期中复习5大类型30个考点（举一反三期中专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

期中复习5大类型30个考点（前3章） 【湘教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 有理数的相关概念】 2 【考点2 科学记数法】 2 【考点3 近似数】 3 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 3 【考点5 代数式的值】 4 【考点6 单项式】 4 【考点7 多项式】 4 【考点8 同类项与合并同类项】 5 【考点9 等式的基本性质】 5 【考点10 （一元一次）方程的概念及其解】 6 【考点11 二元一次方程（组）的概念】 6 【考点12 二元一次方程（组）的解】 6 【计算篇】 7 【考点13 有理数的混合运算】 7 【考点14 整式的加减与化简求值】 8 【考点15 一元一次方程的解法】 9 【考点16 解二元一次方程组】 10 【考点17 解三元一次方程组】 11 【规律与新定义篇】 11 【考点18 数式规律问题】 11 【考点19 图形规律问题】 13 【考点20 新定义问题】 14 【实际应用篇】 15 【考点21 有理数的实际应用】 15 【考点22 整式加减的实际应用】 17 【考点23 一元一次方程的应用】 19 【考点24 二元一次方程（组）的应用】 20 【压轴篇】 21 【考点25 数轴上的折叠与裁剪问题】 21 【考点26 利用绝对值的几何意义求最值】 22 【考点27 多绝对值的分类讨论问题】 23 【考点28 由整式加减解决整除问题】 24 【考点29 整式加减解决图形周长问题】 24 【考点30 数轴与方程综合解决数轴动点问题】 25 【基础概念易错篇】 【考点1 有理数的相关概念】 1．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句正确的是（   ）． ①绝对值最小的数是0；②平方等于它本身的数只有1；③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大；④倒数等于本身的数有0和； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作万元，那么取出1万元记作 ． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列四个数：，其中负数的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（25-26七年级上·天津南开·阶段练习）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 6.（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时 C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时 【考点2 科学记数法】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）2021年9月15日晚8点，第十四届全运会开幕式在西安奥体中心举行．西安奥体中心是西北功能最齐备、规模最大的体育中心，“一场两馆”呈“品”字形布局，总建筑面积52.05万平方米，数据52.05万用科学记数法表示准确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）用科学记数法表示的数的原数为 ． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）据统计，2023年武汉经济技术开发区（汉南区）有常住人口67.68万人，将数据67.68万用科学记数法表示为的形式，则n的值是 ．（备注：1万） 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）按照央行发布的2024年金融统计数据，去年全国住户人民币存款增加了约14万亿元．一台点钞机的速度大约为每小时张，按每天点钞7小时计算，如果让点钞机点一遍14万亿面值为100元的人民币，一台点钞机大约要点 天． 【考点3 近似数】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 2．近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）将数（精确到百分位） ． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）数3.456用四舍五入法精确到0.1得到 ． 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 1．在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）社会热点情境 国产 游戏大作《黑神话：悟空》中的许多建筑物模型均是在全国各地古迹实地扫描出来的，作为古建大省的山西则被采集最多，因此山西成为众多游客的打卡圣地，其中国庆假期第一天隰（）县小西天景区接待游客m人（），第二天接待游客人数比第一天的2倍少3000人，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多接待的游客人数 B．两天一共接待的游客人数 C．第二天比第一天多接待的游客人数 D．第二天接待的游客人数 【考点5 代数式的值】 1．已知当，时，代数式的值是（      ） A． B．1 C． D．7 2．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【考点6 单项式】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【考点7 多项式】 1．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按的降幂排列为 ． 【考点8 同类项与合并同类项】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列代数式中，不是整式的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）写出代数式的一个同类项 ． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ． 5．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 6．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【考点9 等式的基本性质】 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．由，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，将其化成用含的代数式表示的形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． 4．已知，则 （填“”“”或“”）． 【考点10 （一元一次）方程的概念及其解】 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 5．（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【考点11 二元一次方程（组）的概念】 1．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【考点12 二元一次方程（组）的解】 1．若是关于x、y的二元一次方程的解，则 ． 2．小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ． 3．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【计算篇】 【考点13 有理数的混合运算】 1．（25-26七年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 4．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【考点14 整式的加减与化简求值】 1．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 5．（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【考点15 一元一次方程的解法】 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6)=1． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）用好错题本可以有效地积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再错误的可能．下面是淇淇错题本上的一道题，请仔细阅读并完成下列问题． 解方程：． 解：去分母，得：…第一步 去括号，得…第二步 移项，得…第三步 合并同类项，得…第四步 (1)填空： ①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______． (2)请写出该方程的正确解答过程． 3．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）解方程： 【考点16 解二元一次方程组】 1．解下列方程组： (1)； (2)． 2．已知方程组与的解相同，求的值． 3．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：…（1）， 得：…（2） ∴（3） (1)第 步（填序号）出错； (2)请你写出正确的解题过程． 4．在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【考点17 解三元一次方程组】 1．（24-25六年级下·上海·期末）解方程组： 2．解方程组：． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【规律与新定义篇】 【考点18 数式规律问题】 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 2．观察下列算式： ，…，根据上述算式中的规律，你认为的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25七年级上·广东茂名·期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（    ） A． B．m C． D． 4．探究规律，完成相关题目．薛老师说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”薛老师写出了一些按照※运算法则进行运算的式子： ； ； ； ； ； ． 请你按照薛老师的运算法则计算： ． 5．（24-25七年级上·河南新乡·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历 年． 6.观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 ． 7．观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【考点19 图形规律问题】 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，根据图中方格内数的规律，的值是（    ） A．30 B． C．18 D．2 2．（24-25七年级上·广西南宁·期末）如图所示，第1个图案中有1个正方形，第2个图案中有3个正方形，第3个图案中有5个正方形，，按此规律排列下去，若第个图案中有2025个正方形，则 _____． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是由相同大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，……，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为（   ） A．75个 B．72个 C．69个 D．66个 4．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，）是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【考点20 新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 2．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）对于x，y定义一种新运算“※”，规定： （其中a，b为非零实数），若，，则 ． 5.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 6.（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【实际应用篇】 【考点21 有理数的实际应用】 1．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中） 怎样邮寄崇武鱼卷更经济？ 崇武鱼卷是泉州十大名小吃之一，以鱼肉为主料，可直接食用，也可切成片状调菜食用，还可切成片状、丝状经油炸或烹调加工制成各种花色品种． 泉小五家的崇武鱼卷每年通过网络进行包邮销售，因此需要支出较多快递费． 素材1 一客户在泉小五家定了10箱崇武鱼卷，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值(单位：千克) 0.3 0.1 −0.1 −0.2 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克)，续重(超过1千克的部分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据泉小五家常年的邮寄经验，包裹越大，崇武鱼卷受损率越高．一个包裹不超过20千克，崇武鱼卷几乎无受损；一个包裹质量超过20千克，不超过80千克，崇武鱼卷的受损率估计为；一个包裹质量在80千克至120千克之间，崇武鱼卷的受损率估计为，破损部分由泉小五家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱崇武鱼卷的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 今年崇武鱼卷的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．邮寄10箱崇武鱼卷哪种方案利润更高？ 任务3 结合任务2，请你设计一种邮寄方案，使得这10箱崇武鱼卷获利最大，并求出最大利润． 【考点22 整式加减的实际应用】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 2．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【考点23 一元一次方程的应用】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在一次实践活动中，老师组织七年级某班的学生用硬纸板制作圆柱形收纳盒，已知该班共44名学生，其中女生比男生少2人，在限定时间内每名学生可剪出筒身50个或剪出筒底120个． (1)求该班男、女生各有多少人？ (2)若要求一个筒身配两个筒底，为了使限定时间内剪出的筒身与筒底恰好配套，求老师应该分配多少名学生剪筒底？ 2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 3．（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． (1)求每个A款书包和B款书包的进价； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？ 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【考点24 二元一次方程（组）的应用】 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 2．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 3．亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩童”瘾，某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元．甲款亲子装零售单价比进货单价多40元，乙款亲子装零售单价比进货单价的1.5倍少60元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元． (1)分别求出甲、乙两款亲子装的进价； (2)该专卖店平均每天卖出甲款亲子装20件和乙款亲子装12件．经调查发现，甲款亲子装零售单价每降低1元，平均每天就可多售出甲款亲子装2件．商店决定把甲款亲子装的零售单价下降元，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元？ 4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【压轴篇】 【考点25 数轴上的折叠与裁剪问题】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）数形结合在数学学习中至关重要．数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图1，第一小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合； ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示m的点与表示________的点重合；（用含m的代数式表示） (2)如图2，第二小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合； ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点A与点B重合（点A在点B的左侧），且点A与点B之间的距离为8，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)如图3，第三小组的同学将数轴对折，使数a表示的点C与数b表示的点D重合，经对折后数轴上的点E与点F重合（点E在点F的左侧），且点E和点F之间的距离为12，则点E表示的数为________，点F表示的数为________．（用含a，b的代数式表示） 2．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，从左往右依次有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，已知，如果以原点O为折点，将这条数轴向右对折，此时点A与点B重合，且． (1)填空： ， ． (2)若点C以每秒4个单位长度的速度向右运动，与此同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)在（2）的条件下，以点B为折点，将这条数轴向右对折，点A落在数轴上的对应点为M，当t为何值时，线段的长度为5？ 3．（24-25七年级上·山西·期中）综合与探究 数轴是一个非常重要是数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图1，在数轴上点表示，点表示数，点表示数，其中为绝对值最小的数，与满足． (1)______，______，______ (2)若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为________；若折叠纸面，使点与点重合，则与点重合的点表示的数为______． (3)如图2，在数轴上剪下到的部分（不考虑宽度），并把这部分沿点D所在的位置折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三部分．若这三部分的长度之比为，求点，之间的距离． 【考点26 利用绝对值的几何意义求最值】 1．（24-25六年级上·上海·期中）求的最小值． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【考点27 多绝对值的分类讨论问题】 1．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c． (1)若． ①请将a、b、c填入括号内．    ②化简． ③若点X在数轴上表示的数为x，则有最小值__________． (2)若，且，求的值． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【考点28 由整式加减解决整除问题】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【考点29 整式加减解决图形周长问题】 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 2．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为． (1)如图，若，，，直接写出的面积____ ，的面积 ____； (2)如图，当，时，直接写出和的周长和是 ____ ； (3)如图，若大长方形分割为个小正方形，且中间的最小正方形的边长是，求大长方形的面积． 【考点30 数轴与方程综合解决数轴动点问题】 1.（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 2.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足． (1)则 ， ； (2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒． ①求点表示的数； ②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？ 3. （24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为 ，点与点的中点为，则点表示的数为 ；运动秒后，点表示的数为 （用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型30个考点（前3章） 【湘教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 有理数的相关概念】 2 【考点2 科学记数法】 4 【考点3 近似数】 6 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 7 【考点5 代数式的值】 8 【考点6 单项式】 9 【考点7 多项式】 11 【考点8 同类项与合并同类项】 12 【考点9 等式的基本性质】 14 【考点10 （一元一次）方程的概念及其解】 16 【考点11 二元一次方程（组）的概念】 18 【考点12 二元一次方程（组）的解】 19 【计算篇】 21 【考点13 有理数的混合运算】 21 【考点14 整式的加减与化简求值】 25 【考点15 一元一次方程的解法】 29 【考点16 解二元一次方程组】 34 【考点17 解三元一次方程组】 38 【规律与新定义篇】 40 【考点18 数式规律问题】 40 【考点19 图形规律问题】 45 【考点20 新定义问题】 47 【实际应用篇】 53 【考点21 有理数的实际应用】 53 【考点22 整式加减的实际应用】 58 【考点23 一元一次方程的应用】 62 【考点24 二元一次方程（组）的应用】 66 【压轴篇】 70 【考点25 数轴上的折叠与裁剪问题】 70 【考点26 利用绝对值的几何意义求最值】 74 【考点27 多绝对值的分类讨论问题】 77 【考点28 由整式加减解决整除问题】 80 【考点29 整式加减解决图形周长问题】 83 【考点30 数轴与方程综合解决数轴动点问题】 86 【基础概念易错篇】 【考点1 有理数的相关概念】 1．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句正确的是（   ）． ①绝对值最小的数是0；②平方等于它本身的数只有1；③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大；④倒数等于本身的数有0和； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，倒数，绝对值的定义，有理数的乘方计算，根据绝对值的非负性可判断①；根据平方的定义可判断②；根据有理数与数轴的关系可判断③；根据乘积为1的两个数互为倒数可判断④． 【详解】解：①绝对值最小的数是0，原说法正确； ②平方等于它本身的数只有1和0，原说法错误； ③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数的绝对值就越大，不代表这个有理数越大，原说法错误； ④倒数等于本身的数有，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选；D． 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作万元，那么取出1万元记作 ． 【答案】万元 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：把存入3万元记作+3万元，那么取出1万元记作万元 ， 故答案为：万元． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列四个数：，其中负数的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，化简多重符号，绝对值，熟练地化简各数再作判断是解本题的关键． 先化简各数，再确定负数的个数． 【详解】解：，，，， ∴负数有2个， 故选：C． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查绝对值非负性，理解题意是解决问题的关键． 由题意可知，当最小时，式子存在最大值，再结合可得当时，取得最大值，为，即可得到答案． 【详解】解：当最小时，式子存在最大值， ， 当时，取得最大值，为， 故选：B． 5．（25-26七年级上·天津南开·阶段练习）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，根据相反数、倒数的定义和绝对值的意义求出、和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， 当时， ； 当时， ； ∴或， 故答案为：或． 6.（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时 C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时 【答案】B 【分析】本题考查数轴的应用，涉及利用数轴比较有理数大小，根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其他四个城市时间差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 当北京时间是20时，对应： 纽约时间比北京时间早13个小时； 伦敦时间比北京时间早8个小时； 巴黎时间比北京时间早7个小时； 汉城时间比北京时间晚1个小时； 北京时间2025年10月1日20时，对应： 纽约时间是当天早上7时； 伦敦时间是当天中午12时； 巴黎时间是当天下午13时； 汉城时间是当天晚上21时． 故选：B． 【考点2 科学记数法】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）2021年9月15日晚8点，第十四届全运会开幕式在西安奥体中心举行．西安奥体中心是西北功能最齐备、规模最大的体育中心，“一场两馆”呈“品”字形布局，总建筑面积52.05万平方米，数据52.05万用科学记数法表示准确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：52.05万， 故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）用科学记数法表示的数的原数为 ． 【答案】202400 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握用科学记数法表示数的方法．将小数点往右移5位即可得到原数． 【详解】解： 故答案为：202400． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）据统计，2023年武汉经济技术开发区（汉南区）有常住人口67.68万人，将数据67.68万用科学记数法表示为的形式，则n的值是 ．（备注：1万） 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定a、n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，把67.68万写成科学记数法形式，由此即可求解． 【详解】解：67.68万， 则n的值是5， 故答案为：5． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）按照央行发布的2024年金融统计数据，去年全国住户人民币存款增加了约14万亿元．一台点钞机的速度大约为每小时张，按每天点钞7小时计算，如果让点钞机点一遍14万亿面值为100元的人民币，一台点钞机大约要点 天． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键．先算出14万亿元人民币的张数，再根据同底数幂的除法法则以及科学记数法即可解答． 【详解】解：14万亿元， 即14万亿面值为100元的人民币为张， （天）． 故答案为：． 【考点3 近似数】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、自然常数精确到十分位是，该选项符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到千分位是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意， 故选：． 2．近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【详解】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 3．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）将数（精确到百分位） ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握精确到哪一位，就是对这位数后边的数位按照四舍五入原则处理是解决问题的关键．根据四舍五入原则，将精确到百分位，就是将百分位以后的数位四舍五入，从而确定答案． 【详解】解：将数（精确到百分位）为 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）数3.456用四舍五入法精确到0.1得到 ． 【答案】3.5 【分析】本题考查求一个数的近似数，利用四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：3.5． 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 1．在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念．代数式即用运算符号把数与字母连接起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可． 【详解】解：在，0，π，，，，中， 代数式有：0，π，，，，，共6个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）社会热点情境 国产 游戏大作《黑神话：悟空》中的许多建筑物模型均是在全国各地古迹实地扫描出来的，作为古建大省的山西则被采集最多，因此山西成为众多游客的打卡圣地，其中国庆假期第一天隰（）县小西天景区接待游客m人（），第二天接待游客人数比第一天的2倍少3000人，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多接待的游客人数 B．两天一共接待的游客人数 C．第二天比第一天多接待的游客人数 D．第二天接待的游客人数 【答案】C 【分析】本题考查的是列代数式，代数式的意义，由题意可得第二天接待的游客人数为人，结合，进一步分析即可． 【详解】解：第一天景区接待游客m人，因为第二天接待游客人数比第一天的2倍少3000人， 所以第二天接待的游客人数为人， 所以第二天比第一天多接待的游客人数为人， 所以代数式“”表示的意义是第二天比第一天多接待的游客人数． 故选：C 【考点5 代数式的值】 1．已知当，时，代数式的值是（      ） A． B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，将，代入计算即可求出值． 【详解】解：当，时，， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是发现所求代数式与已知代数式的倍数关系，将作为整体进行计算． 由已知代数式，先求出的值；再观察到，代入的值计算出，最后减去3得到所求代数式的值，与选项匹配． 【详解】解：∵， ∴； 又∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得当时，，故继续输入， 当时，，故输出的值为8． 故选：C． 【考点6 单项式】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【答案】A 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原说法正确，符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是次单项式，原说法错误，不符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 【考点7 多项式】 1．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的判断， 根据多项式和单项式的定义解答即可．数字和字母的乘积是单项式，单独的数也是单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】代数式是单项式； 是多项式， 多项式有3个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式不含项，则其系数为零，即可求出k的值，进而求出所求代数式的值． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按的降幂排列为：． 故答案为：． 【考点8 同类项与合并同类项】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列代数式中，不是整式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式：整式是单项式和多项式的统称，其分母中不含字母，熟记整式的定义是解题关键．根据整式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是多项式，是整式，则此项不符合题意； B、是多项式，是整式，则此项不符合题意； C、是多项式，是整式，则此项不符合题意； D、的分母中含有字母，不是整式，则此项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 3．（24-25七年级上·吉林·期末）写出代数式的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 根据同类项的概念求解即可，答案不唯一． 【详解】解∶∵代数式的字母部分为， ∴代数式的同类项的字母部分为， ∴是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，即“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”，属于基础题型，关键要令相同字母的指数相等列式计算．根据同类项的定义“相同字母的指数相等”，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，先把减法转化为加法，再合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，单项式的定义等知识点．由题意可知，求值即可． 【详解】解：， ∵代数式为单项式， ∴， ∴． 故答案为：1． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【答案】或 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．根据题意，得到或，得到系数和指数的对应关系，求出，的值，得到结果． 【详解】解：单项式与多项式和是单项式， 当时， ，， ，， 当， ，， ∴，， ． 综上所述：或 故答案为：或． 【考点9 等式的基本性质】 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．由，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．按照解一元一次方程的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、由 ，得，而错误，故A不符合题意； B、由，得 ，故B不符合题意； C、由，得，故C符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，将其化成用含的代数式表示的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．通过等式的基本性质，将移到等式的右边，再将方程两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵ 方程两边同时减，得， 方程两边同时除以2，得． 故选D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是关键． （1）（2）利用等式的基本性质逐项解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得：． （2）∵， ∴， ∴． 4．已知，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点10 （一元一次）方程的概念及其解】 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程的定义，只有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，据此即可求解． 【详解】解：A、的未知数的最高次数是2，因而不是一元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项正确； C、含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项错误． D、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(a，b是常数且），据此求解即可． 【详解】解：因为是关于x的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 【考点11 二元一次方程（组）的概念】 1．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是二元一次方程，符合题意； B、方程中，含有未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：A． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程的特点：一个方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1，这样的方程组叫做二元一次方程组，逐一判断即可． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组；故错误； B．不是整式方程，故错误； C． 是二元一次方程组，故正确； D． ，是二元二次方程，故错误； 故选：C． 3．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，化简绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二次一次方程的定义，可得，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：或，， ∴． 故答案为：1． 【考点12 二元一次方程（组）的解】 1．若是关于x、y的二元一次方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 把代入，然后解关于m的方程即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为：1． 2．小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ． 【答案】8 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．将代入方程组中第二个方程，解得，再将、代入方程组中第一个方程，即可求解●的值． 【详解】根据题意，将代入方程组中第二个方程， 得， 解得， 再将、代入方程组中第一个方程， 解得●， 故答案为8． 3．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B 【计算篇】 【考点13 有理数的混合运算】 1．（25-26七年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）先进行乘法运算，再进行加法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）按照混合运算顺序计算，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 4．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 【考点14 整式的加减与化简求值】 1．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算及求值、绝对值及平方的非负性， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据绝对值及平方的非负性求出a、b值，再进行整式加减运算并代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ， 当时， ． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 【答案】(1) (2)， (3)，，原式 【分析】（）把的值代入，再去括号、合并同类项即可； （）由题意可得，即得，进而根据多项式相等的条件即可求解； （）先化简整式，再根据计算的最后结果与的取值无关， 可得含项的系数为，进而求出的值及整式的最后结果； 本题考查了整式的加减，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入式子得， 原式 ； （2）解：由题意得，， ∴， 即， ∴，； （3）解：， ∵计算的最后结果与的取值无关， ∴，， ∴，， 此时原式． 5．（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先根据整式的加减计算法则求出，据此利用整体代入法计算求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项把原多项式化简为，再根据不含项得到，则． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当，时，原式； （2） ， ∵关于x，y的多项式的结果中不含项， ∴， ∴． 【考点15 一元一次方程的解法】 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6)=1． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项、合并同类项，将的系数化为1即可． （2）去括号，移项、合并同类项，将的系数化为1即可； （3）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （4）方程移项合并，把系数化为1，即可求出解； （5）方程去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （6）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ； （3）解： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （4）解： 移项合并得：， 解得：； （5）解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：； （6）解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）用好错题本可以有效地积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再错误的可能．下面是淇淇错题本上的一道题，请仔细阅读并完成下列问题． 解方程：． 解：去分母，得：…第一步 去括号，得…第二步 移项，得…第三步 合并同类项，得…第四步 (1)填空： ①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______． (2)请写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)①等式的基本性质；乘法分配律；②三，移项没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）①根据等式的性质和去括号法则，②根据移项的法则解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律． ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号． 故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三，移项没有变号． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，是解题的关键． 运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1的方法解答即可．可先从外部去括号，使运算简便，（1），（3），（5）题，可方程两边乘一适当的数，兼顾去分母去括号，（2），（4）题出现了互为倒数，或分母能约尽的情况，用括号外的数直接乘即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴两边乘2，得， 移项，得， 两边乘3，得， 移项，得， ∴， 系数化为1，得． （2）∵， ∴去中括号，得， 去小括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）∵， 两边乘2，得， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）∵ ∴去中括号，得，， 去小括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得， 把x的系数化为1，得； （5）∵， ∴两边乘2，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将原方程变形，整理即可求解． 【详解】解： 将方程变形得： 即 ， ． 【考点16 解二元一次方程组】 1．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）对①进行变形整理，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得，③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①得③， 由③②得， 解得， 把代入②得 解得， 所以方程组的解为． 2．已知方程组与的解相同，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可 【详解】解：∵方程组与的解相同 ∴ 解得： 将代入得 解得： ∴. 3．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：…（1）， 得：…（2） ∴（3） (1)第 步（填序号）出错； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1）； (2)，过程见详解． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、等式的基本性质等知识点，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据等式的性质即可判断第（1）步出错； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：第（1）步出错． 故答案为：（1）． （2）解：， 得：③， 得：， ∴． 把代入②，得， 所以方程组的解是． 4．在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于把已知的值代入方程组. （1）将第一对解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二对解代入方程组的第二个方程求出n的值即可； （2）确定出正确的方程组，求出解即可解答. 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 把将代入得：， 解得：； 所以，； （2）解：将，代入原方程组得， 解得：． 所以，原方程组正确的解为：． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 【考点17 解三元一次方程组】 1．（24-25六年级下·上海·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组．运用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】解：①②得， 解得 把代入③得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解． 【详解】解： ①②得：， ②③得：， 联立④⑤得， ④⑤得： ，解得：， 将代入④得：，解得：， 将，代入③得：，解得：， 方程组的解为： ． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 【规律与新定义篇】 【考点18 数式规律问题】 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是单项式的规律题，根据题意可得规律，第个单项式为，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第个单项式的系数为，次数为， ∴第个单项式为， 第6个单项式为． 故选：B． 2．观察下列算式： ，…，根据上述算式中的规律，你认为的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】通过已知数据发现个位数字分别是2、4、8、6、2、4、8、6……四个一循环， 【详解】解：通过观察发现，个位数字分别是2、4、8、6、2、4、8、6……四个一循环，所以的个位数字和的个位数字相同是6． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方和数字规律，准确分析计算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东茂名·期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（    ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，规律的探究，通过运算发现式子的规律是解题的关键． 根据整式串的运算，得到整式串的和的规律，即可得到结果． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，，和为， 第2次操作后得到整式串m，n，，，和为， 第3次操作后得到整式串m，n，，，，和为， 第4次操作后得到整式串m，n，，，，，和为0， 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，m，和为m， 第6次操作后得到整式串m，n，，，，，m，n，和为， 第7次操作后得到整式串m，n，，，，，m，n，，和为， 第8次操作后得到整式串m，n，，，，，m，n，，，和为， …… 观察可以得到第7次操作后的整式串的和与第1次操作后的和相同， ∴每6次操作后，整式串的和重复一次， ∵， ∴2024次操作后得到的整式串各项之和与第2次操作后的整式串的和的结果一样，为， 故选：C． 4．探究规律，完成相关题目．薛老师说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”薛老师写出了一些按照※运算法则进行运算的式子： ； ； ； ； ； ． 请你按照薛老师的运算法则计算： ． 【答案】4043 【分析】根据题意可以得到可以得到的运算法则为：两数进行运算时，同号得负，异号得正，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解：，，，，，， 由此可以得到的运算法则为：两数进行运算时，同号得负，异号得正，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数， ∴， 故答案为：4043． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够根据题意找到的运算法则． 5．（24-25七年级上·河南新乡·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历 年． 【答案】乙巳 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：天干为：， 地支为：， ∴2025年为农历乙巳年； 故答案为：乙巳． 6.观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 ． 【答案】 【分析】根据①②③方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到答案．本题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握猜想归纳思想是解题的关键． 【详解】解：观察第二个方程： ①， ②， ③， 得规律：的系数为方程组的序号加上1，的系数等于序号，常数项等于序号， ∴第④个方程组的第二个方程为：， 观察第一个方程：的系数为1，的系数等于方程组序号的相反数，常数项等于序号乘序号加1的积， 即第④个方程组的第一个方程为：， 故答案为：． 7．观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 【考点19 图形规律问题】 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，根据图中方格内数的规律，的值是（    ） A．30 B． C．18 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探索，方程的求解，根据图形可得肩上的两个数之和为顶部的数据，列出式子，，求出结果即可． 【详解】解：由图像可知，肩上的两个数之和为顶部的数据， ，， 解得：， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期末）如图所示，第1个图案中有1个正方形，第2个图案中有3个正方形，第3个图案中有5个正方形，，按此规律排列下去，若第个图案中有2025个正方形，则 _____． 【答案】1013 【分析】本题考查图形类规律探究，解方程．观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2个正方形，即可得到第n个图案有个正方形，解方程即可解答． 【详解】解：第1个图案中有1个正方形，而； 第2个图案中有3个正方形，而； 第3个图案中有5个正方形，而； ， 第n个图案中有有个正方形， 当时，． 故答案为：1013 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是由相同大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，……，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为（   ） A．75个 B．72个 C．69个 D．66个 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通用公式，然后代入求解即可． 【详解】解：观察图形得： 第①个图形有个圆圈， 第②个图形有个圆圈， 第③个图形有个圆圈， … 第n个图形有个圆圈， 当时，个圆圈， 故选：A． 4．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，）是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离，，准确分析计算是解题的关键．根据题意得出表示的数为，则点表示的数为，在得出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， …… 表示的数为， ∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， 故选：D． 【考点20 新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的加减混合运算，数轴上两点的距离，绝对值的化简，相反数的定义，理解新定义运算规则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算规则直接计算即可； （2）先根据数轴上两点的距离和相反数的定义得出x，y的值，然后根据新定义计算，最后计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或6， 是的相反数，且， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为或． 2．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是； (2)是； (3)． 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算、代数式求值、整式的加减运算等知识点，理解“共生有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （2）根据“共生有理数对”的定义可求出，从而通过计算可证，即得出是 “共生有理数对”； （3）根据“共生有理数对”的定义可求出，即可求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴数对不是“共生有理数对”； （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∴， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：是． （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）对于x，y定义一种新运算“※”，规定： （其中a，b为非零实数），若，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查定义一种新运算，二元一次方程组，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据定义新运算，列出二元一次方程组，求出a，b的值，再代入新运算，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， 则． 故答案为：20． 5.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为8，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：； （2）解： ∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为8， ∴， ∴n的值为或； （3）解：解方程得：， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 6.（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 【实际应用篇】 【考点21 有理数的实际应用】 1．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【详解】（1）解：最多的一天：，最少的一天： ， 故答案为： （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了 （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 【答案】(1)一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元 (2)按照方案二购买较为合算，见解析 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和对应的算式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元，根据买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元建立方程求解即可； （2）根据所给的优惠方案，分别计算出三种优惠方案下的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元， 根据题意，得，     解得，     ∴． 答：一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元． （2）解：方案一：（元）． 方案二：元， ， （元）．     方案三：（元）．         ， 按照方案二购买较为合算． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：露营基地在家的西边处；任务2：14元；任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：先求出水果店到奶茶店的原价费用和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券进行计算即可． 【详解】解：任务1：由题意可得：， 答：露营基地在家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：炸鸡店到面包店所需费用14元； 任务3:：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元）， 奶茶店到露营基地的原价费用为（元）， 则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，（元） 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费元． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中） 怎样邮寄崇武鱼卷更经济？ 崇武鱼卷是泉州十大名小吃之一，以鱼肉为主料，可直接食用，也可切成片状调菜食用，还可切成片状、丝状经油炸或烹调加工制成各种花色品种． 泉小五家的崇武鱼卷每年通过网络进行包邮销售，因此需要支出较多快递费． 素材1 一客户在泉小五家定了10箱崇武鱼卷，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值(单位：千克) 0.3 0.1 −0.1 −0.2 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克)，续重(超过1千克的部分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据泉小五家常年的邮寄经验，包裹越大，崇武鱼卷受损率越高．一个包裹不超过20千克，崇武鱼卷几乎无受损；一个包裹质量超过20千克，不超过80千克，崇武鱼卷的受损率估计为；一个包裹质量在80千克至120千克之间，崇武鱼卷的受损率估计为，破损部分由泉小五家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱崇武鱼卷的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 今年崇武鱼卷的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．邮寄10箱崇武鱼卷哪种方案利润更高？ 任务3 结合任务2，请你设计一种邮寄方案，使得这10箱崇武鱼卷获利最大，并求出最大利润． 【答案】任务1：这10箱崇武鱼卷的总质量为100千克；任务2：方案一利润更高；任务3：见解析，362(元) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可； 任务3：将重量为千克和一箱千克的崇武鱼卷单独邮寄，剩下箱两两打包为个千克的包裹和个千克的包裹，再计算邮费，进而求得最大利润． 【详解】解：任务：千克， 这箱崇武鱼卷的总质量为千克；    任务：由表格可得，，，，， 箱崇武鱼卷中重量为的有箱，重量为的有箱，重量为的有箱，重量为的有箱， 方案一： ， 邮寄箱崇武鱼卷的利润为元；     方案二： 这箱崇武鱼卷的总质量为千克， ， 邮寄箱崇武鱼卷的利润为元； ， 方案一利润更高．    任务：将重量为千克和一箱千克的崇武鱼卷单独邮寄，剩下箱两两打包为个千克的包裹和个千克的包裹， 则邮费为： 元，    利润为 元． 【考点22 整式加减的实际应用】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 【答案】(1)选择春光旅行社所需的总费用为元；选择华夏旅行社所需的总费用为元 (2)选择春光旅行社较为合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用是解题的关键. 利用总价单价数量，结合两旅行社给出的收费标准，即可用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用； 选择春光旅行社较为合算，将的两代数式作差，结合，可得出，即，进而可得出选择春光旅行社较为合算． 【详解】（1）解：根据题意得：选择春光旅行社所需的总费用为元； 选择华夏旅行社所需的总费用为元； （2）选择春光旅行社较为合算，理由如下： ， ， ， ， 即， 选择春光旅行社较为合算． 2．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3）解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 【考点23 一元一次方程的应用】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在一次实践活动中，老师组织七年级某班的学生用硬纸板制作圆柱形收纳盒，已知该班共44名学生，其中女生比男生少2人，在限定时间内每名学生可剪出筒身50个或剪出筒底120个． (1)求该班男、女生各有多少人？ (2)若要求一个筒身配两个筒底，为了使限定时间内剪出的筒身与筒底恰好配套，求老师应该分配多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)该班有女生21人，男生23人 (2)应该分配20名学生剪筒底 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设该班有女生x人，男生人，根据“共有学生44人，女生比男生少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，在限定时间内剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设该班有女生x人，男生人，依题意得 ， 解得， 所以，该班有女生21人，男生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， 所以，应该分配20名学生剪筒底． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 3．（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． (1)求每个A款书包和B款书包的进价； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】(1)每个款书包为50元，则B款书包为60元 (2)八折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个A款书包的进价是x元，则每个B款书包的进价是元，利用总价单价数量，结合“商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A款书包的进价），再将其代入中，即可求出每个B款书包的进价； （2）设B款书包实际销售时打a折出售，利用利润售价进价，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个A款书包为元，则B款书包为元 由题意可得： 解得：， ， 答：每个款书包为50元，则B款书包为60元； （2）解：设B款书包实际销售时打折出售 由题意可得： 解得：． 答：在信息二中，B款书包实际销售时打八折出售． 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 【考点24 二元一次方程（组）的应用】 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 2．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 3．亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩童”瘾，某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元．甲款亲子装零售单价比进货单价多40元，乙款亲子装零售单价比进货单价的1.5倍少60元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元． (1)分别求出甲、乙两款亲子装的进价； (2)该专卖店平均每天卖出甲款亲子装20件和乙款亲子装12件．经调查发现，甲款亲子装零售单价每降低1元，平均每天就可多售出甲款亲子装2件．商店决定把甲款亲子装的零售单价下降元，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元？ 【答案】(1)甲款亲子装的进价为200元，乙款亲子装的进价为160元 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设甲款亲子装的进价为x元，乙款亲子装的进价为y元，根据等量关系：甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元；列方程组求解即可； （2）根据等量关系：总利润为1490元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲款亲子装的进价为x元，乙款亲子装的进价为y元 ， 解得． 故甲款亲子装的进价为200元，乙款亲子装的进价为160元； （2）解：依题意得 解得． 故当m为15时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元． 4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 【压轴篇】 【考点25 数轴上的折叠与裁剪问题】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）数形结合在数学学习中至关重要．数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图1，第一小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合； ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示m的点与表示________的点重合；（用含m的代数式表示） (2)如图2，第二小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合； ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点A与点B重合（点A在点B的左侧），且点A与点B之间的距离为8，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)如图3，第三小组的同学将数轴对折，使数a表示的点C与数b表示的点D重合，经对折后数轴上的点E与点F重合（点E在点F的左侧），且点E和点F之间的距离为12，则点E表示的数为________，点F表示的数为________．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①，②，5； (3)， 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可求得，两点表示的数； （3）利用，表示出对折点，再根据点和点之间的距离为20，利用数轴的定义即可表示出，． 【详解】（1）解：对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数为， 故答案为：①，②； （2）对折点为， 对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 点和点之间的距离为12， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 2．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，从左往右依次有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，已知，如果以原点O为折点，将这条数轴向右对折，此时点A与点B重合，且． (1)填空： ， ． (2)若点C以每秒4个单位长度的速度向右运动，与此同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)在（2）的条件下，以点B为折点，将这条数轴向右对折，点A落在数轴上的对应点为M，当t为何值时，线段的长度为5？ 【答案】(1)，11 (2)的值不会随着时间的变化而改变，理由见解析 (3)4或 【分析】本题考查了数轴、整式的加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先求出，再根据数轴的性质求解即可得； （2）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据数轴的性质可得，的长，由此即可得； （3）设点表示的数为，利用数轴的性质可求出的值，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵以原点为折点，将这条数轴向右对折，此时点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，11． （2）解：由题意得：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴此时，， ∴ ， 所以的值不会随着时间的变化而改变． （3）解：设点表示的数为， 由题意得：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵以点为折点，将这条数轴向右对折，点落在数轴上的对应点为， ∴， 解得， ∴， 解得或， 答：当为4或时，线段的长度为5． 3．（24-25七年级上·山西·期中）综合与探究 数轴是一个非常重要是数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图1，在数轴上点表示，点表示数，点表示数，其中为绝对值最小的数，与满足． (1)______，______，______ (2)若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为________；若折叠纸面，使点与点重合，则与点重合的点表示的数为______． (3)如图2，在数轴上剪下到的部分（不考虑宽度），并把这部分沿点D所在的位置折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三部分．若这三部分的长度之比为，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)2，8 (3)3或5或7 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离及绝对值的非负性，数轴的翻折问题，解题的关键是分类讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求出，再根据绝对值的性质求出的值． （2）根据数轴上两点间距离及线段中点表示即可解决； （3）根据数轴上点的表示及线段中点定义即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为绝对值最小的数， ∴， 故答案为：． （2）解：根据（1）可得：点A表示的数是，点表示的数是0，点表示的数是10， 若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为； 若折叠纸面，使点A与点重合，则的中点为，即沿数4的点折叠纸面， 与点重合的点表示的数为； 故答案为：2，8． （3）解：∵线段，这三条线段的长度之比为， ∴， ∴这三条线段的长度分别为， 若剪下的从左到右第一条线段长为2，第2条线段长度也为2时， 则点，之间的距离：； 若剪下的从左到右第一条线段长为2，第2条线段长度为6， 则点，之间的距离为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为6，第2条线段长度为2， 则点，之间的距离为：； ∴点，之间的距离为3或5或7． 【考点26 利用绝对值的几何意义求最值】 1．（24-25六年级上·上海·期中）求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算．原式整理得，即表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和，求得在取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和， ∵（偶数）， ∴当为第2475、2476项所对应的数时，有最小值． 经计算：且， ∴当取得最小值， 原式 ． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或 (2)Q有最大值11 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论①、②、③即可求解； （3）先求出、的最小值，再求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ， 或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，； 综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数， 要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：， ， 的最小值为， 的最小值为： ． 此时的取值范围是． 【考点27 多绝对值的分类讨论问题】 1．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c． (1)若． ①请将a、b、c填入括号内．    ②化简． ③若点X在数轴上表示的数为x，则有最小值__________． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②；③； (2)2 【分析】（1）①根据，得到，故，根据数轴上靠近右边的数大于左边的数，填上即可．②根据，，判定，去绝对值化简计算即可．③根据两点之间线段最短，故当时，取得最小值，化简计算即可． （2）分两种情况计算． 【详解】（1）①∵， ∴， 故，填图如下：    ②∵，， ∴， ∴ ． ③∵， 根据两点之间线段最短， 故当时，有最小值， 且 ， 故答案为：． （2）当时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， 故不成立； 当时， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，数轴上有理数大小的比较，线段最短的应用，熟练掌握绝对值的化简，数的大小比较是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【考点28 由整式加减解决整除问题】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】（1）；789（答案不唯一）；（2），；（3）见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，读懂题意，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可；根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （2）根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； （3）把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； 再举出一个顺子数：789（答案不唯一）； 故答案为；789（答案不唯一）； （2）由题意得，； （3）证明： ， ∵，a是正整数， ∴为正整数， ∴顺子数都可以被3整除． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】(1)984，1；121， (2)342，284，684，742 【分析】本题考查新定义下的运算和整式加减的应用，解题的关键是掌握“好数”的特征． （1）根据“好数”的定义确定各个数位上的数字，然后根据的定义计算其值； （2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F的定义表示出和，再根据能被8整除来确定满足条件的数． 【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大， ∴百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8， ∴最大的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； 要使“好数”最小，百位数字应尽量小， ∴百位最小是1，个位数字最小是1， ∴十位数字是2， ∴最小的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， ∴， 交换t的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴， ∵t的各个数位上的数字和， ∴， ∵k能被8整除，即能被8整除， 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742． 【考点29 整式加减解决图形周长问题】 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 【答案】正方形 【分析】本题考查的是列代数式，整式加减的应用．设与的交点为X，与的交点为Y，则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形的周长和四边形的周长，接着可以求出六边形的周长-四边形的周长的值，即可得出结果． 【详解】解：设与的交点为X，与的交点为Y， 则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∴，，，，，，，， ∴四边形的周长， ∴六边形的周长 ， ∴六边形的周长-四边形的周长 ， ∴只要知道正方形的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差， ∴只要知道正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 2．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的加减等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． （1）由图可知：小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形的长为，宽为，阴影图形的长为9，宽为，故阴影图形和阴影图形的周长之和为 ，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3， ∴小长方形的长为， 答：小长方形的长为； （2）解：由图可得：阴影图形的长为，宽为； 阴影图形的长为9，宽为． 则阴影图形与阴影图形的周长之和为 ， 所以阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与a的值无关， 故若，能求出阴影图形与阴影图形的周长之和． 当时，， 故当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为． (1)如图，若，，，直接写出的面积____ ，的面积 ____； (2)如图，当，时，直接写出和的周长和是 ____ ； (3)如图，若大长方形分割为个小正方形，且中间的最小正方形的边长是，求大长方形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由图可得，，，，，再由矩形的面积公式求解即可； （）根据题意分别求出，，，，再由矩形的周长公式求解即可； （）设，利用的长建立等量关系，求出的值即可求解； 本题考查了整式加减的几何应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，由图可得，，， ∵， ∴， ∴的面积， ∵，， ∴的面积， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴的周长， 的周长， ∴和的周长和， 故答案为：； （3）解：设， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴大长方形的面积为． 【考点30 数轴与方程综合解决数轴动点问题】 1.（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 【答案】(1)1； (2)①；秒；②或4． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离的应用，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，设，则，再根据列方程，求解即可得点表示的数， （2）①结合图形可得，当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大，即可求出的最大值，根据，，可得持续的距离，从而列式求解即可；②本题求解时应根据当在之间时，点在之间时，根据是长方形面积一半列方程，可得结论． 【详解】（1）解：由图可得： ∴设，则， ∵ ∴， 解得：， ∵， ∴点表示的数为1． （2）解：①由图可得， ∵长方形，完全相同， ∴， ∴当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大， ∴重叠所形成的部分最大面积为：， ∵，， ∴持续的距离为， ∵长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行， ∴， 解得：， ∴最大值为，持续时间为秒． ②解：∵，， ∴长方形的面积为：， 当是长方形的面积的一半时，即面积为：， 当在之间时，如图： ∵，， ∴， ∴移动距离为 ∴， 解得： 当点在之间时，如图： 同理可得，移动距离为， ∴， 解得：， 综上可得：的值为或4． 2.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足． (1)则 ， ； (2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒． ①求点表示的数； ②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？ 【答案】(1)；12； (2)①7；②或或3或4 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①可求出点P从点A到C和从点C返回到点A的总时间为秒，设点C表示的数为x，则，根据时间等于路程除以速度建立方程求解即可；②先分从到，且点A在上运动和从到，且点A在上运动两种情况，根据数轴上两点距离计算公式建立方程求出此时t的值，进而得到点P运动到何处时，点到、、三点的距离之和为个单位；再求出点P在点B停留的时间，进而根据点P从点B返回到点A途中在何处时点到、、三点的距离之和为个单位建立方程求出此过程中t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由题意得，点P从点A到C和从点C返回到点A的总时间为秒， 设点C表示的数为x，则， ∴， 解得， ∴点C表示的数为7； 当从到，且点P在上运动时， 由题意得， 解得：，此时点P表示的数为， 当从到，且点P在上运动时， 由题意得， 解得：，即此时点P表示的数为； ∵从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒，秒， ∴停留时间为秒， ∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数10的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位， ∴此时； ∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数4的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位， ∴此时； 综上所述，当t的值为或或3或4时，点到、、三点的距离之和为个单位． 3. （24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为 ，点与点的中点为，则点表示的数为 ；运动秒后，点表示的数为 （用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算可求出的长，根据数轴上线段中点的计算公式可求出点表示的数，根据点的运动速度即可求出运动秒后，点表示的数； （2）秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分三种情况：①若为中点；②若为中点；③若为中点，分别列出方程求解即可； （3）当点在点右侧时，表示出、的长，再计算，整理成，令，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点表示数， ∴的距离为：； 又∵点表示数，点表示数，点为中点， ∴点表示的数为：； ∵点表示数，且以每秒个单位长度向左运动， ∴运动秒后，点表示的数为， 故答案为：；；； （2）由题意可知，秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 分三种情况： ①若为中点，则：， 解得：； ②若为中点，则：， 解得：； ③若为中点，则：， 解得：； 综上所述，当或或时，，，三点中恰有一点为另外两点的中点； （3）存在． ∵点在点右侧，点在点右侧， ∴，， ∴， 当，即时，结果与无关， 此时为定值， ∴存在常数使的值为定值． 【点睛】本题考查数轴，列代数式，两点间距离，正确理解题意，能用代数式表示出点所表示的数是解题的关键. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $