期中复习6大类型34个考点（举一反三期中专项训练）七年级数学上学期华东师大版2024

期中复习6大类型34个考点（前3章） 【华东师大版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 有理数的相关概念】 2 【考点2 科学记数法】 3 【考点3 近似数】 3 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 3 【考点5 代数式的值】 4 【考点6 单项式】 4 【考点7 多项式】 5 【考点8 同类项与合并同类项】 5 【考点9 认识立体图形】 5 【考点10 平行投影与中心投影】 6 【考点11 立体图形的视图】 7 【考点12 立体图形的表面展开图】 7 【考点13 点和线】 9 【考点14 直线、射线、线段】 10 【计算篇】 10 【考点15 有理数的混合运算】 10 【考点16 整式的加减与化简求值】 12 【实际应用篇】 13 【考点17 有理数的实际应用】 13 【考点18 整式加减的实际应用】 15 【规律与新定义篇】 16 【考点19 数式规律问题】 16 【考点20 图形规律问题】 18 【考点21 新定义问题】 19 【几何计算与证明篇】 20 【考点22 线段中点有关的计算】 20 【考点23 线段n等分点的有关的计算】 21 【考点24 与余角、补角有关的计算】 21 【考点25 角平分线的有关的计算】 22 【考点26 等n分线的有关的计算】 23 【压轴篇】 24 【考点27 数轴上的折叠与裁剪问题】 24 【考点28 利用绝对值的几何意义求最值】 26 【考点29 多绝对值的分类讨论问题】 26 【考点30 由整式加减解决整除问题】 27 【考点31 整式加减解决图形周长问题】 28 【考点32 数轴动点问题】 29 【考点33 与线段有关的动点问题】 30 【考点34 旋转成动角的计算】 31 【基础概念易错篇】 【考点1 有理数的相关概念】 1．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句正确的是（   ）． ①绝对值最小的数是0；②平方等于它本身的数只有1；③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大；④倒数等于本身的数有0和； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作万元，那么取出1万元记作 ． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列四个数：，其中负数的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（25-26七年级上·天津南开·阶段练习）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 6.（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时 C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时 【考点2 科学记数法】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）2021年9月15日晚8点，第十四届全运会开幕式在西安奥体中心举行．西安奥体中心是西北功能最齐备、规模最大的体育中心，“一场两馆”呈“品”字形布局，总建筑面积52.05万平方米，数据52.05万用科学记数法表示准确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）用科学记数法表示的数的原数为 ． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）据统计，2023年武汉经济技术开发区（汉南区）有常住人口67.68万人，将数据67.68万用科学记数法表示为的形式，则n的值是 ．（备注：1万） 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）按照央行发布的2024年金融统计数据，去年全国住户人民币存款增加了约14万亿元．一台点钞机的速度大约为每小时张，按每天点钞7小时计算，如果让点钞机点一遍14万亿面值为100元的人民币，一台点钞机大约要点 天． 【考点3 近似数】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 2．近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）将数（精确到百分位） ． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）数3.456用四舍五入法精确到0.1得到 ． 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 1．在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）社会热点情境 国产 游戏大作《黑神话：悟空》中的许多建筑物模型均是在全国各地古迹实地扫描出来的，作为古建大省的山西则被采集最多，因此山西成为众多游客的打卡圣地，其中国庆假期第一天隰（）县小西天景区接待游客m人（），第二天接待游客人数比第一天的2倍少3000人，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多接待的游客人数 B．两天一共接待的游客人数 C．第二天比第一天多接待的游客人数 D．第二天接待的游客人数 【考点5 代数式的值】 1．已知当，时，代数式的值是（      ） A． B．1 C． D．7 2．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【考点6 单项式】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【考点7 多项式】 1．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按的降幂排列为 ． 【考点8 同类项与合并同类项】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列代数式中，不是整式的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）写出代数式的一个同类项 ． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ． 5．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 6．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【考点9 认识立体图形】 1．下列说法不正确的是（    ）． ①长方体一定是柱体；②八棱柱有10个面；③六棱柱有12个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形． A．① B．④ C．①④ D．②③ 2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）下图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（    ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．棱锥 3．下列几何体中，棱柱有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【考点10 平行投影与中心投影】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．正方形 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”） 3．如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 【考点11 立体图形的视图】 1．如图，十个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的左视图是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，是某个几何体的三视图，则该几何体是（   ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 3．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝ ． 【考点12 立体图形的表面展开图】 1．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京石景山·期末）下列图形中，能由正方体纸盒展开后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的正方体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 4．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 【考点13 点和线】 1．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列三个日常现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） ①跳远测量 ②道路改道 ③固定木条 A．① B．② C．③ D．②③ 2．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 3．根据下图，下列说法中不正确的是（    ） A．图①中直线经过点 B．图②中直线，相交于点 C．图③中点在线段上 D．图④中射线与线段有公共点 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 ． 【考点14 直线、射线、线段】 1．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 3．如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【计算篇】 【考点15 有理数的混合运算】 1．（25-26七年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 4．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【考点16 整式的加减与化简求值】 1．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 5．（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【实际应用篇】 【考点17 有理数的实际应用】 1．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中） 怎样邮寄崇武鱼卷更经济？ 崇武鱼卷是泉州十大名小吃之一，以鱼肉为主料，可直接食用，也可切成片状调菜食用，还可切成片状、丝状经油炸或烹调加工制成各种花色品种． 泉小五家的崇武鱼卷每年通过网络进行包邮销售，因此需要支出较多快递费． 素材1 一客户在泉小五家定了10箱崇武鱼卷，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值(单位：千克) 0.3 0.1 −0.1 −0.2 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克)，续重(超过1千克的部分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据泉小五家常年的邮寄经验，包裹越大，崇武鱼卷受损率越高．一个包裹不超过20千克，崇武鱼卷几乎无受损；一个包裹质量超过20千克，不超过80千克，崇武鱼卷的受损率估计为；一个包裹质量在80千克至120千克之间，崇武鱼卷的受损率估计为，破损部分由泉小五家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱崇武鱼卷的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 今年崇武鱼卷的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．邮寄10箱崇武鱼卷哪种方案利润更高？ 任务3 结合任务2，请你设计一种邮寄方案，使得这10箱崇武鱼卷获利最大，并求出最大利润． 【考点18 整式加减的实际应用】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 2．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【规律与新定义篇】 【考点19 数式规律问题】 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 2．观察下列算式： ，…，根据上述算式中的规律，你认为的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25七年级上·广东茂名·期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（    ） A． B．m C． D． 4．探究规律，完成相关题目．薛老师说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”薛老师写出了一些按照※运算法则进行运算的式子： ； ； ； ； ； ． 请你按照薛老师的运算法则计算： ． 5．（24-25七年级上·河南新乡·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历 年． 6．观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【考点20 图形规律问题】 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，根据图中方格内数的规律，的值是（    ） A．30 B． C．18 D．2 2．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则 cm． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是由相同大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，……，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为（   ） A．75个 B．72个 C．69个 D．66个 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 6.（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，）是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【考点21 新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 2．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【几何计算与证明篇】 【考点22 线段中点有关的计算】 1．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【考点23 线段n等分点的有关的计算】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 3．如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【考点24 与余角、补角有关的计算】 1．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 2．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【考点25 角平分线的有关的计算】 1．如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【考点26 等n分线的有关的计算】 1．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 2．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 3．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【压轴篇】 【考点27 数轴上的折叠与裁剪问题】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）数形结合在数学学习中至关重要．数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图1，第一小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合； ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示m的点与表示________的点重合；（用含m的代数式表示） (2)如图2，第二小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合； ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点A与点B重合（点A在点B的左侧），且点A与点B之间的距离为8，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)如图3，第三小组的同学将数轴对折，使数a表示的点C与数b表示的点D重合，经对折后数轴上的点E与点F重合（点E在点F的左侧），且点E和点F之间的距离为12，则点E表示的数为________，点F表示的数为________．（用含a，b的代数式表示） 2．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，从左往右依次有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，已知，如果以原点O为折点，将这条数轴向右对折，此时点A与点B重合，且． (1)填空： ， ． (2)若点C以每秒4个单位长度的速度向右运动，与此同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)在（2）的条件下，以点B为折点，将这条数轴向右对折，点A落在数轴上的对应点为M，当t为何值时，线段的长度为5？ 3．（24-25七年级上·山西·期中）综合与探究 数轴是一个非常重要是数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图1，在数轴上点表示，点表示数，点表示数，其中为绝对值最小的数，与满足． (1)______，______，______ (2)若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为________；若折叠纸面，使点与点重合，则与点重合的点表示的数为______． (3)如图2，在数轴上剪下到的部分（不考虑宽度），并把这部分沿点D所在的位置折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三部分．若这三部分的长度之比为，求点，之间的距离． 【考点28 利用绝对值的几何意义求最值】 1．（24-25六年级上·上海·期中）求的最小值． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【考点29 多绝对值的分类讨论问题】 1．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c． (1)若． ①请将a、b、c填入括号内．    ②化简． ③若点X在数轴上表示的数为x，则有最小值__________． (2)若，且，求的值． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【考点30 由整式加减解决整除问题】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【考点31 整式加减解决图形周长问题】 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 2．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为． (1)如图，若，，，直接写出的面积____ ，的面积 ____； (2)如图，当，时，直接写出和的周长和是 ____ ； (3)如图，若大长方形分割为个小正方形，且中间的最小正方形的边长是，求大长方形的面积． 【考点32 数轴动点问题】 1.（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 2.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足． (1)则 ， ； (2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒． ①求点表示的数； ②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？ 3. （24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为 ，点与点的中点为，则点表示的数为 ；运动秒后，点表示的数为 （用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【考点33 与线段有关的动点问题】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 【考点34 旋转成动角的计算】 1．【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 2．已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 3．已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，． (1)若，则______________； (2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习6大类型34个考点（前3章） 【华东师大版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 有理数的相关概念】 2 【考点2 科学记数法】 5 【考点3 近似数】 6 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 7 【考点5 代数式的值】 8 【考点6 单项式】 10 【考点7 多项式】 11 【考点8 同类项与合并同类项】 12 【考点9 认识立体图形】 14 【考点10 平行投影与中心投影】 16 【考点11 立体图形的视图】 17 【考点12 立体图形的表面展开图】 19 【考点13 点和线】 21 【考点14 直线、射线、线段】 24 【计算篇】 25 【考点15 有理数的混合运算】 25 【考点16 整式的加减与化简求值】 29 【实际应用篇】 33 【考点17 有理数的实际应用】 33 【考点18 整式加减的实际应用】 38 【规律与新定义篇】 42 【考点19 数式规律问题】 42 【考点20 图形规律问题】 46 【考点21 新定义问题】 50 【几何计算与证明篇】 54 【考点22 线段中点有关的计算】 54 【考点23 线段n等分点的有关的计算】 56 【考点24 与余角、补角有关的计算】 59 【考点25 角平分线的有关的计算】 63 【考点26 等n分线的有关的计算】 66 【压轴篇】 70 【考点27 数轴上的折叠与裁剪问题】 70 【考点28 利用绝对值的几何意义求最值】 74 【考点29 多绝对值的分类讨论问题】 76 【考点30 由整式加减解决整除问题】 80 【考点31 整式加减解决图形周长问题】 83 【考点32 数轴动点问题】 86 【考点33 与线段有关的动点问题】 91 【考点34 旋转成动角的计算】 95 【基础概念易错篇】 【考点1 有理数的相关概念】 1．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句正确的是（   ）． ①绝对值最小的数是0；②平方等于它本身的数只有1；③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大；④倒数等于本身的数有0和； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，倒数，绝对值的定义，有理数的乘方计算，根据绝对值的非负性可判断①；根据平方的定义可判断②；根据有理数与数轴的关系可判断③；根据乘积为1的两个数互为倒数可判断④． 【详解】解：①绝对值最小的数是0，原说法正确； ②平方等于它本身的数只有1和0，原说法错误； ③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数的绝对值就越大，不代表这个有理数越大，原说法错误； ④倒数等于本身的数有，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选；D． 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作万元，那么取出1万元记作 ． 【答案】万元 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：把存入3万元记作+3万元，那么取出1万元记作万元 ， 故答案为：万元． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列四个数：，其中负数的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，化简多重符号，绝对值，熟练地化简各数再作判断是解本题的关键． 先化简各数，再确定负数的个数． 【详解】解：，，，， ∴负数有2个， 故选：C． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查绝对值非负性，理解题意是解决问题的关键． 由题意可知，当最小时，式子存在最大值，再结合可得当时，取得最大值，为，即可得到答案． 【详解】解：当最小时，式子存在最大值， ， 当时，取得最大值，为， 故选：B． 5．（25-26七年级上·天津南开·阶段练习）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，根据相反数、倒数的定义和绝对值的意义求出、和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， 当时， ； 当时， ； ∴或， 故答案为：或． 6.（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时 C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时 【答案】B 【分析】本题考查数轴的应用，涉及利用数轴比较有理数大小，根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其他四个城市时间差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 当北京时间是20时，对应： 纽约时间比北京时间早13个小时； 伦敦时间比北京时间早8个小时； 巴黎时间比北京时间早7个小时； 汉城时间比北京时间晚1个小时； 北京时间2025年10月1日20时，对应： 纽约时间是当天早上7时； 伦敦时间是当天中午12时； 巴黎时间是当天下午13时； 汉城时间是当天晚上21时． 故选：B． 【考点2 科学记数法】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）2021年9月15日晚8点，第十四届全运会开幕式在西安奥体中心举行．西安奥体中心是西北功能最齐备、规模最大的体育中心，“一场两馆”呈“品”字形布局，总建筑面积52.05万平方米，数据52.05万用科学记数法表示准确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：52.05万， 故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）用科学记数法表示的数的原数为 ． 【答案】202400 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握用科学记数法表示数的方法．将小数点往右移5位即可得到原数． 【详解】解： 故答案为：202400． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）据统计，2023年武汉经济技术开发区（汉南区）有常住人口67.68万人，将数据67.68万用科学记数法表示为的形式，则n的值是 ．（备注：1万） 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定a、n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，把67.68万写成科学记数法形式，由此即可求解． 【详解】解：67.68万， 则n的值是5， 故答案为：5． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）按照央行发布的2024年金融统计数据，去年全国住户人民币存款增加了约14万亿元．一台点钞机的速度大约为每小时张，按每天点钞7小时计算，如果让点钞机点一遍14万亿面值为100元的人民币，一台点钞机大约要点 天． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键．先算出14万亿元人民币的张数，再根据同底数幂的除法法则以及科学记数法即可解答． 【详解】解：14万亿元， 即14万亿面值为100元的人民币为张， （天）． 故答案为：． 【考点3 近似数】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、自然常数精确到十分位是，该选项符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到千分位是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意， 故选：． 2．近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【详解】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 3．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）将数（精确到百分位） ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握精确到哪一位，就是对这位数后边的数位按照四舍五入原则处理是解决问题的关键．根据四舍五入原则，将精确到百分位，就是将百分位以后的数位四舍五入，从而确定答案． 【详解】解：将数（精确到百分位）为 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）数3.456用四舍五入法精确到0.1得到 ． 【答案】3.5 【分析】本题考查求一个数的近似数，利用四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：3.5． 【考点4 代数式的概念及其书写规则】 1．在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念．代数式即用运算符号把数与字母连接起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可． 【详解】解：在，0，π，，，，中， 代数式有：0，π，，，，，共6个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）社会热点情境 国产 游戏大作《黑神话：悟空》中的许多建筑物模型均是在全国各地古迹实地扫描出来的，作为古建大省的山西则被采集最多，因此山西成为众多游客的打卡圣地，其中国庆假期第一天隰（）县小西天景区接待游客m人（），第二天接待游客人数比第一天的2倍少3000人，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多接待的游客人数 B．两天一共接待的游客人数 C．第二天比第一天多接待的游客人数 D．第二天接待的游客人数 【答案】C 【分析】本题考查的是列代数式，代数式的意义，由题意可得第二天接待的游客人数为人，结合，进一步分析即可． 【详解】解：第一天景区接待游客m人，因为第二天接待游客人数比第一天的2倍少3000人， 所以第二天接待的游客人数为人， 所以第二天比第一天多接待的游客人数为人， 所以代数式“”表示的意义是第二天比第一天多接待的游客人数． 故选：C 【考点5 代数式的值】 1．已知当，时，代数式的值是（      ） A． B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，将，代入计算即可求出值． 【详解】解：当，时，， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是发现所求代数式与已知代数式的倍数关系，将作为整体进行计算． 由已知代数式，先求出的值；再观察到，代入的值计算出，最后减去3得到所求代数式的值，与选项匹配． 【详解】解：∵， ∴； 又∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得当时，，故继续输入， 当时，，故输出的值为8． 故选：C． 【考点6 单项式】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【答案】A 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原说法正确，符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是次单项式，原说法错误，不符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 【考点7 多项式】 1．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的判断， 根据多项式和单项式的定义解答即可．数字和字母的乘积是单项式，单独的数也是单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】代数式是单项式； 是多项式， 多项式有3个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式不含项，则其系数为零，即可求出k的值，进而求出所求代数式的值． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按的降幂排列为：． 故答案为：． 【考点8 同类项与合并同类项】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列代数式中，不是整式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式：整式是单项式和多项式的统称，其分母中不含字母，熟记整式的定义是解题关键．根据整式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是多项式，是整式，则此项不符合题意； B、是多项式，是整式，则此项不符合题意； C、是多项式，是整式，则此项不符合题意； D、的分母中含有字母，不是整式，则此项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 3．（24-25七年级上·吉林·期末）写出代数式的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 根据同类项的概念求解即可，答案不唯一． 【详解】解∶∵代数式的字母部分为， ∴代数式的同类项的字母部分为， ∴是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，即“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”，属于基础题型，关键要令相同字母的指数相等列式计算．根据同类项的定义“相同字母的指数相等”，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，先把减法转化为加法，再合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，单项式的定义等知识点．由题意可知，求值即可． 【详解】解：， ∵代数式为单项式， ∴， ∴． 故答案为：1． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【答案】或 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．根据题意，得到或，得到系数和指数的对应关系，求出，的值，得到结果． 【详解】解：单项式与多项式和是单项式， 当时， ，， ，， 当， ，， ∴，， ． 综上所述：或 故答案为：或． 【考点9 认识立体图形】 1．下列说法不正确的是（    ）． ①长方体一定是柱体；②八棱柱有10个面；③六棱柱有12个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形． A．① B．④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据柱体、棱柱的性质、截一个几何体的特点逐个判断即可得． 【详解】解：①长方体一定是柱体，则原说法正确； ②八棱柱有个面，则原说法正确； ③六棱柱有个顶点，则原说法正确； ④反例：正方体的面都是正方形，但用一个平面去截正方体，得到的图形可能是三角形，则原说法不正确； 综上，说法不正确的是④， 故选：B． 【点睛】本题考查了棱柱的性质、截一个几何体，熟练掌握截一个几何体的特点是解题关键． 2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）下图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（    ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．棱锥 【答案】D 【分析】本题考查的是简单几何体的识别，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； 根据棱柱，球，圆锥的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆柱，没有棱锥 故选：D 3．下列几何体中，棱柱有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：第一个图是四棱柱，第二个图是圆柱，第三个图是圆锥，第四个图是四棱柱，第五个图是球，第六个图是三棱柱，其中棱柱有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的概念． 4．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【考点10 平行投影与中心投影】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影的应用，解题的关键是熟练掌握平行投影的概念． 同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，根据圆形物体在阳光下的投影，可知在地面上所形成的影子的形状不可能是哪种图形． 【详解】解：当硬币与光线平行时，投影是线段；当硬币面与光线垂直时，投影是圆；其余都是椭圆， 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律， 熟记中心投影的特点和规律是解题的关键． 平行投影的影子只能在同侧，中心投影的影子可以在两侧，根据中心投影的特点解答即可． 【详解】解：∵两根木杆的影子方向不同， ∴这是中心投影． 故答案为：中心． 3．如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了投影的性质，熟练掌握相关概念与性质是解题关键． 由题意易得，某同学离光源是由近到远的过程，根据中心投影的特点，得到身影的变化特点即可解答． 【详解】解：某同学在路灯下由近及远向，离路灯越来越远，其影子应该逐渐变长． 故选：C． 【考点11 立体图形的视图】 1．如图，十个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的左视图是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图即可． 由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行分析可得答案． 【详解】解：从左边看第一列是两个小正方形，第二列是三个小正方形，第三列是两个小正方形， 故选：A． 2．如图，是某个几何体的三视图，则该几何体是（   ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱． 故选：C． 3．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝ ． 【答案】16 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形． 【详解】易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体， m＝4＋3＋2＝9，n＝4＋2＋1＝7， 所以m＋n＝9＋7＝16． 故答案为：16． 【点睛】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 【考点12 立体图形的表面展开图】 1．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键． 根据几何体的展开图，可得答案． 【详解】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误，不符合题意； B、不能折成圆锥，故选项错误，不符合题意； C、能折成圆柱，故选项正确，符合题意； D、不能折成三棱柱，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京石景山·期末）下列图形中，能由正方体纸盒展开后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的展开图即可得出答案，掌握正方体的展开图是解题的关键 【详解】 解：由题意可知，上面四个图形中，能由正方体纸盒展开后得到的图形是， 故选：B． 3．如图所示的正方体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟知正方体展开图的各种情形是解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图求解即可． 【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征，B选项折叠后“菱形”和“圆”是相对面且在上面和下面；C选项折叠后“五角星”在正前面时，“圆”在下面，D选项折叠后，当“菱形”和“圆”在左侧和右侧且相对．在正面时，“正方形”在上面，“圆”在右侧面，故选项B、C、D均不合题意， ∴是该正方体的展开图的是A选项． 故选：A． 4．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 5．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了正方体的展开图，熟练掌握空间想象能力是解题的关键． 一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点，再“马走日”一次，就与原数字重合，由此即可求解． 【详解】解：由正方体展开图的特点可得，一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点， 再“马走日”一次，就与原数字重合． 所以数字6“马走日”一次到数字9，数字9“马走日”一次到2， 所以与数字6重合的是数字2． 故答案为：． 【考点13 点和线】 1．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列三个日常现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） ①跳远测量 ②道路改道 ③固定木条 A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了“两点之间，线段最短” “垂线段最短” “两点确定一条直线”这些基本事实，熟练区分不同基本事实的应用场景是解题的关键．分别分析每个现象所用到的数学原理，判断是否符合“两点之间，线段最短”即可 ． 【详解】解：跳远测量是利用“垂线段最短”，从起跳点向起跳线作垂线段，测量垂线段长度，并非“两点之间，线段最短”． 道路改道让A地到B地的路径更接近线段， ∵ 两点之间，线段最短，这样能缩短路程 ， ∴ 道路改道可用“两点之间，线段最短”解释． 固定木条是利用“两点确定一条直线”，通过两个点固定木条位置，不是“两点之间，线段最短”． 综上，只有②可用“两点之间，线段最短”解释， 故选：B ． 2．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 3．根据下图，下列说法中不正确的是（    ） A．图①中直线经过点 B．图②中直线，相交于点 C．图③中点在线段上 D．图④中射线与线段有公共点 【答案】C 【分析】根据点和直线的位置关系、射线和线段的延伸性、直线与直线相交的表示方法等知识点对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、图①中直线l经过点A，正确； B、图②中直线a、b相交于点A，正确； C、图③中点C在线段AB外，故本选项错误； D、图④中射线CD与线段AB有公共点，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查直线、射线、线段，解题关键是熟练掌握点和直线的位置关系，射线和线段的延伸性，直线与直线相交的表示方法等． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【考点14 直线、射线、线段】 1．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段、直线的定义知识点，掌握相关定义成为解题的关键． 根据基本作图的方法、逐项分析即可解答． 【详解】解：A、直线没有长度，故 A 选项错误，不符合题意； B、射线没有长度，故 B 选项错误，不符合题意； C、延长线段到点C，说法正确，符合题意； D、三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 【计算篇】 【考点15 有理数的混合运算】 1．（25-26七年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）先进行乘法运算，再进行加法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）按照混合运算顺序计算，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 4．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 【考点16 整式的加减与化简求值】 1．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算及求值、绝对值及平方的非负性， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据绝对值及平方的非负性求出a、b值，再进行整式加减运算并代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ， 当时， ． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 【答案】(1) (2)， (3)，，原式 【分析】（）把的值代入，再去括号、合并同类项即可； （）由题意可得，即得，进而根据多项式相等的条件即可求解； （）先化简整式，再根据计算的最后结果与的取值无关， 可得含项的系数为，进而求出的值及整式的最后结果； 本题考查了整式的加减，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入式子得， 原式 ； （2）解：由题意得，， ∴， 即， ∴，； （3）解：， ∵计算的最后结果与的取值无关， ∴，， ∴，， 此时原式． 5．（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先根据整式的加减计算法则求出，据此利用整体代入法计算求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项把原多项式化简为，再根据不含项得到，则． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当，时，原式； （2） ， ∵关于x，y的多项式的结果中不含项， ∴， ∴． 【实际应用篇】 【考点17 有理数的实际应用】 1．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【详解】（1）解：最多的一天：，最少的一天： ， 故答案为： （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了 （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 【答案】(1)一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元 (2)按照方案二购买较为合算，见解析 【分析】本题主要考查了方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和对应的算式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元，根据买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元建立方程求解即可； （2）根据所给的优惠方案，分别计算出三种优惠方案下的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元， 根据题意，得，     解得，     ∴． 答：一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元． （2）解：方案一：（元）． 方案二：元， ， （元）．     方案三：（元）．         ， 按照方案二购买较为合算． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：露营基地在家的西边处；任务2：14元；任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：先求出水果店到奶茶店的原价费用和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券进行计算即可． 【详解】解：任务1：由题意可得：， 答：露营基地在家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：炸鸡店到面包店所需费用14元； 任务3:：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元）， 奶茶店到露营基地的原价费用为（元）， 则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，（元） 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费元． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中） 怎样邮寄崇武鱼卷更经济？ 崇武鱼卷是泉州十大名小吃之一，以鱼肉为主料，可直接食用，也可切成片状调菜食用，还可切成片状、丝状经油炸或烹调加工制成各种花色品种． 泉小五家的崇武鱼卷每年通过网络进行包邮销售，因此需要支出较多快递费． 素材1 一客户在泉小五家定了10箱崇武鱼卷，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值(单位：千克) 0.3 0.1 −0.1 −0.2 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克)，续重(超过1千克的部分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据泉小五家常年的邮寄经验，包裹越大，崇武鱼卷受损率越高．一个包裹不超过20千克，崇武鱼卷几乎无受损；一个包裹质量超过20千克，不超过80千克，崇武鱼卷的受损率估计为；一个包裹质量在80千克至120千克之间，崇武鱼卷的受损率估计为，破损部分由泉小五家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱崇武鱼卷的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 今年崇武鱼卷的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．邮寄10箱崇武鱼卷哪种方案利润更高？ 任务3 结合任务2，请你设计一种邮寄方案，使得这10箱崇武鱼卷获利最大，并求出最大利润． 【答案】任务1：这10箱崇武鱼卷的总质量为100千克；任务2：方案一利润更高；任务3：见解析，362(元) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可； 任务3：将重量为千克和一箱千克的崇武鱼卷单独邮寄，剩下箱两两打包为个千克的包裹和个千克的包裹，再计算邮费，进而求得最大利润． 【详解】解：任务：千克， 这箱崇武鱼卷的总质量为千克；    任务：由表格可得，，，，， 箱崇武鱼卷中重量为的有箱，重量为的有箱，重量为的有箱，重量为的有箱， 方案一： ， 邮寄箱崇武鱼卷的利润为元；     方案二： 这箱崇武鱼卷的总质量为千克， ， 邮寄箱崇武鱼卷的利润为元； ， 方案一利润更高．    任务：将重量为千克和一箱千克的崇武鱼卷单独邮寄，剩下箱两两打包为个千克的包裹和个千克的包裹， 则邮费为： 元，    利润为 元． 【考点18 整式加减的实际应用】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 【答案】(1)选择春光旅行社所需的总费用为元；选择华夏旅行社所需的总费用为元 (2)选择春光旅行社较为合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用是解题的关键. 利用总价单价数量，结合两旅行社给出的收费标准，即可用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用； 选择春光旅行社较为合算，将的两代数式作差，结合，可得出，即，进而可得出选择春光旅行社较为合算． 【详解】（1）解：根据题意得：选择春光旅行社所需的总费用为元； 选择华夏旅行社所需的总费用为元； （2）选择春光旅行社较为合算，理由如下： ， ， ， ， 即， 选择春光旅行社较为合算． 2．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3）解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 【规律与新定义篇】 【考点19 数式规律问题】 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是单项式的规律题，根据题意可得规律，第个单项式为，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第个单项式的系数为，次数为， ∴第个单项式为， 第6个单项式为． 故选：B． 2．观察下列算式： ，…，根据上述算式中的规律，你认为的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】通过已知数据发现个位数字分别是2、4、8、6、2、4、8、6……四个一循环， 【详解】解：通过观察发现，个位数字分别是2、4、8、6、2、4、8、6……四个一循环，所以的个位数字和的个位数字相同是6． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方和数字规律，准确分析计算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东茂名·期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（    ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，规律的探究，通过运算发现式子的规律是解题的关键． 根据整式串的运算，得到整式串的和的规律，即可得到结果． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，，和为， 第2次操作后得到整式串m，n，，，和为， 第3次操作后得到整式串m，n，，，，和为， 第4次操作后得到整式串m，n，，，，，和为0， 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，m，和为m， 第6次操作后得到整式串m，n，，，，，m，n，和为， 第7次操作后得到整式串m，n，，，，，m，n，，和为， 第8次操作后得到整式串m，n，，，，，m，n，，，和为， …… 观察可以得到第7次操作后的整式串的和与第1次操作后的和相同， ∴每6次操作后，整式串的和重复一次， ∵， ∴2024次操作后得到的整式串各项之和与第2次操作后的整式串的和的结果一样，为， 故选：C． 4．探究规律，完成相关题目．薛老师说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”薛老师写出了一些按照※运算法则进行运算的式子： ； ； ； ； ； ． 请你按照薛老师的运算法则计算： ． 【答案】4043 【分析】根据题意可以得到可以得到的运算法则为：两数进行运算时，同号得负，异号得正，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解：，，，，，， 由此可以得到的运算法则为：两数进行运算时，同号得负，异号得正，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数， ∴， 故答案为：4043． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够根据题意找到的运算法则． 5．（24-25七年级上·河南新乡·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历 年． 【答案】乙巳 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：天干为：， 地支为：， ∴2025年为农历乙巳年； 故答案为：乙巳． 6．观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 【考点20 图形规律问题】 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，根据图中方格内数的规律，的值是（    ） A．30 B． C．18 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探索，根据图形可得肩上的两个数之和为顶部的数据，列出式子，，求出结果即可． 【详解】解：由图像可知，肩上的两个数之和为顶部的数据， ，， 解得：， ， 故选：B． 2．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则 cm． 【答案】2或6/6或2 【分析】题目主要考查线段的和差计算，根据题意分两种情况讨论：当点P在线段之间时；当点P在的反向延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段之间时， 根据题意可得：，即， ∴ ∴cm； 当点P在的反向延长线上时，如图所示： 根据题意得：，即， ∴cm； 故答案为：2或6． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是由相同大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，……，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为（   ） A．75个 B．72个 C．69个 D．66个 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通用公式，然后代入求解即可． 【详解】解：观察图形得： 第①个图形有个圆圈， 第②个图形有个圆圈， 第③个图形有个圆圈， … 第n个图形有个圆圈， 当时，个圆圈， 故选：A． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 6.（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，）是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离，，准确分析计算是解题的关键．根据题意得出表示的数为，则点表示的数为，在得出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， …… 表示的数为， ∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， 故选：D． 【考点21 新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的加减混合运算，数轴上两点的距离，绝对值的化简，相反数的定义，理解新定义运算规则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算规则直接计算即可； （2）先根据数轴上两点的距离和相反数的定义得出x，y的值，然后根据新定义计算，最后计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或6， 是的相反数，且， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为或． 2．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是； (2)是； (3)． 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算、代数式求值、整式的加减运算等知识点，理解“共生有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （2）根据“共生有理数对”的定义可求出，从而通过计算可证，即得出是 “共生有理数对”； （3）根据“共生有理数对”的定义可求出，即可求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴数对不是“共生有理数对”； （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∴， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：是． （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 【几何计算与证明篇】 【考点22 线段中点有关的计算】 1．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据线段的定义，有两个端点，根据题目所给线段，枚举出所有线段即可； （2）根据点B为的中点，，即可求得的长； （3）分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在延长线上时，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：图中的线段有共6条， 故答案为：6； （2）解：∵点B为的中点，， ∴． ∵， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图（1），当点E在上时， ∵， ∴； ②如图（2），当点E在延长线上时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了线段和、差的运算及线段中点的概念，解答本题的关键是熟练掌握线段中点的概念及性质． （1）根据M，N分别为的中点可得，，再由即可求解； （2）先由 、 求出 ，再依据中点性质表示出和 ，最后计算两者比值． 【详解】（1）解：∵M是的中点， ∴， ∵N是CB的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵、分别为、的中点． ∴， ∴． 【考点23 线段n等分点的有关的计算】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 3．如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 【考点24 与余角、补角有关的计算】 1．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 2．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了角平分线定义和角度的和差计算． （1）求出，求出是平分线，求出即可； （2）求出，根据角平分线的定义求出； （3）求出，内部画和在内部画，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【考点25 角平分线的有关的计算】 1．如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解； （）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算；能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解； （2）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解； （3）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 平分， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ； （3）解： ，， ， 平分， ， ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 【考点26 等n分线的有关的计算】 1．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 2．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或 ，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 【压轴篇】 【考点27 数轴上的折叠与裁剪问题】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）数形结合在数学学习中至关重要．数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图1，第一小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合； ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示m的点与表示________的点重合；（用含m的代数式表示） (2)如图2，第二小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合； ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点A与点B重合（点A在点B的左侧），且点A与点B之间的距离为8，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)如图3，第三小组的同学将数轴对折，使数a表示的点C与数b表示的点D重合，经对折后数轴上的点E与点F重合（点E在点F的左侧），且点E和点F之间的距离为12，则点E表示的数为________，点F表示的数为________．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①，②，5； (3)， 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可求得，两点表示的数； （3）利用，表示出对折点，再根据点和点之间的距离为20，利用数轴的定义即可表示出，． 【详解】（1）解：对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数为， 故答案为：①，②； （2）对折点为， 对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 点和点之间的距离为12， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 2．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，从左往右依次有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，已知，如果以原点O为折点，将这条数轴向右对折，此时点A与点B重合，且． (1)填空： ， ． (2)若点C以每秒4个单位长度的速度向右运动，与此同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)在（2）的条件下，以点B为折点，将这条数轴向右对折，点A落在数轴上的对应点为M，当t为何值时，线段的长度为5？ 【答案】(1)，11 (2)的值不会随着时间的变化而改变，理由见解析 (3)4或 【分析】本题考查了数轴、整式的加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先求出，再根据数轴的性质求解即可得； （2）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据数轴的性质可得，的长，由此即可得； （3）设点表示的数为，利用数轴的性质可求出的值，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵以原点为折点，将这条数轴向右对折，此时点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，11． （2）解：由题意得：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴此时，， ∴ ， 所以的值不会随着时间的变化而改变． （3）解：设点表示的数为， 由题意得：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵以点为折点，将这条数轴向右对折，点落在数轴上的对应点为， ∴， 解得， ∴， 解得或， 答：当为4或时，线段的长度为5． 3．（24-25七年级上·山西·期中）综合与探究 数轴是一个非常重要是数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图1，在数轴上点表示，点表示数，点表示数，其中为绝对值最小的数，与满足． (1)______，______，______ (2)若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为________；若折叠纸面，使点与点重合，则与点重合的点表示的数为______． (3)如图2，在数轴上剪下到的部分（不考虑宽度），并把这部分沿点D所在的位置折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三部分．若这三部分的长度之比为，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)2，8 (3)3或5或7 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离及绝对值的非负性，数轴的翻折问题，解题的关键是分类讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求出，再根据绝对值的性质求出的值． （2）根据数轴上两点间距离及线段中点表示即可解决； （3）根据数轴上点的表示及线段中点定义即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为绝对值最小的数， ∴， 故答案为：． （2）解：根据（1）可得：点A表示的数是，点表示的数是0，点表示的数是10， 若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为； 若折叠纸面，使点A与点重合，则的中点为，即沿数4的点折叠纸面， 与点重合的点表示的数为； 故答案为：2，8． （3）解：∵线段，这三条线段的长度之比为， ∴， ∴这三条线段的长度分别为， 若剪下的从左到右第一条线段长为2，第2条线段长度也为2时， 则点，之间的距离：； 若剪下的从左到右第一条线段长为2，第2条线段长度为6， 则点，之间的距离为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为6，第2条线段长度为2， 则点，之间的距离为：； ∴点，之间的距离为3或5或7． 【考点28 利用绝对值的几何意义求最值】 1．（24-25六年级上·上海·期中）求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算．原式整理得，即表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和，求得在取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和， ∵（偶数）， ∴当为第2475、2476项所对应的数时，有最小值． 经计算：且， ∴当取得最小值， 原式 ． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或 (2)Q有最大值11 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论①、②、③即可求解； （3）先求出、的最小值，再求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ， 或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，； 综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数， 要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：， ， 的最小值为， 的最小值为： ． 此时的取值范围是． 【考点29 多绝对值的分类讨论问题】 1．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c． (1)若． ①请将a、b、c填入括号内．    ②化简． ③若点X在数轴上表示的数为x，则有最小值__________． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②；③； (2)2 【分析】（1）①根据，得到，故，根据数轴上靠近右边的数大于左边的数，填上即可．②根据，，判定，去绝对值化简计算即可．③根据两点之间线段最短，故当时，取得最小值，化简计算即可． （2）分两种情况计算． 【详解】（1）①∵， ∴， 故，填图如下：    ②∵，， ∴， ∴ ． ③∵， 根据两点之间线段最短， 故当时，有最小值， 且 ， 故答案为：． （2）当时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， 故不成立； 当时， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，数轴上有理数大小的比较，线段最短的应用，熟练掌握绝对值的化简，数的大小比较是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【考点30 由整式加减解决整除问题】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】（1）；789（答案不唯一）；（2），；（3）见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，读懂题意，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可；根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （2）根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； （3）把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； 再举出一个顺子数：789（答案不唯一）； 故答案为；789（答案不唯一）； （2）由题意得，； （3）证明： ， ∵，a是正整数， ∴为正整数， ∴顺子数都可以被3整除． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】(1)984，1；121， (2)342，284，684，742 【分析】本题考查新定义下的运算和整式加减的应用，解题的关键是掌握“好数”的特征． （1）根据“好数”的定义确定各个数位上的数字，然后根据的定义计算其值； （2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F的定义表示出和，再根据能被8整除来确定满足条件的数． 【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大， ∴百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8， ∴最大的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； 要使“好数”最小，百位数字应尽量小， ∴百位最小是1，个位数字最小是1， ∴十位数字是2， ∴最小的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， ∴， 交换t的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴， ∵t的各个数位上的数字和， ∴， ∵k能被8整除，即能被8整除， 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742． 【考点31 整式加减解决图形周长问题】 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 【答案】正方形 【分析】本题考查的是列代数式，整式加减的应用．设与的交点为X，与的交点为Y，则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形的周长和四边形的周长，接着可以求出六边形的周长-四边形的周长的值，即可得出结果． 【详解】解：设与的交点为X，与的交点为Y， 则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∴，，，，，，，， ∴四边形的周长， ∴六边形的周长 ， ∴六边形的周长-四边形的周长 ， ∴只要知道正方形的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差， ∴只要知道正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 2．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的加减等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． （1）由图可知：小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形的长为，宽为，阴影图形的长为9，宽为，故阴影图形和阴影图形的周长之和为 ，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3， ∴小长方形的长为， 答：小长方形的长为； （2）解：由图可得：阴影图形的长为，宽为； 阴影图形的长为9，宽为． 则阴影图形与阴影图形的周长之和为 ， 所以阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与a的值无关， 故若，能求出阴影图形与阴影图形的周长之和． 当时，， 故当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为． (1)如图，若，，，直接写出的面积____ ，的面积 ____； (2)如图，当，时，直接写出和的周长和是 ____ ； (3)如图，若大长方形分割为个小正方形，且中间的最小正方形的边长是，求大长方形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由图可得，，，，，再由矩形的面积公式求解即可； （）根据题意分别求出，，，，再由矩形的周长公式求解即可； （）设，利用的长建立等量关系，求出的值即可求解； 本题考查了整式加减的几何应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，由图可得，，， ∵， ∴， ∴的面积， ∵，， ∴的面积， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴的周长， 的周长， ∴和的周长和， 故答案为：； （3）解：设， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴大长方形的面积为． 【考点32 数轴动点问题】 1.（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 【答案】(1)1； (2)①；秒；②或4． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离的应用，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，设，则，再根据列方程，求解即可得点表示的数， （2）①结合图形可得，当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大，即可求出的最大值，根据，，可得持续的距离，从而列式求解即可；②本题求解时应根据当在之间时，点在之间时，根据是长方形面积一半列方程，可得结论． 【详解】（1）解：由图可得： ∴设，则， ∵ ∴， 解得：， ∵， ∴点表示的数为1． （2）解：①由图可得， ∵长方形，完全相同， ∴， ∴当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大， ∴重叠所形成的部分最大面积为：， ∵，， ∴持续的距离为， ∵长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行， ∴， 解得：， ∴最大值为，持续时间为秒． ②解：∵，， ∴长方形的面积为：， 当是长方形的面积的一半时，即面积为：， 当在之间时，如图： ∵，， ∴， ∴移动距离为 ∴， 解得： 当点在之间时，如图： 同理可得，移动距离为， ∴， 解得：， 综上可得：的值为或4． 2.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足． (1)则 ， ； (2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒． ①求点表示的数； ②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？ 【答案】(1)；12； (2)①7；②或或3或4 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①可求出点P从点A到C和从点C返回到点A的总时间为秒，设点C表示的数为x，则，根据时间等于路程除以速度建立方程求解即可；②先分从到，且点A在上运动和从到，且点A在上运动两种情况，根据数轴上两点距离计算公式建立方程求出此时t的值，进而得到点P运动到何处时，点到、、三点的距离之和为个单位；再求出点P在点B停留的时间，进而根据点P从点B返回到点A途中在何处时点到、、三点的距离之和为个单位建立方程求出此过程中t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由题意得，点P从点A到C和从点C返回到点A的总时间为秒， 设点C表示的数为x，则， ∴， 解得， ∴点C表示的数为7； 当从到，且点P在上运动时， 由题意得， 解得：，此时点P表示的数为， 当从到，且点P在上运动时， 由题意得， 解得：，即此时点P表示的数为； ∵从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒，秒， ∴停留时间为秒， ∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数10的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位， ∴此时； ∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数4的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位， ∴此时； 综上所述，当t的值为或或3或4时，点到、、三点的距离之和为个单位． 3. （24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为 ，点与点的中点为，则点表示的数为 ；运动秒后，点表示的数为 （用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算可求出的长，根据数轴上线段中点的计算公式可求出点表示的数，根据点的运动速度即可求出运动秒后，点表示的数； （2）秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分三种情况：①若为中点；②若为中点；③若为中点，分别列出方程求解即可； （3）当点在点右侧时，表示出、的长，再计算，整理成，令，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点表示数， ∴的距离为：； 又∵点表示数，点表示数，点为中点， ∴点表示的数为：； ∵点表示数，且以每秒个单位长度向左运动， ∴运动秒后，点表示的数为， 故答案为：；；； （2）由题意可知，秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 分三种情况： ①若为中点，则：， 解得：； ②若为中点，则：， 解得：； ③若为中点，则：， 解得：； 综上所述，当或或时，，，三点中恰有一点为另外两点的中点； （3）存在． ∵点在点右侧，点在点右侧， ∴，， ∴， 当，即时，结果与无关， 此时为定值， ∴存在常数使的值为定值． 【点睛】本题考查数轴，列代数式，两点间距离，正确理解题意，能用代数式表示出点所表示的数是解题的关键. 【考点33 与线段有关的动点问题】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出方程求解即可； （2）根据路程列出方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是线段的和差运算； （1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的时间，再比较即得结论； （3）当在线段上，在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，当、均在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：运动时间是， 当，，， 若，则， 解得：； （2）解：点停止运动时，用的时间为秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 秒 ∵ 点不能追上点； （3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时， ，解得：． 当、均在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时 ，解得：或（舍）． 综上所述：或 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 【答案】(1)70 (2)40或60 (3)；100 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、列代数式、线段中点的定义，理解题意正确表示出数轴上的动点表示的数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）用分别表示出点、点表示的数，得出的长度，结合点、点相距个单位长度列出方程，求解方程即可得出的值； （3）利用线段中点的定义表示出点、点表示的数，得出线段的长度，再根据点与点重合即可求出对应的值． 【详解】（1）解：， 点表示的数是70． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ， 点、点相距个单位长度， ， ， 解得：或， 的值为40或60． （3）解：由（2）得，点表示的数为，点表示的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ， 当点与点重合时，，即， 解得：， 线段的长度为，当点与点重合时的值为100． 【考点34 旋转成动角的计算】 1．【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：（1）∵根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意得：，，， ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴与（2）同理可得：或或， 即：或或， 分别解得：，，， ∴当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 2．已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【答案】(1)①；②； (2)或 (3)秒或20秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． （1）转化成已知角的式子计算即可； （2）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的式子即可求解； （3）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的方程即可求解． 【详解】（1）解：①． 故答案为：； ② ． 故答案为：； （2）解：由题意可知 当与相遇时，由题意得， 解得， 当旋转到射线上时，由题意得， 解得， 当与相遇前，时，， ∴； 当与相遇后，时，， ∴． 综上为或； （3）解：设运动时间为x， 当与相遇时， 解得， 当旋转一周时，， 解得， 当与相遇前，时， 射线是，两条射线组成的角的平分线，， 解得； 此时，不成立； 当与相遇后，时， 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得； 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得． 综上：运动时间为秒或20秒时，射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线． 3．已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，． (1)若，则______________； (2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②的值为或或 【分析】（1）分两种情况：在内部或在外部，再根据题意求解即可； （2）①分两种情况：在内或在内，画出图形，分别表示出和，再根据关系式找出数量关系即可； ②动角问题，由运动时间可分三种情况，利用角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当在外部， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）∵为外部的一条射线，，， ∴， ①分两种情况： 第一种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴， 即； 综上所述，和之间的数量关系为或； ②∵，， 又∵射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止，旋转时间为秒， ∴，，， 第一次平分：如图， ∵，， 又∵平分， ∴， ∴， 解得：； 第二次平分：如图， ∵，， ∴， ∵所在直线平分， ∴平分， ∴， ∴， 解得：； 第三次平分：如图， ∵，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的定义，动角问题等内容，利用分类的讨论的思想解决问题是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $