精品解析：广东省东莞高级中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量检查数学试题

东莞高级中学2025-2026学年上学期第一次教学质量检查 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量组构成空间直角坐标系中的一组基底向量，则下列向量不共面的一组为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 7. 在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 如图所示的木质正四棱锥模型，过点A作一个平面分别交于点E，F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心为 B. 圆的面积为 C. 点在圆内 D. 过原点且与圆相切的直线方程为 10. 已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 的最大值为6 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则存在点，有 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为___________． 14. 直线被圆所截得的弦长的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量，； （2）若，，求的值． 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求边上的中线所在的直线方程； （3）求角平分线所在的直线方程. 17. 已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． （1）求圆的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 18. 在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的正切值． （3）在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 19. 已知点，，动点满足，其轨迹为. （1）求动点轨迹的方程； （2）过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞高级中学2025-2026学年上学期第一次教学质量检查 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量组构成空间直角坐标系中的一组基底向量，则下列向量不共面的一组为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知不共面，由此结合向量共面定理判断各选项中的向量是否共面，即可得答案. 【详解】对于A，假设，，共面，则，所以， 可知该方程组无解，即三个向量不共面，故A正确； 对于B，，所以，，三个向量共面，故B错误； 对于C，，故，，三个向量共面，故C错误； 对于D，因为，故，，三个向量共面，故D错误． 故选：A． 2. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率是倾斜角的正切值即可求出倾斜角． 【详解】， 直线的斜率， ∵在0°到180°范围内，仅有， ∴直线l的倾斜角为150°． 故选：D． 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆列出不等式组求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：D. 4. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用两直线平行列式计算并验证作答. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，即为，两直线重合，不符合题意； 当时，，，两直线平行. 综上所述，. 故选：D. 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】由已知得，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 6. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为2. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于1， 所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得. 故选：C. 7. 在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】分析得到与点距离为1，与点距离为2的直线为以为圆心1为半径的圆和以为圆心2为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 8. 如图所示的木质正四棱锥模型，过点A作一个平面分别交于点E，F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可得答案. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，则，，，， ∴，， 由题意四点共面，则有，其中， 设， ∴ 由方程组，即，解得， 所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心为 B. 圆的面积为 C. 点在圆内 D. 过原点且与圆相切的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程可得圆心及其半径，即可得其面积，即可判断A、B；再计算点到圆心的距离可判断C；计算过原点且与圆相切的直线可判断D. 【详解】可化为， 则该圆圆心为，半径为，则圆的面积，故A、B正确； 由，故点在圆内，故C正确； 设过原点且与圆相切的直线为，则当直线斜率存在时： 设，则有，解得，即， 则当直线斜率不存在时：，则到距离为， 故与圆相切； 综上可得过原点且与圆相切的直线方程为或，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助点到直线距离公式计算可得A；化折线为直线，利用两点之间线段最短判断可得B；借助斜率公式计算可得C；借助几何意义计算可得D. 【详解】对A：点到直线的距离为， 故的最小值为，故A正确； 对B：设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号，故B正确； 对C：假设存在点，使得， 则， 化简得，显然方程无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对D：， 当且仅当、、三点共线时取等，故D正确. 故选：ABD. 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则存在点，有 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，和空间向量基本定理，空间中四点共面的判定方法，以及空间向量的共线、模长的表示方法，和三棱锥体积的求法，逐一判断各选项的正误，求出结果； 【详解】 如图所示： 已知， 当时，即， 解得，由，所以不满足条件，不存在点使得，所以A错误； 当时，，， ，所以，所以B正确； 由题意知， 所以， 由不等式可知， 因为，所以，所以； 由均值不等式可知， 所以，所以C正确； 当时，点与三点共面，即面， 由正方体的性质可知， 所以面面，可得三棱锥的体积为定值； 即，正方体棱长为1，则，所以D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】16 【解析】 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，结合面积关系列式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可知，， 因为，则， 两边平方得，则， 整理可得，所以椭圆的离心率． 故答案为：. 14. 直线被圆所截得的弦长的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】求出直线所过定点，说明该点在圆内，确定当圆心和的连线与直线垂直时，直线被截得的弦长最短，根据弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】直线，即， 则，即直线过定点， 由于，故点在圆， 当圆心和的连线与直线垂直时， 直线被圆所截得的弦长最短， 圆心为，和的距离为， 故弦长的最小值为， 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量，； （2）若，，求的值． 【答案】（1）， （2）-1 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，因为点是的中点，所以，又因为， 所以. 【小问2详解】 由（1）得. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求边上的中线所在的直线方程； （3）求角平分线所在的直线方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （3）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解. 【小问1详解】 直线的斜率， 则边上的高所在的直线斜率为， 直线又过， 所以边上的高所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. 【小问3详解】 由题意知：, 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 17. 已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． （1）求圆的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设圆，利用待定系数法即可求解； （2）根据两圆的位置关系可求出，联立两圆的方程可求出点的坐标； （3）设直线的方程为，表示出两圆的弦心距进而表示出和，最后利用列方程即可求解. 【小问1详解】 设圆，由题意可知， 解得，所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以， 解得或（舍去）， 所以圆的标准方程为， 联立，解得，所以点的坐标为. 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 所以，解得或（舍去）， 故直线的方程为. 18. 在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的正切值． （3）在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角. 因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. 【小问3详解】 对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面. 19. 已知点，，动点满足，其轨迹为. （1）求动点轨迹的方程； （2）过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）设，再利用两点间距离公式计算即可得； （2）①设出直线方程，借助韦达定理与向量数量积计算即可得；②借助韦达定理、点到直线距离公式与弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $