，即可得到． 【详解】解：作于点D，连接， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动时，的度数不变， ∴当时，的长度最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形推出点H的轨迹是解题的关键． 8．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接交于点，由正方形的性质得，，，，由，得，由证明，得，推导出，则，可证明，进而证明，则，，所以，则四边形是正方形，所以，于是得到结论． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 9．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，由函数解析式确定的坐标是，的坐标是，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形求解即可． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点 在中， 令，解得：， 即的坐标是． 令，解得：， 即的坐标是． 则，． ∵， ∴， 又∵直角中，， ∴， 在和中， ， ∴（）， 同理，， ∴，， 故的坐标是，的坐标是． 代入 得：， 则函数的解析式是： ． ∴， 则的纵坐标是， 把代入 得： ．即的坐标是， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 10．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明 ，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质可得，由旋转得，，，，则，所以，，由，可得，根据勾股定理可得，于是得，则，求得，从而可得，进而可得． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， ∵将按逆时针方向旋转得， ∴，，，， ∴，， ∴，、、三点在同一条直线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 12．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解． 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴， ∴，， 设， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，（负值舍）， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·江苏扬州·一模）如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点．易证得，得到，；设，则点的坐标为，点的纵坐标为．求得平移后的函数解析式为，代入A的坐标得到，令，，即可得到，，根据反比例函数系数得到，解得，进而即可求得． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点． 点与点关于点对称， ． 是以线段为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ． ， ， ，； 设，则点的坐标为，点的纵坐标为． ∵将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与y轴相交于点A， 点在函数的图象上， 把A的坐标代入得， 令， 解得， 点的横坐标为， ，，点的纵坐标为， ，． 点和点都在反比例函数图象在第三象限的分支上， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的规律，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 16．（8分）（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 ，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这样改造不可行，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，特别是锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的运用，解题的关键是从实际问题中抽象出两个直角三角形和利用公共边建立联系，再通过相应的锐角三角函数求出所需边长，进而判断改造是否可行． （1）在中，利用的正弦函数对边斜边结合已知长和的近似值，求出的长度； （2）先在中，利用的余弦函数邻边斜边求出的长度；再在中，利用的正切函数对边邻边求出的长度；进而计算结合的长度求出最后通过比较与的大小，判断改造是否可行． 【详解】（1）在中， ∴（）， 答：扶梯的高度约为； （2）这样改造不可行，理由如下： 在中， ∴（m）， 在中， ∵， ∴这样改造不可行． 17．（8分）（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 18．（8分）（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 19．（10分）（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． （2）解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 20．（10分）（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，线段即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 21．（12分）（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 22．（12分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线x轴有且只有一个交点得到，得到，即可得到答案； （2）①求出直线的解析式为，求出抛物线，由N点为延长线和抛物线的交点，则，解得，即可得到答案；②求出顶点，点K的坐标为，，用勾股定理求出，即可得到结论； （3）求出，连接，由， 由垂直平分交于点，F点横坐标点横坐标，进一步得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线（n为常数）与x轴有且只有一个交点， 一元二次方程只有一个实数根， 即， 解得， ． （2）①由（1）得，抛物线， 则点M的坐标为，且， 设直线的解析式为， 将M点坐标代入可得，， 即直线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得， ， ， 即抛物线， N点为延长线和抛物线的交点， ， 解得， 点在的延长线上， 不符合题意， ， ， ②四边形是菱形，理由如下： 抛物线的顶点， 当时，，解得或 ∴点K的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由解得或 ∴点， ∵过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R， ∴ 解得或， ∴, ∴，，，， ∴ 四边形是菱形； （3）由题可知，点在线段的垂直平分线上， ， 解得， 即， 连接， ， 根据二次函数性质可得，两点关于对称， 即顶点E在的垂直平分线上， 垂直平分交于点， F点横坐标点横坐标， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点问题、菱形的判定和性质、勾股定理、二次函数的平移等知识，综合性强，计算量大，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． 23．（14分）（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【沪科版】 时间：120分钟 满分：150分 测试范围：第21章 二次函数与反比例函数~第23章 解直角三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2025·湖南长沙·三模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 3．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 6．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 8．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 10．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，，若，则 ． 12．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 13．（2025·江苏扬州·一模）如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则 ． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 16．（8分）（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 ，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 17．（8分）（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 18．（8分）（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 19．（10分）（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 20．（10分）（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 21．（12分）（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 22．（12分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 23．（14分）（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $