2.3实数（一）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学《2.3实数（一）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解无理数的定义，明确无理数与有理数的本质区别。 2.掌握无理数的常见形式，能准确识别给定数中的无理数。 3.学会运用夹逼法、平方法等多种方法比较无理数的大小，能解决简单的大小比较问题。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）无理数的定义； （2）无理数的识别； （3）无理数大小比较的基本方法。 2.难点： （1）理解 “ 无限不循环 ” 的本质， （2）灵活选择合适的方法比较无理数的大小 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 有理数包括整数和分数，任何一个有理数都可以写成有限小数或____________的形式。 2. 无限不循环小数叫做________________。 3. 常见的无理数有三类： ① 开方开不尽的数，如__________（举一例）； ② 含 π 的数，如__________（举一例）； ③ 有规律但不循环的小数，如__________（举一例）。 4. 比较 和2的大小，因为2 2 =4，且5>4，所以 _____2（填 “ > ” 或 “ < ” ）。 5. 确定 的整数部分是__________，因为__________<13<__________。 ) 四．课堂探秘 （一）无理数的定义 【温故知新】： （1）. 有理数是如何分类的？ 或 （2）. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率，0.020020002…；又如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？ 【探索新知】 看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由. 边长a 面积s 1<a<2 1<s<4 1.4<a<1.5 1.96<s<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a<1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449 归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数. 1.无理数的定义：无限不循环小数叫作无理数。 像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 2.无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式； 3.“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2）区别 ① 定义不同 ：限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，小数部分3无限重复；，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率π= 3.1415926535…，它的小数位没有重复的数字出现 。 ②能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数，设x = ，则 9x=3. x=.=。 对于混循环小数，设x = ，则， ； 无限不循环小数不能化成分数，它是无理数的一种表现形式，而分数是有理数 。 3.无理数的分类 （二）无理数的识别： 1.判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。 2.初中常见的无理数有三种类型： （1）.含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数； （2）.化简后含π的式子； （3）.不循环的无限小数。 总结：识别无理数的关键是抓住“无限”和“不循环”两个核心特征，注意区分开方开不尽的数与开方开得尽的数，含π的数与近似代替π的数（如3.14）。 （三）无理数的大小比较 1.平方法： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。 若a > 0，b > 0，a > b ，则 > 。 例：比较和2，平方后分别为5和8，因5 < 8，故< 2。 2.夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。 先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较和3.2，因32=9 < 10 < 3.22=10.24，故< 3.2 （四）证明2是无理数 我们可以用反证法证明是无理数: 假设2不是无理数，那么是有理数，所以可以写成(m,n是正整数，且没有大于1的公约数)，即=.根据平方根的意义，()2=2,即2n2=m2.由于上式左边2n2是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数、设m=2p(p是正整数), 把m=2p代入2n2=m2,得2n2 =4p2,即n2=2p2.因此n也是偶数.于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾.因此√2=是不可能的，也就是说不是有理数，它是无理数. （五）经典例题 例1.下列四个数中,属于无理数的是(　　) A.　　　　B.0　　　　C.0.12　　　　D.π 例2.下列说法中,正确的是(　　) A.无限循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.141 592 6是有理数 例3.我们把平方等于5的正数记作m,则m-1的值在(　　) A.1.1和1.2之间 B.1.2和1.3之间 C.1.3和1.4之间 D.1.4和1.5之间 例4.下列说法正确的是（ ） A．0.1 是无理数 B．是无限小数，是无理数 C． 是分数 D．0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数 例5．在实数①，②，③3.14，④，⑤π中，是无理数的有 ；（填 写序号） 例6.写出一个无理数,使它与π的和等于3,则这个数是　　　　.  例7．证明：是无理数. 例8．阅读下列材料： 设：，①则.② 由，得，即. 所以. 根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 五．课堂检测 （一）选择题 1．下列实数中，为无理数的是（ ） A．﹣2 B． C．2 D．4 2.比较与3.2的大小，正确的是（ ） A. > 3.2 B. < 3.2 C. = 3.2 D. 无法确定 3.若是无理数，则a的取值可能是（ ） A. 16 B. 25 C. 30 D. 36 4.一个正方体的体积为25,估计这个正方体的棱长在(　　) A.2和3之间　　　B.3和4之间 C.4和5之间　　 D.5和6之间 5.估算的整数部分是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．下列说法正确的有（ ） （1）有理数包括整数、分数和零；（2）不带根号的数都是有理数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是无限小数；（5）无限小数都是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 （二）填空题 7.写出一个比 3 大且比 4 小的无理数： ． 8.如图,9个正方形的是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中边长是有理数的正方形有　　　　个,边长是无理数的正方形有　　　　个.  （三）解答题 9．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 10.无理数像一首读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,数学家称之为一种特殊的数.设面积为10π的圆的半径为x. (1)x是有理数还是无理数? (2)估计x的值(结果精确到十分位). 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.有理数和无理数的根本区别是：有理数是有限小数或________________，无理数是________________。 2.写出一个比-3大的负无理数：________________。 3.比较和2.6的大小，可通过平方比较：()2=_______，2.62=_________，所以______2.6。 4.的整数部分是m，小数部分是n，则m=_______，n=________。 （二）强化训练 一．选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数 C. 带根号的数都是无理数 D. 有理数都是有限小数 2.在实数﹣ 、、π、中，是无理数的是（ ） A．﹣ B． C．π D． 3．下列说法中无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无理数；实数与数轴上的点是一一对应的，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 5.下列数中，立方根为无理数的是（ ） A. 64 B. 8 C. 9 D. 27 6．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7.若实数a在数轴上对应的点位于和之间，则a可能是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 8、若a是一个无理数，则1-a是（　　） A．正数 B． 负数 C．无理数 D．有理数 9.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<<n+1,则n的值为(　　) A.43　　　　B.44　　　　C.45　　　　D.46 10.实数+1在数轴上的对应点可能是(　　) A.A点　　　　B.B点　　　　C.C点　　　　D.D点 二．填空题 11．请写出一个绝对值大于1小于3的无理数______． 12. 绝对值小于的整数有______个． 13.观察下列各式： 则 =_______ 14.大于0且小于π的整数是________________ 15.一个圆形的小画布的面积为35π,它的半径在两个相邻整数之间,则这两个整数的和是　 　　.  16.满足＜x ＜的整数x是_______ 17．在实数﹣3，0，π，﹣ ， 中，最大的一个数是　 　． 18．若无理数 满足： ，请写出两个这样的 　 ． 19．已知 三个数，a为8-，b为7-，c为6-，则这三个数的大小关系是____________________. 20．在分数、、、中，不可以化为有限小数的分数是________． 三．解答题 21. 把下列各数分别填在相应的括号内：，，，，，，，，，，，，，0.1010010001 整数{ }； 分数{ }； 正数{ }； 负数{ }； 有理数{ }； 无理数{ }。 22．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，， 使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 23.证明：是无理数. 24.如图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y的值为　　　　;  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 25、数学课上，老师出了一道题：比较与的大小. 小华的方法是： 因为，所以_____2，所以_____（填“>”或“<”）； 小英的方法是： ，因为，所以____0，所以____0，所以_____（填“>”或“<”）. （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小. 26.阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）． 请解答： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值； （3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学《2.3实数（一）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解无理数的定义，明确无理数与有理数的本质区别。 2.掌握无理数的常见形式，能准确识别给定数中的无理数。 3.学会运用夹逼法、平方法等多种方法比较无理数的大小，能解决简单的大小比较问题。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）无理数的定义； （2）无理数的识别； （3）无理数大小比较的基本方法。 2.难点： （1）理解 “ 无限不循环 ” 的本质， （2）灵活选择合适的方法比较无理数的大小 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 有理数包括整数和分数，任何一个有理数都可以写成有限小数或____________的形式。 【 答案 】 ：无限循环小数 2. 无限不循环小数叫做________________。 【 答案 】 ：无理数 3. 常见的无理数有三类： ① 开方开不尽的数，如__________（举一例）； ② 含 π 的数，如__________（举一例）； ③ 有规律但不循环的小数，如__________（举一例）。 【 答案 】 ： ；2 π ；0.1010010001 … ，每两个1之间依次多一个0 4. 比较 和2的大小，因为2 2 =4，且5>4，所以 _____2（填 “ > ” 或 “ < ” ）。 【 答案 】 ：> 5. 确定 的整数部分是__________，因为__________<13<__________。 【 答案 】 ：3；3 2 ；4 2 ) 四．课堂探秘 （一）无理数的定义 【温故知新】： （1）. 有理数是如何分类的？ 或 （2）. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率，0.020020002…；又如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？ 【探索新知】 看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由. 边长a 面积s 1<a<2 1<s<4 1.4<a<1.5 1.96<s<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a<1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449 归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数. 1.无理数的定义：无限不循环小数叫作无理数。 像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 2.无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式； 3.“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2）区别 ① 定义不同 ：限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，小数部分3无限重复；，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率π= 3.1415926535…，它的小数位没有重复的数字出现 。 ②能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数，设x = ，则 9x=3. x=.=。 对于混循环小数，设x = ，则， ； 无限不循环小数不能化成分数，它是无理数的一种表现形式，而分数是有理数 。 3.无理数的分类 （二）无理数的识别： 1.判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。 2.初中常见的无理数有三种类型： （1）.含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数； （2）.化简后含π的式子； （3）.不循环的无限小数。 总结：识别无理数的关键是抓住“无限”和“不循环”两个核心特征，注意区分开方开不尽的数与开方开得尽的数，含π的数与近似代替π的数（如3.14）。 （三）无理数的大小比较 1.平方法： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。 若a > 0，b > 0，a > b ，则 > 。 例：比较和2，平方后分别为5和8，因5 < 8，故< 2。 2.夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。 先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较和3.2，因32=9 < 10 < 3.22=10.24，故< 3.2 （四）证明2是无理数 我们可以用反证法证明是无理数: 假设2不是无理数，那么是有理数，所以可以写成(m,n是正整数，且没有大于1的公约数)，即=.根据平方根的意义，()2=2,即2n2=m2.由于上式左边2n2是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数、设m=2p(p是正整数), 把m=2p代入2n2=m2,得2n2 =4p2,即n2=2p2.因此n也是偶数.于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾.因此√2=是不可能的，也就是说不是有理数，它是无理数. （五）经典例题 例1.下列四个数中,属于无理数的是(　　) A.　　　　B.0　　　　C.0.12　　　　D.π 【答案】D　 【解析】,0,0.12是有理数,π是无理数,故选D. 例2.下列说法中,正确的是(　　) A.无限循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.141 592 6是有理数 【答案】D　 【解析】3.141 592 6是有限小数,是有理数,故D正确. 例3.我们把平方等于5的正数记作m,则m-1的值在(　　) A.1.1和1.2之间 B.1.2和1.3之间 C.1.3和1.4之间 D.1.4和1.5之间 【答案】B　 【解析】由题可知,m2=5,m>0,因为2.22=4.84,2.32=5.29,所以2.2<m<2.3,所以1.2<m-6. 例4.下列说法正确的是（ ） A．0.1 是无理数 B．是无限小数，是无理数 C． 是分数 D．0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数 【答案】D 【解析】A、0.1 是有理数，故 A 不符合题意； B、是无限小数是有理数，故 B 不符合题意； C、 是无理数，故 C 不符合题意；D、0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数，故 D 符合题意；故选：D． 例5．在实数①，②，③3.14，④，⑤π中，是无理数的有 ；（填 写序号） 【答案】②⑤． 【解析】①，③3.14，④是有理数，②，⑤π是无理数， 故答案为：②⑤． 例6.写出一个无理数,使它与π的和等于3,则这个数是　　　　.  【答案】3-π 【解析】设这个数为x,由题意得x+π=3,所以x=3-π. 例7．证明：是无理数. 证明：用反证法证明．假设是有理数，则（m、n为互质的整数），得到，两边平方可得，得到为有理数，与已知为无理数矛盾，即可得到结论．假设是有理数，则（m、n为互质的整数）， 所以，两边平方得，．（均为有理数）． 因为有理数对四则运算是封闭的，所以为有理数，与已知为无理数矛盾， 所以是无理数． 例8．阅读下列材料： 设：，①则.② 由，得，即. 所以. 根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 解：设①则，② 由，得，即. 所以. 由已知，得， 所以. 五．课堂检测 （一）选择题 1．下列实数中，为无理数的是（ ） A．﹣2 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】A、﹣2 是整数，是有理数，选项不符合题意；B、是无理数，选项符合题意； C、2 是整数，是有理数，选项不符合题意； D、4 是整数，是有理数，选项不符合题意． 故选 B． 2.比较与3.2的大小，正确的是（ ） A. > 3.2 B. < 3.2 C. = 3.2 D. 无法确定 答案：A 【解析】：3.2²=10.24，而≈3.162，故< 3.2不成立；实际≈3.162，故正确答案为A。 3.若是无理数，则a的取值可能是（ ） A. 16 B. 25 C. 30 D. 36 【答案】：C 【解析】：=4，=5，=6，均为有理数.无法开尽，是无理数。 4.一个正方体的体积为25,估计这个正方体的棱长在(　　) A.2和3之间　　　B.3和4之间 C.4和5之间　　 D.5和6之间 【答案】A　 【解析】设正方体的棱长为x,∵正方体的体积为25,∴x3=25,∵23<25<33,∴2<x<3,故选A. 5.估算的整数部分是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】：B 【解析】：4²=16，5²=25，介于4和5之间，整数部分为4。 6．下列说法正确的有（ ） （1）有理数包括整数、分数和零；（2）不带根号的数都是有理数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是无限小数；（5）无限小数都是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】整数包含0，故错误；Π不带根号，但是是无理数，错误；例如能开方开的尽的是有理数，错误；无理数都是无限不循环小数，都属于无限小数，正确； 无理数都是无限不循环小数，不是全部的无限小数，错误；总共1个正确，故选A （二）填空题 7.写出一个比 3 大且比 4 小的无理数： ． 【答案】π 【解答】解：写出一个比 3 大且比 4 小的无理数：π， 故答案为：π． 8.如图,9个正方形的是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中边长是有理数的正方形有　　　　个,边长是无理数的正方形有　　　　个.  【答案】3;6 【解析】　面积为1,4,9的正方形的边长为有理数,面积为2,3,5,6,7,8的正方形的边长为无理数. （三）解答题 9．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 【答案】（1）正数集合：｛8，，，，…｝； （2）负数集合：｛－2．5，－2 ，－0．525225222…，…｝； （3）整数集合：｛0，8，－2 …｝； （4）无理数集合：{ ，－0．5252252225…，…}． 【解析】正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题. 10.无理数像一首读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,数学家称之为一种特殊的数.设面积为10π的圆的半径为x. (1)x是有理数还是无理数? (2)估计x的值(结果精确到十分位). 解：由题意得πx2=10π,所以x2=10.所以x既不是整数也不是分数,所以x是无理数. (2)因为3.12=9.61<10,3.22=10.24>10,所以3.1<x<3.2.因为3.162=9.985 6<10,3.172=10.048 9>10,所以3.16<x<3.17.所以估计x的值为3.2. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.有理数和无理数的根本区别是：有理数是有限小数或________________，无理数是________________。 【答案】：无限循环小数；无限不循环小数 2.写出一个比-3大的负无理数：________________。 【答案】：-，答案不唯一 3.比较和2.6的大小，可通过平方比较：()2=_______，2.62=_________，所以______2.6。 【答案】：7；6.76；> 4.的整数部分是m，小数部分是n，则m=_______，n=________。 【答案】：4；-4 （二）强化训练 一．选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数 C. 带根号的数都是无理数 D. 有理数都是有限小数 【答案】：B 【解析】：A选项无限循环小数是有理数，不是无理数，故错误；B选项无理数的定义就是无限不循环小数，属于无限小数，故正确；C选项\sqrt{16}=4是有理数，故错误；D选项有理数还包括无限循环小数，如\frac{1}{3}，故错误。 2.在实数﹣ 、、π、中，是无理数的是（ ） A．﹣ B． C．π D． 【答案】C 【解析】﹣、、是有理数，π是无理数， 故选：C． 3．下列说法中无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无理数；实数与数轴上的点是一一对应的，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①无限不循环小数是无理数；错误；②无理数是无限小数，正确；③无理数的平方不一定是无理数；错误；④实数与数轴上的点是一一对应的，正确．故选B． 4．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 【答案】B 【解析】A. 面积为 2 的正方形的边长为，是无理数 ，正确; B. 无限不循环小数是无理数,错误;C. 无理数可以用数轴上的点来表示,正确; D. 半径为 1 的圆的周长是2π，是无理数，正确.故选B. 5.下列数中，立方根为无理数的是（ ） A. 64 B. 8 C. 9 D. 27 【答案】：C 【解析】：=4，=2，=3，均为有理数； 无法开尽，是无理数。 6．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】①正整数，负整数和0统称整数，原说法错误；②平方等于9的数是，原说法错误；③是精确到千位，正确；④一定比a大，正确；⑤与都是有理数，原说法错误；正确的有：③④，故选：A． 7.若实数a在数轴上对应的点位于和之间，则a可能是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】：C 【解析】：≈1.732，≈2.236，a需介于1.732和2.236之间，只有2.5符合。 8、若a是一个无理数，则1-a是（　　） A．正数 B． 负数 C．无理数 D．有理数 【答案】：C 【解析】∵a是一个无理数，1是有理数，∴1-a还是无理数，故选C． 9.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<<n+1,则n的值为(　　) A.43　　　　B.44　　　　C.45　　　　D.46 【答案】：C 【解析】∵2025<2026<2116, ∴45<<46, ∴n=45.故选C. 10.实数+1在数轴上的对应点可能是(　　) A.A点　　　　B.B点　　　　C.C点　　　　D.D点 【答案】D　 【解析】∵1<2<4,∴1<<2,∴2<+1<3,∴实数+1在数轴上的对应点可能是点D. 二．填空题 11．请写出一个绝对值大于1小于3的无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】为无理数，且， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 绝对值小于的整数有______个． 【答案】7 【解析】设这个数为x,则<∴-<x<.∴绝对值小于的所有整数有0，±1，±2，±3. 13.观察下列各式： 则 =_______ 【答案】 【解析】 故答案为 14.大于0且小于π的整数是________________ 【答案】1、2、3 【解析】大于0且小于π的整数是1、2、3 15.一个圆形的小画布的面积为35π,它的半径在两个相邻整数之间,则这两个整数的和是　 　　.  【答案】11 【解析】设圆的半径为r,则πr2=35π,所以r2=35,因为52<35<62,所以r在5和6之间,5+6=11. 16.满足＜x ＜的整数x是_______ 【答案】-4 【解析】满足＜x ＜的整数x是-4. 17．在实数﹣3，0，π，﹣ ， 中，最大的一个数是　 　． 【答案】 【解析】根据正数大于 ， 大于负数，两个负实数绝对值大的反而小， 可得： ， 在实数 ， ， ， ， 中，最大的一个数是 ．故答案为： ． 18．若无理数 满足： ，请写出两个这样的 　 ． 【答案】 或 （答案不唯一） 【解析】 ， ＜ ＜ 或 故答案为： 或 19．已知 三个数，a为8-，b为7-，c为6-，则这三个数的大小关系是____________________. 【答案】 【解析】a-b=8--（7-）=1-（-）∵-<1，∴a-b>0，即a>b， b-c=7--（6-）=1-（-）,∵-<1，∴b-c>0，即b>c.∴c<b<a. 20．在分数、、、中，不可以化为有限小数的分数是________． 【答案】 【解析】分母中含有 2 与 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数；= =0.25，如果分母中除了 2 与 5 以外，不再含有其它的质因数，这个分数 就能化成有限小数；如果分母中除了 2 与 5 以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有 限小数，= 如果分母中除了 2 与 5 以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数，故答案为：． 三．解答题 21. 把下列各数分别填在相应的括号内：，，，，，，，，，，，，，0.1010010001 整数{ }；分数{ }； 正数{ }；负数{ }； 有理数{ }；无理数{ } 解：整数集合{－3,0，，，…}；分数集合； 正数集合{，，，，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0)，…}；负数集合； 有理数集合； 无理数集合 22．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，， 使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 解：证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得∴含有因数5，设，∴ ∴，∴含有因数5，∴含有因数5这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数而是无理数．故答案为：④②①③． 23.证明：是无理数. 解：用反证法证明．假设是有理数，则（m、n为互质的整数），得到，两边平方可得，得到为有理数，与已知为无理数矛盾，即可得到结论．假设是有理数，则（m、n为互质的整数）， 所以，两边平方得，．（均为有理数）． 因为有理数对四则运算是封闭的，所以为有理数，与已知为无理数矛盾， 所以是无理数． 24.如图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y的值为　　　　;  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 解：(1)当x=16时,=4,不是无理数,=2,不是无理数,2取算术平方根为,是无理数,故输出y的值为. (2)当x=0或x=1时,始终输不出y值.因为0和1的算术平方根分别是0和1,是有理数,会进行无限循环,所以输不出y值. (3)x的值不唯一.如x=3或x=9. 25、数学课上，老师出了一道题：比较与的大小. 小华的方法是： 因为，所以_____2，所以_____（填“>”或“<”）； 小英的方法是： ，因为，所以____0，所以____0，所以_____（填“>”或“<”）. （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小. 解：（1），，；， ，.，， 故答案是：>，>，>，>，>；（2），，. 26.阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）． 请解答： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值； （3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 解：（1）∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是 ，故答案为：4，﹣4； （2）∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∵3＜＜4，∴b＝3，∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1； （3）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴11＜10+＜12，∵10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝10+﹣11＝﹣1，∴x﹣y＝11﹣（﹣1）＝12﹣，∴x﹣y的相反数是﹣12+； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $