期中复习5大类型20个考点（举一反三期中专项训练）七年级数学上学期沪教版五四制2024

期中复习5大类型20个考点（前3章） 【沪教版五四制2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 单项式】 2 【考点2 多项式】 3 【考点3 同类项与合并同类项】 5 【考点4 幂的运算及其逆用】 7 【考点5 整式的乘法】 10 【考点6 整式的除法】 12 【考点7 完全平方公式】 13 【考点8 平方差公式】 16 【考点9 因式分解】 18 【计算篇】 20 【考点10 整式的加减与化简求值】 20 【考点11 幂的运算】 24 【考点12 整式的乘除】 28 【考点13 因式分解】 32 【实际应用篇】 36 【考点14 整式加减的实际应用】 36 【考点15 整式乘除的实际应用】 39 【规律与新定义篇】 44 【考点16 数式规律问题】 44 【考点17 图形规律问题】 45 【考点18 新定义问题】 47 【压轴篇】 49 【考点19 乘法公式在几何图形中的应用】 49 【考点20 因式分解的应用】 56 【基础概念易错篇】 【考点1 单项式】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【答案】A 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原说法正确，符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是次单项式，原说法错误，不符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 【考点2 多项式】 1．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的判断， 根据多项式和单项式的定义解答即可．数字和字母的乘积是单项式，单独的数也是单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】代数式是单项式； 是多项式， 多项式有3个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式不含项，则其系数为零，即可求出k的值，进而求出所求代数式的值． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按的降幂排列为：． 故答案为：． 【考点3 同类项与合并同类项】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列代数式中，不是整式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式：整式是单项式和多项式的统称，其分母中不含字母，熟记整式的定义是解题关键．根据整式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是多项式，是整式，则此项不符合题意； B、是多项式，是整式，则此项不符合题意； C、是多项式，是整式，则此项不符合题意； D、的分母中含有字母，不是整式，则此项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 3．（24-25七年级上·吉林·期末）写出代数式的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 根据同类项的概念求解即可，答案不唯一． 【详解】解∶∵代数式的字母部分为， ∴代数式的同类项的字母部分为， ∴是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，即“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”，属于基础题型，关键要令相同字母的指数相等列式计算．根据同类项的定义“相同字母的指数相等”，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，先把减法转化为加法，再合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，单项式的定义等知识点．由题意可知，求值即可． 【详解】解：， ∵代数式为单项式， ∴， ∴． 故答案为：1． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【答案】或 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．根据题意，得到或，得到系数和指数的对应关系，求出，的值，得到结果． 【详解】解：单项式与多项式和是单项式， 当时， ，， ，， 当， ，， ∴，， ． 综上所述：或 故答案为：或． 【考点4 幂的运算及其逆用】 1．若，，则的值是（    ）． A．0.5 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握幂乘方运算法则，同底数幂除法法则，是解题的关键． 由，，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，完全平方公式，积的乘方，合并同类项，根据幂的乘方，完全平方公式，积的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·云南保山·期末）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂乘法的逆用．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：D 4．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故C不符合题意，D不符合题意. 故选：A． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则等知识点，灵活逆用运算法则对所求代数式变形成为解题的关键． 先逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 【考点5 整式的乘法】 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故答案为： 3．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值． 按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．设，则，计算多项式乘以多项式可得，判断出的末尾四位数是0，由此即可得． 【详解】解：设， 则 ， ∵和的末尾四位数都是0，且， ∴的末尾四位数是0， ∴的末尾四位数是， 即有理数的末尾四位数是， 故选：A． 【考点6 整式的除法】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键． 【详解】解：，， ∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字， ∴， ∴密码是． 故答案为：． 【考点7 完全平方公式】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构． 【详解】A、， 两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开； B、， 将第二个括号提取负号，得：， 符合完全平方公式，可用乘法公式计算； C、， 第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式； D、 两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式． 故选：B． 2．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练运用公式变形是解题的关键．把两个等式两边同时平方，再相加即可得解． 【详解】解：， ， ，， 由得， 故， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·期中）设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，利用换元思想进行代数式求值是解题的关键． 写出a、b、c的关系式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴， 解得：． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值是（   ） A．36 B．49 C．54 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的灵活运用，解题的关键是通过设未知数将原式转化为含相同变量的平方形式，再利用完全平方公式展开求解． 设，则；将其代入已知等式，利用完全平方公式展开得到关于的方程；解方程求出的值，即的值． 【详解】解：设，则． 已知，代入得：． 展开得：， 合并同类项得：， 化简得：，即． 所以． 故选：B． 5．若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】11或 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键． 首末两项是x和4的平方，所以中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解方程即可得答案． 【详解】解：是完全平方式， 解方程得：或， 故答案为：11或． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 【考点8 平方差公式】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把变成利用平方差公式运算求解即可． 【详解】解： 原式 ； 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式把看作一个整体，符合平方差公式，展开后再利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为： 3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可． 【详解】解：设原正方形的边长为， 因此面积为， 改造后的图形是长为，宽为的长方形， 因此面积为， 所以改造前后的面积差为， 因此改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了． 故选：B． 【考点9 因式分解】 1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是因式分解，不符合题意； B. 该选项不是因式分解，不符合题意； C. 该选项是因式分解，符合题意； D. 该选项不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 3．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 5．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ． 【答案】28和26 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解，将利用幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解得到，即可解题． 【详解】解： ， 可以被28和26两个数整除， 故答案为：28和26． 【计算篇】 【考点10 整式的加减与化简求值】 1．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算及求值、绝对值及平方的非负性， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据绝对值及平方的非负性求出a、b值，再进行整式加减运算并代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ， 当时， ． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 【答案】(1) (2)， (3)，，原式 【分析】（）把的值代入，再去括号、合并同类项即可； （）由题意可得，即得，进而根据多项式相等的条件即可求解； （）先化简整式，再根据计算的最后结果与的取值无关， 可得含项的系数为，进而求出的值及整式的最后结果； 本题考查了整式的加减，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入式子得， 原式 ； （2）解：由题意得，， ∴， 即， ∴，； （3）解：， ∵计算的最后结果与的取值无关， ∴，， ∴，， 此时原式． 5．（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先根据整式的加减计算法则求出，据此利用整体代入法计算求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项把原多项式化简为，再根据不含项得到，则． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当，时，原式； （2） ， ∵关于x，y的多项式的结果中不含项， ∴， ∴． 【考点11 幂的运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算及积的乘方、幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，指数的相关运算，先将已知的等式转化成以相同的底数3的指数形式，然后通过指数的运算找到a，b与指数的关系，进而求出求出代数式的值． 【详解】解： ， 即 4．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 5．（1）先化简，再求值：其中，． （2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： ； ②； ③若，直接写出n的值． 【答案】（1），；（2）；②； 【分析】此题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． （1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可； （2）①逆用积的乘方法则可得答案； ②逆用积的乘方法则； ③利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，可得关于n的方程，即可解得答案． 【详解】解：（1） ， 当，时， 原式 ； （2） ； ② ； ， ． ． ， 解得， 的值为3． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【考点12 整式的乘除】 1．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可； （2）分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值： ，其中 【答案】，9 【分析】根据去括号，合并同类项，多项式除以单项式，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 3．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的除式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)除式是，商是7 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即除式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 4．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算． （1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含项，求出n的值即可； （2）根据求出B，再代入中计算即可． 【详解】解：（1）原式， 不含有项， ， ； （2），， ， ， 故正确的结果 5．试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】见解析 【分析】根据单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式的法则将原式化简，即可作出判断． 【详解】解： ； 所以原多项式的值与x的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 【考点13 因式分解】 1．分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，能熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键，分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组法等． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键． （1）先提公因式，再用公式法因式分解即可； （2）先去括号，再利用分组分解法即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 【详解】（1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【实际应用篇】 【考点14 整式加减的实际应用】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 【答案】(1)选择春光旅行社所需的总费用为元；选择华夏旅行社所需的总费用为元 (2)选择春光旅行社较为合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用是解题的关键. 利用总价单价数量，结合两旅行社给出的收费标准，即可用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用； 选择春光旅行社较为合算，将的两代数式作差，结合，可得出，即，进而可得出选择春光旅行社较为合算． 【详解】（1）解：根据题意得：选择春光旅行社所需的总费用为元； 选择华夏旅行社所需的总费用为元； （2）选择春光旅行社较为合算，理由如下： ， ， ， ， 即， 选择春光旅行社较为合算． 2．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3）解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 【考点15 整式乘除的实际应用】 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）小刚在做作业时，不小心在算式上滴了一滴墨水，于是他翻书找到答案，正确结果为．请你帮助小刚求出“█”处应表示的数； （2）某校有一个长方形操场，长为米，宽为米，为了美化校园环境，学校决定在操场内四周做a米宽的绿化带，负责后勤的黄老师让小明和小颖计算剩下的操场的面积，小明计算的结果是，小颖计算的结果是，他们为此争论不休，你能运用所学的知识来帮他们判断对错吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）小颖的结果对，理由见解析 【分析】本题主要考查整式的加减乘除运算的应用，熟练掌握整式加减乘除运算法则是解题的关键． （1）根据乘除和加减的相互转化，列出算式，计算得到答案； （2）用大长方形面积减去绿化带面积，得小颖的计算结果正确． 【详解】解：（1） 所以“█”处应表示的数为； （2）小颖的结果对；理由： 由题意得： 与小颖的计算结果相同，因此小颖的结论正确． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小明有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按照如图①所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40．将其中5个小长方形按照如图②所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠且不留空），求每个小长方形的面积． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确理解题意是解题关键．根据图①，图②，结合正方形和长方形的面积公式可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据图①，得，即， 根据图②，得，即， 所以， 所以，即小长方形的面积为5． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）数形结合法是常用的数字方法之一，它能起到化抽象为具体，化繁为易的效果，下面是数形结合法的应用． (1)【数学建模】如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个等腰梯形，如图，分别计算阴影部分的面积． 可得到乘法公式：_____________________． (2)【数学应用】分解因式： 现有A、B、C三种类型的彩色塑垫，其规格和单价如下（长度单位：米，单价：元/片）白天鹅舞蹈中心要对训练大厅进行装饰，已知大厅的地面是长为，宽为的长方形，现用A、B、C三种塑垫铺设地面，所需费用是多少？画出铺设地面示意图以展示三种塑垫数量．并写出解答过程．（A：100元/片，B：50元/片，C：40元/片） 【答案】(1) (2) 所需费用元，图见解析 【分析】本题主要考查了数形结合的数学思想，平方差公式，因式分解，多项式乘多项式等知识点，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）分别由左图和右图表示出来面积，利用面积相等即可得出平方差公式； （2）①先利用公式法进行因式分解，再进行提公因式； ②对多项式乘多项式进行整理，根据结果提示画出示意图，最后计算出费用即可． 【详解】（1）解：由左图，大正方形的面积与小正方形的面积之差可得， 由右图，梯形面积为， ∴得到的乘法公式为； （2）解：① ； ②铺设地面示意图如下： 三种塑垫数量： A．15片 B．22片  C．8片， ， 所需费用：（元）， 所以，所需费用为2920元． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）． (1)求种菜部分的面积；（结果需要化简） (2)若，求种菜部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先，根据长方形面积公式分别求出大长方形菜地的面积和储物室的面积．然后，用大长方形菜地的面积减去储物室的面积，得到种菜部分的面积，并进行化简． （2）将，代入（1）中化简后的种菜部分面积表达式，计算出具体数值即可． 本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，同时涉及平方差公式的应用．熟练掌握长方形面积公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式 ． 5．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 【规律与新定义篇】 【考点16 数式规律问题】 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是单项式的规律题，根据题意可得规律，第个单项式为，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第个单项式的系数为，次数为， ∴第个单项式为， 第6个单项式为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【考点17 图形规律问题】 1．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为（　　） A．256 B．128 C．112 D．64 【答案】B 【分析】的展开式的系数对应第八行的数，据图写出第八行的数求和即可． 【详解】根据题意可知第八行的数为：1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中各项的系数的和为． 故选B． 【点睛】本题考查完全平方公式，规律型：数字的变化类．能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第八行数是解题关键． 2．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第⑧个小房子用了（    ） 块石子． A．72 B．80 C．96 D．97 【答案】C 【分析】把房子所需的石子分为2部分，上面一部分，下面一部分分别找到规律再相加即可． 【详解】把房子所需的石子分为2部分， 第一个房子的上面的石子个数为1，第二个房子的上面的石子个数为3，第三个房子的上面的石子个数为5，第四个房子的上面的石子个数为7，故第n个房子的上面的石子个数为2n-1； 第一个房子的下面的石子个数为4=22，第二个房子的下面的石子个数为9=32，第三个房子的下面的石子个数为16=42，第四个房子的下面的石子个数为25=52，第n个房子的下面的石子个数为(n+1)2， ∴第n个小房子用了2n-1+(n+1)2=n2+4n个石子， ∴第8个图形的石子数为，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查图形规律探索，解题的关键是根据题意分开求出规律． 3．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第个数对： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第个数对的第二个数为，于是得到结论． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为，，，，，， 即，，，，，， 则第个数对的第一个数为， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…， 即，，，，…， 则第个数对的第二个数为， ∴第个数对为． 故答案为：． 【考点18 新定义问题】 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如： ，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 2．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．根据“完全数”的概念求解即可． 【详解】解：设两个自然数分别为a，b 由题意可得， ∴小于180且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，， 综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个． 故选：B． 3．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【压轴篇】 【考点19 乘法公式在几何图形中的应用】 1．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 3．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．    (1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）； (2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）； A． B． C． (3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可； （3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案； 另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是； 故答案为： （2）之间的等量关系是：， 故选：C. （3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y ∴， 解得， ；                 另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， ∴，               ∴， ∴， ∴，                    ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5．若x满足，求的值． 解：设，则． 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．    ①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______； ②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积． 【答案】(1)5 (2)①2；24；②20 【分析】（1）设，则，根据代入计算即可解答； （2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF，正方形的边长为a，正方形的边长为b，表示出和即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则． 所以． （2）解：①由题意得，． ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b ∴，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴,即． 故答案为2，24． ②由图形可知：阴影部分的面积为： ∵， ∴，即 ∴ ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景、平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解答本题的关键． 6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 【考点20 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型20个考点（前3章） 【沪教版五四制2024】 【基础概念易错篇】 1 【考点1 单项式】 1 【考点2 多项式】 2 【考点3 同类项与合并同类项】 2 【考点4 幂的运算及其逆用】 3 【考点5 整式的乘法】 3 【考点6 整式的除法】 3 【考点7 完全平方公式】 4 【考点8 平方差公式】 5 【考点9 因式分解】 5 【计算篇】 6 【考点10 整式的加减与化简求值】 6 【考点11 幂的运算】 7 【考点12 整式的乘除】 8 【考点13 因式分解】 9 【实际应用篇】 10 【考点14 整式加减的实际应用】 10 【考点15 整式乘除的实际应用】 11 【规律与新定义篇】 13 【考点16 数式规律问题】 13 【考点17 图形规律问题】 13 【考点18 新定义问题】 14 【压轴篇】 15 【考点19 乘法公式在几何图形中的应用】 15 【考点20 因式分解的应用】 17 【基础概念易错篇】【考点1 单项式】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【考点2 多项式】 1．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按的降幂排列为 ． 【考点3 同类项与合并同类项】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列代数式中，不是整式的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）写出代数式的一个同类项 ． 4．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ． 5．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 6．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）若关于，的代数式为单项式，则有理数 ． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【考点4 幂的运算及其逆用】 1．若，，则的值是（    ）． A．0.5 B．2 C．4 D．5 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南保山·期末）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 4．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ． 5．已知，则的值是 ． 【考点5 整式的乘法】 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则的值为 ． 3．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【考点6 整式的除法】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ． 2．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【考点7 完全平方公式】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，且，则 ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值是（   ） A．36 B．49 C．54 D．64 5．若是一个完全平方式，则a的值为 ． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【考点8 平方差公式】 1．计算： ． 2．计算： ． 3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【考点9 因式分解】 1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ． 【计算篇】 【考点10 整式的加减与化简求值】 1．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）课堂上数学老师写出一个关于的整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求此时、的值； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学给出的、的值并算出整式的最后结果． 5．（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【考点11 幂的运算】 1．计算： 2．计算： 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值． 4．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 5．（1）先化简，再求值：其中，． （2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： ； ②； ③若，直接写出n的值． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【考点12 整式的乘除】 1．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值： ，其中 3．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的除式和商； (3)若多项式，则______． 4．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 5．试说明多项式的值与x的取值无关． 【考点13 因式分解】 1．分解因式 (1) (2) (3) (4) 2．分解因式： (1) (2) (3) 3．（25-26八年级上·全国·期中）分解因式： (1)； (2)． 4．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【实际应用篇】 【考点14 整式加减的实际应用】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 2．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【考点15 整式乘除的实际应用】 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）小刚在做作业时，不小心在算式上滴了一滴墨水，于是他翻书找到答案，正确结果为．请你帮助小刚求出“█”处应表示的数； （2）某校有一个长方形操场，长为米，宽为米，为了美化校园环境，学校决定在操场内四周做a米宽的绿化带，负责后勤的黄老师让小明和小颖计算剩下的操场的面积，小明计算的结果是，小颖计算的结果是，他们为此争论不休，你能运用所学的知识来帮他们判断对错吗？并说明理由． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小明有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按照如图①所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40．将其中5个小长方形按照如图②所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠且不留空），求每个小长方形的面积． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）数形结合法是常用的数字方法之一，它能起到化抽象为具体，化繁为易的效果，下面是数形结合法的应用． (1)【数学建模】如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个等腰梯形，如图，分别计算阴影部分的面积． 可得到乘法公式：_____________________． (2)【数学应用】分解因式： 现有A、B、C三种类型的彩色塑垫，其规格和单价如下（长度单位：米，单价：元/片）白天鹅舞蹈中心要对训练大厅进行装饰，已知大厅的地面是长为，宽为的长方形，现用A、B、C三种塑垫铺设地面，所需费用是多少？画出铺设地面示意图以展示三种塑垫数量．并写出解答过程．（A：100元/片，B：50元/片，C：40元/片） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）． (1)求种菜部分的面积；（结果需要化简） (2)若，求种菜部分的面积． 5．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【规律与新定义篇】 【考点16 数式规律问题】 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【考点17 图形规律问题】 1．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为（　　） A．256 B．128 C．112 D．64 2．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第⑧个小房子用了（    ） 块石子． A．72 B．80 C．96 D．97 3．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第个数对： ． 【考点18 新定义问题】 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如： ，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 2．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 3．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为 【压轴篇】 【考点19 乘法公式在几何图形中的应用】 1．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 3．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．    (1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）； (2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）； A． B． C． (3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积． 5．若x满足，求的值． 解：设，则． 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．    ①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______； ②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积． 6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【考点20 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $