21.3 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题-【夺冠百分百】2025-2026学年九年级上册数学新导学课时练（人教版）

7.解：(1)当售价为25元/千克时， 7.解：设x秒后△EBF的面积为5个平方单位，依题意得 每月销售苹果=500一10×(25-20)=450千克， 合6-0X2x=5 答：每月销售苹果450千克 整理得x2一6x十5=0. (2)设每千克苹果的售价为x元， 解得x1=1,x2=5. 由题意可得(z-15)[500-10(x-20)]=6000, 当x=5时，2x=10>8,舍去 .x2-85x+1650=0. 所以x=1. 解得x=30或x=55. 答：1秒后△EBF的面积为5个平方单位. ·销售价不得高于进价的3倍， 【综合演练·应用提升】 ∴.x≤15×3=45， 1.C2.C3.C4.B .每千克苹果的售价为30元. 5.解：(1)设出发t秒时P,Q两，点间的距离是13cm. 答：每千克苹果的售价为30元. 则AP=3t,CQ=2t,过点Q作QM⊥AB于点M, 【综合演练·应用提升】 1.D2.A3.B4.20 5.解：(1)设捐款的增长率为x,根据题意列方程得， 1000×(1+x)2=1440, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）； 则PM=|15-2t-3t川=|15-5t, (15-5t)2+52=132, 答：捐款的增长率为20%， (2)第四天收到捐款为1440×(1十20%)=1728（元）. 解得t=0.6或t=5.4, 答：当t为0.6或5.4秒时，P,Q两，点间的距离为13cm. 答：第四天该单位能收到1728元捐款. (2)四边形APQD的形状有可能为矩形」 6.解：(1)设每次降价的百分率为x, 理由： 根据题意得3200(1-x)2=2592, 当四边形APQD为矩形时，则AP=DQ, 解得：x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去). 即3t=15-2t, 答：每次降价的百分率为10%. 解得t=3. (2)设每台空调应降价y元，则每台的销售利润为(3000一 答：当t=3时四边形APQD为矩形. y一250)元，平均每天能售出(10+4×0)台， 6,解：1)设BC的长为xm,则AB的长为242m, 依题意得(300-y-250)(10+4×0) =5400, 根据题意，得x.24,2=40,整理，得x2一24x十80=0. 2 整理得y2-250y十10000=0， 解得x1=4,x2=20. 解得y=50,y2=200, 20>15,.x2=20舍去.BC的长为4m. 又要让顾客得到优惠， (2)设BC的长为ym,则AB的长为252m ..y=200. 答：每台空调应降价200元. 根据题意，得y·25,义=50，整理， 2 第3课时用一元二次方程解决几何图形问题 得y2-25y+100=0. 【知识要点·多维突破】 解得y1=5,y2=20. 1.A2.A3.C4.365.1 20>15,y2=20舍去..BC的长为5m. 6.解：设扩充后广场的长为3xm,则宽为2xm (3)设BC的长为am,则AB的长为24与2n 依题意，得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000, 解得x1=30,x2=一30（不合题意，舍去）. 根据题意，得a.244=45,整理， 3 所以3x=90,2x=60. 得a2-24a+135=0. 答：扩充后广场的长为90m,宽为60m. 解得a1=9,a2=15.∴.BC的长为9m或15m. 157 (4)不能围成.理由如下： 第二十二章 二次函数 设BC的长为bm,则AB的长为24-b 5 m. 22.1二次函数的图象和性质 根据题意，得6.24一b=45,整理， 5 22.1.1二次函数 得b2-24b+225=0. 【知识梳理·自主学习】 .△=(-24)2-4×1×225=-324<0， y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0)x一次项系数 该方程无实数根， 【知识要点·多维突破】 .不能围成面积为45m2的花圃. 1.B2.D3.m≠3 第二十一章回顾与提升 4.a≠0a=0且b≠0a=0,b≠0且c=0 1.C2.A3.B4.C5.4 5.解：y=一（x+3)(x十4)+11=一x2一7x-1,它是二次函 6解：1=2，=号2=26 2 ,x2=二2-6 数，它的二次项系数为一1，一次项系数为一7，常数项为 2 -1. (3)x1=3,x2=1. 6.B 7A8-专 7.解：(1)y=x2+7x. 9.(1)证明：.△=(2m+1)2-4×1×(m-2) (2)y是x的二次函数. =4m2+4m+1-4m+8=4m2+9>0, (3)x≥0. ∴.无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根 8.A (2)解：由根与系数的关系得区十=-(2m+1, 【综合演练·应用提升】 1.C x1x2=m-2, 由x1+x2十3x1x2=1得-(2m十1)十3(m-2)=1,解得m 2.(1)1(2)m≠1且m≠0 =8. 3.解：(1)大矩形的宽为xcm,则长为合(60-3x)cm 10.解：(1)设单价应定为x元/千克， 所以y=x·(60-3,化简得y=-是2+30z,y是z 由题意，得(x-5)[160一20(x-7)]=420, 化简，得x2一20x十96=0， 的二次函数 解得1=8，x2=12. x>0, 因为。 所以0<x<20. 答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则 2(60-3x)>0, 单价应定为8元/千克或12元/千克. (2)因为让利于顾客，所以单价应定为8元/千克. (②)当x=6时，y=-2×6+30X6=126. 11.解：(1)设每吨A类垃圾处理费为x元，则每吨B类垃圾 即大矩形的面积为126cm2. 处理费为2x元， 4.解：(1)由运动可知，AP=2x,BQ=4x,则BP=12一2x 依题意，得：10×(12x十4×2x)=8000,解得：x=40. y=合BC·AB-号BQ:BP 答：每吨A类垃圾处理费为40元. (②)惊题意，得：40(1-号a%)×10×[12+4-41十 =号×24×12-合·4r12-2m, 即y=4x2-24x十144. a%]+40×2(1-18%)×10×41+a%)=80o0(1 (2),0<AP<AB,0<BQBC,.0<x<6 (3)四边形APQC的面积不能等于172cm2.理由： 器%) 当y=172时，即4x2-24x+144=172. 整理，得：2a-0.05a2=0, 解得x1=7,x2=一1（不合题意，舍去） 解得：a1=40,a2=0(不合题意，舍去). 又0<x<6,x1=7不合题意. 所以a的值为40. ∴.四边形APQC的面积不能等于172cm2. 158第二十一章一元二次方程 新导学课时练 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题 4.（传统文化)《田亩比类乘除捷法》中提出这 A 知识梳理·自主学习 样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔 面积问题 不及长一十二步，问阔及长各几步.意思是： (1)不规则图形问题：采用割补法或平移变换 矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽 对不规则图形进行变换，使问题简化， 和长各几步.你来解决这道古算题，可以求 (2)动点问题：把动的点进行转换变为线段的 得矩形的长为 步 长度，依据等量关系运用面积公式及勾股定理 5.（教材P26T12变式)如图，在一块长32米、宽 求解. 20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等 B 知识要点·多维突破 的小路，每条小路的两边是互相平行的，且 其中一条小路与矩形地面的一边平行.若使 知识点一 一般图形问题 剩余部分的面积为570平方米，则小路的入 1.(2023沧州东光期中)已知矩形ABCD的面 口宽度为 米。 积为1，长比宽长2，则该矩形的长为( A.√2+1 B.√2-1 20米 C.2-√2 D.1-√2 2.用一条长为60cm的绳子围成一个面积为 32米 acm的长方形，a的值不可能为( ) 6.某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图， A.240 B.225 原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形 C.60 D.30 广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费 知识点二边框与甬道问题 用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充 3.(2022保定清苑区期中)王 区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 叔叔从市场上买了一块长 100元.如果计划总费用642000元，扩充后 80cm、宽70cm的矩形铁 广场的长和宽应分别是多少米？ 皮，准备制作一个工具箱. 如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边 原广场 域 长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能 围成一个底面积为3000cm的无盖长方形 工具箱，根据题意列方程为( A.(80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4x2=3000 C.(80-2x)(70-2x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3000 25® 心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 名师点晴 若图形是三角形、矩形、正方形等规则图形， 则直接应用面积公式列出方程；若图形是不 规则图形，则采用割补法，使其成为规则的 图形，再应用面积公式列方程求解 知识点三动点问题 7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点 E从点A出发，以1个单位/秒的速度向点B D 移动，同时，点F从点B出发，以2个单位/秒 2.(2022合肥蜀山期末)如图，已知长方形 的速度向点C移动，求经过多久后△EBF ABCD的面积为1，长与宽之差为1，则该长 的面积为5个平方单位. 方形的周长为( B A.2 B.√5 C.2√5 D.3 3.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四 个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部 分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不 计).若该无盖盒子的底面积为900cm,盒 子的容积是( 名师点睛 解决动点问题要先分析出动，点的运行轨迹， 把相应线段的数量关系表示出来是解决此 类问题的关键.用“静”的方法来处理“动”的 问题是解决运动型数学问题的思维技巧 A.3600cm B.4000cm3 C.4500cm3 D.9000cm3 C 综合演练·应用提升 4.如图，在Rt△ABC中，∠B= 90°，AB=12cm,AC=13cm,点 【能力提升】 M从点A出发沿边AB向点B 1.(2022石家庄正定期中)如图，某小区计划 B →NC 以2cm/s的速度移动，点N从 在一个长16m,宽9m的矩形场地ABCD 点B出发沿BC边向点C以1cm/s的速度 上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB 移动.当一个点先到达终点时，另一个点也 平行，水平的与AD平行，其余部分种草.已 停止运动，当△MBN的面积为9cm时，点 知草坪部分的总面积为112m2,设小路宽 M,N的运动时间为() xm,若x满足方程x2-17x十16=0，则修 A.2s B.3s C.4s D.5s 建的示意图是() 026 第二十一章一元二次方程 新导学课时练 5.(2022郑州中原期中)如图，在矩形ABCD中， 【素养闯关】 AB=15cm,AD=5cm,动点P,Q分别从 6.(变式题)(1)如图1，用篱笆靠墙围成矩形花 点A,C同时出发，点P以3cm/s的速度向 圃ABCD,墙可利用的最大长度为15m,一 点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s 面利用旧墙，其余各边都用篱笆围成，且篱 的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q 笆总长为24m,若围成的花圃面积为 也停止移动).设移动时间为t(s).连接 40m,求BC的长 PQ,QB. D D (1)当t为何值时，P,Q两点间的距离为 图1 图2 13cm? 母题变式 (2)四边形APQD的形状可能为矩形吗？ 若可能，求出t的值；若不可能，请说明 (2)变式一：如图2，若其余条件不变，花圃在 理由. BC边上有一个宽度为1m的小门，且围成 的花圃面积为50m2,求BC的长， (3)变式二：如图3，若在花圃中间用一道篱 笆隔成两个小矩形（篱笆总长不变），且围成 的花圃总面积为45m2,求BC的长。 D A D B C B 图3 图4 (4)变式三：如图4，若在花圃中间用三道篱 笆隔成四个小矩形（篱笆总长不变），请你判 断能否成功围成面积为45m的花圃？如果 能，求BC的长；如果不能，请说明理由. 27