24.1.2 垂直于弦的直径-【夺冠百分百】2025-2026学年九年级上册数学新导学课时练（人教版）

心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 24.1.2 垂直于弦的直径 ●◆ 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 知识梳理·自主学习 E,若AB=10,AE=1,则弦CD的长 1.圆的对称性 是() 圆是轴对称图形，它的对称轴有 A.5 条，任何一条 所在的直线都是它的 对称轴。 B.6 B 2.垂径定理及推论 C.7 (1)垂直于弦的直径 弦，并且 D.8 弦所对的两条弧. 【变式】如图，AB是⊙O的直径，弦CDI (2) 弦（不是直径）的直径垂直于 AB,垂足为E,若BE=CD=8,则⊙O的半 弦，并且 弦所对的两条弧， 径长是() 【温馨提示】“平分弦的直径垂直于弦”是假 A.5 命题 B.4 B 知识要点·多维突破 C.3 知识点一 圆的对称性 D.2 1.(2022盐城期中)圆的对称轴有( 5.(2022承德期末)如图，⊙O的直径为10，弦 A.0条 B.1条 AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段 C.2条 D.无数条 OP长的取值范围是() 2.下列结论正确的是() A.3≤OP≤5 A.经过圆心的直线是圆的对称轴 B.4<OP<5 B.直径是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 C.4≤0P≤5 D.与直径相交的直线是圆的对称轴 D.3<OP<5 知识点二垂径定理及其推论 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足 为M,下列结论不成立的是( B B A.CM-DM 第5题图 第6题图 B.CB=DB 6.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A, C.∠ACD=∠ADC B两点，点P的坐标为(4,4)，点A的坐标 D.OM=MD 为(2,0)，则点B的坐标为 ●082 第二十四章圆 新导学课时练 7.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥ 10.(2022唐山路北区期中)一块圆形宣传标 CD,垂足为H,连接BC,BD, 志牌如图所示，点A,B,C在⊙O上，CD垂 (1)求证：BC=BD, 直平分AB于点D.现测得AB=8dm,DC (2)已知CD=6,OH=2,求⊙O的半径长， =2dm,求圆形标志牌的半径. 您礼让 我点赞 名师点睛 垂径定理常作的辅助线： 一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦 的一端（即半径），这样把半径、圆心到弦的 距离、弦的一半构建在一个直角三角形中， 名师点睛 运用勾股定理求解 应用垂径定理解决实际问题时，常连接半径 或作垂直于弦的半径（或弦心距），构造出直 知识点三垂径定理及其推论的应用 角三角形，然后利用勾股定理列出方程，解 8.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为 方程求出未知线段的长度。 8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB 为() 易错点用垂径定理求解时考虑不全面 A.4m B.5 m C.6m D.8 m 11.(2022昆明西山期中)AB,CD是直径为26 的⊙O中的两条平行弦，且AB=10,CD= 24,则这两条平行弦之间的距离 0 为 D B 第8题图 第9题图 易错提醒 9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的 利用垂径定理求解无图的计算问题时，要考 半径OB=10,水面宽AB=16,则排水管中 虑多解的可能性，必要时画出图形帮助求 的水最深是 解，防止漏解。 83● 心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 人◆◆◆ 4.如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取 C 综合演练·应用提升 AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作 【能力提升】 ⊙O交射线AP于E,F两点，求线段EF 1.(2022石家庄长安模拟) D 的长。 如图，在△ABC中，已知 ∠ACB=130°，∠BAC= 20°，BC=2,以点C为圆心，CB为半径的圆 D 交AB于点D,则BD的长为() A.√3 B.23 c号 D.4 2.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的 弦，AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则 AC的长为( 【素养闯关】 A.2√5cm B.4√5cm 5.(核心素养·模型意识)如图，有一座圆弧形 C.2√5cm或4√5cmD.2√3或4√3cm 拱桥，它的跨度AB为60m,拱高PM为 3.文化广场周围有一些大理石球.小明想知道 18m,当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要 其中一个球的半径，于是找了两块厚10cm 采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面 的砖塞在球的两侧（如图），并量得两砖之间 只有4m,即PN=4m时，试通过计算说明 的距离是60cm.请你利用所学的几何知识， 是否需要采取紧急措施. 求出大理石球的半径（要写出计算过程）. A 0844.解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD=BC=4,∠BCD= 第二十四章【 圆 ∠D=90°. 当B恰好是AD的中点时，BD=号AD=2, 24.1圆的有关性质 B'D=号BC,∠BCD=30,∠BCB=90-30 24.1.1圆 【知识梳理·自主学习】 =60°， 1.一周圆心半径 即当B恰好是AD的中点时，此时α=60 2.(1)线段圆心(2)圆弧半圆(3)重合互相重合 (2).四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,∠CBB= 【知识要点·多维突破】 ∠AB'B=75°， 1.C2.A3.A【变式】B4.D5.D 由旋转的性质得CB=CB,∠CB'B=∠CBB=75°， 6.57.(8,0)、(-2,0) .∠BCB=180°-75°-75°=30°，即旋转角a为30°. 8.解：答案不唯一（任选3组） 'AD∥BC,∴.∠DBC=∠BCB'=30 相等的角有：∠OAB=∠OBA,∠OCD=∠ODC,∠AOC- CD-CB-2.:AB-CD-2. ∠BOD,∠AOD=∠BOC,∠ACO=∠BDO. 5.(1)证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE, 相等的线段有：OA=OB,OC=OD,AC=BD,AD=BC .∠DAN=∠BAE,AE=AN. 【综合演练·应用提升】 .∠DAB=90°，∠MAN=45°， 1.C2.C3.B4.D5.25 ∴.∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°， 6.解：a=b.理由如下： .∠MAE=∠MAN. 连接ON,OA,如图， .'MA-MA. 点A,N在半圆上， ∴.△AEM≌△ANM(SAS) ∴.ON=OA. (2)解：设CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2, :四边形ABOC,DNMO均为矩形， :△AEM≌△ANM,∴.EM=MN. ∴.ON=MD,OA=BC,.BC=MD,即a=b. .BE=DN,..MN=BM+DN=5. 24.1.2垂直于弦的直径 .∠C=90°，∴.MN2=CM+CN, 【知识梳理·自主学习】 .25=(x-3)2+(x-2)2, 1.无数直径2.(1)平分平分(2)平分平分 解得x=6或x=-1(舍弃)， 【知识要点·多维突破】 正方形ABCD的边长为6， 1.D2.A3.D4.B【变式】A5.C6.(6,0) 6.B7.A8.29.n-110.D11.(-a,-b) 7.(1)证明：.AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD, 12.解：(1)如图，△A1BC1即为所求. .CH=DH,.AB垂直平分CD,.BC=BD. (2)如图，△A2B2C2即为所求， (2)解：连接OC(图略)，：AB是⊙O的直径，CD为弦， A2(-1,-1),B2(-4,-2),C2(-3,-4). AB⊥CD,CD=6, (3)如图，△A3BC3即为所求，A3(1,一1)，B3(2,一4)， .CH=3,.OC=√/OH+CH平=√/22+32=√/13. C(4,-3). 8.D9.4 10.解：圆形标志牌的半径为5dm 1L.7或17 【综合演练·应用提升】 1.B2.C 3,解：根据题意可以建立圆中垂径定理的模型如图： AC=60cm,BD=10cm,设半径为rcm, .OBIAC, 172 ∴AD=合AC=30cm, CE∥AB, ∴∠C=∠BOC, 在R△ADO中，AD2+OD2=OA, ∠E=∠AOE, 可得302+(r-10)2=2, ∠BOC=∠AOE,∴.BC=E 解得r=50. 10.解：连接BE,如图， 答：大理石球的半径为50cm. 4.解：过点O作OH⊥EF于点H,连 接OF,如图，则EH=FH. 在Rt△AOH中，AO=AD十OD= B 0 B C 3十5=8(cm),∠A=30°，则OH= 合0A=4(cm>. AB=AC,∠A=40°， 在Rt△OHF中，OH=4cm,OF=5cm, ∴∠ABC=∠C=合(180°-∠A)=×(180°-40) ∴.HF=√/OF-O平=3(cm),则EF=2HF=6cm. =70. .线段EF的长是6cm BE=BC,∴∠BEC=∠C=70, 5.解：设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',设半径为 .·∠BEC=∠A十∠ABE, x m, ∴.∠ABE=70°-40°=30°， ∴孤DE的度数为30°. 11.D 【综合演练·应用提升】 1.A2.A3.C4.65.①②③ 则OA=OA'=OP, 6.证明：连接OC(图略)，.AD=BE,OA=OB,.OD=OE. 由垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N, :C是AB的中点，AC-BC..∠AOC=∠BOC .AB=60 m,:AM=30 m,OM=OP -PM=(x- .'OC=OC,.△DCO≌△ECO(SAS)..CD=CE. 18)m. 7.解：AE=BF=CD.理由如下： 在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO=OM十Af, 如图，连接AC 即x2=(x-18)2十302，解得x=34, :∠AOB=90°，C,D为AB的三等分，点， .ON=OP-PV=34-4=30(m) ∠A0C=∠B0D=号∠AOB=号×90 在Rt△A'ON中，由勾股定理可得A'N=√OA-ON严= =30°. √/34-30=16(m), OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA=45°， .A'B′=32m>30m, ∴.∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75. 不需要采取紧急措施. OA=OC,∠AOC=30, 24.1.3弧、弦、圆心角 【知识梳理·自主学习】 ÷∠ACE=2180°-∠A00=75, 1.(1)中心对称(2)圆心 ∴.∠AEC=∠ACE, 2.(1)弧弦(2)相等相等(3)相等相等 ∴.AE=AC. 【知识要点·多维突破】 AC=C⑦，∴AC=CD, 1.B2.C3.75°4.A5.B6.37.30°8.8π ∴.AE=CD. 9.证明：连接OE,如图. ∠OAE=∠OBF, .OE=OC, 在△AEO和△BFO中 OA=OB. ∴.∠C=∠E ∠AOE=∠BOF, 173