21.3 第2课时 用一元二次方程解决平均变化率与利润问题-【夺冠百分百】2025-2026学年九年级上册数学新导学课时练（人教版）

它新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 第2课时 用一元二次方程解决平均变化率与利润问题 4.(2021滨州中考)某商品原来每件的售价为 A 知识梳理·自主学习 60元，经过两次降价后每件的售价为48.6 1.增长率问题 元，并且每次降价的百分率相同.求该商品 设a为起始量，x为增长率，则 每次降价的百分率。 (1)增长一次后为 (2)增长两次后为 2.销售问题 (1)利润=售价一 (2)利润率= 利润×100%。 进 (3)售价=进价×(1+利润率). (4)总利润=每件利润× B 知识要点·多维突破 知识点一增长率问题 1.(2022唐山古冶区期中)制造某电器，原来 每件的成本是300元，由于技术革新，连续 名师点睛 两次降低成本，现在的成本是192元，设平 (1)增长（下降）率问题常见的等量关系为 均每次降低成本的百分率为x,根据题意列 a(1士x)2=b,其中a表示原数据，x表示增 方程得( 长（降低）率，b表示两次增长（降低）后的数 A.300(1-2x)=192B.300(1-x)2=192 据.(2)解此类问题一般用直接开平方法 C.300(1+2x)=192D.300(1+x)2=192 求解， 2.(2022石家庄新华期中)某厂1月份生产口罩 60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位 知识点二销售问题 同学根据题意列出了方程60+60(1十x)十 5.(2022邢台信都期中)为迎接端午促销活 60(1+x)2=200,则x表示的意义是() 动，某商城从6月份开始对春装进行“折上 A.该厂二月份的增长率 折”（两次打折数相同）优惠活动.已知一件 B.该厂三月份的增长率 原价1000元的春装，优惠后实际仅需490 C.该厂一、二月份平均每月的增长率 元，设该店春装原本打x折，则有() D.该厂二、三月份平均每月的增长率 A.490×(1-2x)=1000 3.(2022张家口宣化区期中)某地区前年参加 B.1000×(1-x)2=490 中考的人数为5万人，今年参加中考的人数 C.1000×()】 =490 为6.05万人.则这两年该地区参加中考人 数的年平均增长率是 D.100×(1-0)°=490 S222 第二十一章 一元二次方程 新导学课时练) 6.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每 ◆◆◆ 千克盈利10元，每天可售出500千克.经市 综合演练·应用提升 场调查发现，在进货价不变的情况下，如果 【能力提升】 每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 1.(2022石家庄高邑期中)一款发卡在某电商 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又 平台上7月24日的销量为5000个，7月25 要使顾客得到实惠，那么每千克水果应涨价 日和7月26日的总销量是22500个.若 元 7月25日和26日较前一天的增长率均为x, 7.某商店销售一种进价为15元/千克的苹果， 则x满足的方程是( 若售价为20元/千克，则一个月可售出500 A.5000(1+x)2=22500 千克；若售价在20元/千克的基础上每涨价 B.5000(1-x)2=22500 1元，则月销售量就减少10千克，为保障顾 C.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2= 客利益，规定销售价不得高于进价的3倍. 22500 (1)当售价为25元/千克时，每月销售苹果 D.5000(1+x)+5000(1+x)2=22500 多少千克？ 2.(2022保定安国一模)某超市销售一种饮 (2)当月利润为6000元时，每千克苹果的售 料，每瓶进价为6元.当每瓶售价为10元 价为多少元？ 时，日均销售量为160瓶，经市场调查发现， 每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20 瓶.若超市计划该饮料日均总利润为 700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售 价为( A.11 B.12 C.13 D.14 3.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃 发展.某市2021年底有5G用户2万户，计 划到2023年底全市5G用户数三年总计 8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率 为x,则x的值为( A.50% B.40% C.30% D.20% 4.(2022唐山路南期中)某商场销售一批衬 名师点睛 解决利润问题的步骤：(1)设涨价（降价）或 衫，平均每天可售20件，每件盈利40元.经 售价为x元.(2)用x表示出每件商品的利 调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均 润及商品的销售量.(3)根据总利润=每件 每天可多售出4件，为了尽量减少库存，若 商品的利润X销售量列出方程求解.(4)舍 商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫 去不合要求的解 应降价 元 23 心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 5.(2022承德平泉期中)某地地震牵动着全国 【素养闯关】 人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支 6.某电器商城销售某种空调，每台进货价为 援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元， 2500元，标价为3200元. 第三天收到捐款1440元. (1)若该商城连续两次降价，每次降价的百 (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率 分率相同，最后以2592元售出，求每次降价 相同，求捐款的增长率。 的百分率 (2)按照(1)中收到捐款的增长率，第四天该 (2)市场调研表明：每台空调售价为3000元 单位能收到多少捐款？ 时，平均每天能售出10台，当每台空调售价 每降低100元时，平均每天就能多售出4台， 若该商城要想使这种空调的销售利润平均 每天达到5400元，且顾客得到优惠，则每台 空调应降价多少元？ 224(2),关于x的方程x2十2x+m一2=0有两个不相等的实 (2)225+225×(14-5)+[225+225×(14-5)]×(14- 数根， 5-5) ,'.△=22-4(m-2)=-4m+12>0, =225+2025+2250×4 m<3. =11250(人). ,m为正整数， 答：再过两天共有11250人患有此病. .m=1,2. 4.B5.D6.B7.C 8.解：(1)根据题意，得△=(2m十1)2-4(m2-2)≥0， 8.解：设有x名学生参加了乒兵球赛，则 解得m心-号m的最小基数值为-2。 2x(x-1)=15X3, (2)根据题意，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2=m2一2， 解得x1=10,x2=一9（不符合实际，舍去）. (x1-x2)2十m2=21, 答：共有10名学生参加了乒乓球赛. .(1十x2)2-4x1x2+m2=21, 9.C ∴.(2m十1)2-4(m2-2)+m2=21, 10.6810 整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=一6， 11.解：这个两位数是62. m≥-9 m的值为2. 【综合演练·应用提升】 1.D2.B 9.(1)证明：，△=(k十2)2一8k=(k一2)2≥0， k取任何实数值，方程总有实数根。 3.解：(1)15 2n(n-1)(2)参加聚会的人数为10. (2)解：，Rt△ABC的斜边长a=3, 4.解：(1)15 .∴.a2=b+c2,即9=(b+c)2-2bc. (2)S=n(n-1 ,b,c是方程x2一(k+2)x十2k=0的两个根， 2 .当n=50时，代入得S=1225.故答聚为：1225. ∴.b十c=k+2,bc=2k, (3)设该班共有女生x名，根据题意， .9=(k+2)2-2×2k,解得=±√5. 得(x。1)=190, 当k=一√5时，b十c=2一√5（不合题意，舍去）， 2 当k=√5时，b+c=2+√5. 解得x1=20,x2=-19(不符合题意，舍去)， 故△ABC的周长为a+b+c=5+√5. 答：该班共有20名女生. (4)设该班数学兴趣小组有m人，根据题意， 21.3实际问题与一元二次方程 得m(m-1)=110, 第1课时用一元二次方程解决传播问题 解得=11,2=-10（不符合题意，舍去）， 【知识梳理·自主学习】 故答案为11. 1.(1+x)(1+x)22.x(x-D 2 第2课时用一元二次方程解决平均变化率与利润问题 3.10x+y100x+10y+之x+2x+2 【知识梳理·自主学习】 【知识要点·多维突破】 1.(1)a(1+x)(2)a(1+x)2 1.D2.B 2.(1)进价(4)销售量 3.解：(1)设每人一天传染了x人，依题意有： 【知识要点·多维突破】 1+x+(1+x)×x=225, 1.B2.D3.10% (1+x)2=225, 4.解：设该商品每次降价的百分率为x, ,1+x>0, 根据题意，得60(1一x)2=48.6, .1+x=15, 解得x1=0.1,x2=1.9(舍去) x=14. 答：该商品每次降价的百分率是10%. 答：每人一天传染了14人. 5.C6.5 —156 7.解：(1)当售价为25元/千克时， 7.解：设x秒后△EBF的面积为5个平方单位，依题意得 每月销售苹果=500一10×(25-20)=450千克， 合6-0X2x=5 答：每月销售苹果450千克 整理得x2一6x十5=0. (2)设每千克苹果的售价为x元， 解得x1=1,x2=5. 由题意可得(z-15)[500-10(x-20)]=6000, 当x=5时，2x=10>8,舍去 .x2-85x+1650=0. 所以x=1. 解得x=30或x=55. 答：1秒后△EBF的面积为5个平方单位. ·销售价不得高于进价的3倍， 【综合演练·应用提升】 ∴.x≤15×3=45， 1.C2.C3.C4.B .每千克苹果的售价为30元. 5.解：(1)设出发t秒时P,Q两，点间的距离是13cm. 答：每千克苹果的售价为30元. 则AP=3t,CQ=2t,过点Q作QM⊥AB于点M, 【综合演练·应用提升】 1.D2.A3.B4.20 5.解：(1)设捐款的增长率为x,根据题意列方程得， 1000×(1+x)2=1440, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）； 则PM=|15-2t-3t川=|15-5t, (15-5t)2+52=132, 答：捐款的增长率为20%， (2)第四天收到捐款为1440×(1十20%)=1728（元）. 解得t=0.6或t=5.4, 答：当t为0.6或5.4秒时，P,Q两，点间的距离为13cm. 答：第四天该单位能收到1728元捐款. (2)四边形APQD的形状有可能为矩形」 6.解：(1)设每次降价的百分率为x, 理由： 根据题意得3200(1-x)2=2592, 当四边形APQD为矩形时，则AP=DQ, 解得：x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去). 即3t=15-2t, 答：每次降价的百分率为10%. 解得t=3. (2)设每台空调应降价y元，则每台的销售利润为(3000一 答：当t=3时四边形APQD为矩形. y一250)元，平均每天能售出(10+4×0)台， 6,解：1)设BC的长为xm,则AB的长为242m, 依题意得(300-y-250)(10+4×0) =5400, 根据题意，得x.24,2=40,整理，得x2一24x十80=0. 2 整理得y2-250y十10000=0， 解得x1=4,x2=20. 解得y=50,y2=200, 20>15,.x2=20舍去.BC的长为4m. 又要让顾客得到优惠， (2)设BC的长为ym,则AB的长为252m ..y=200. 答：每台空调应降价200元. 根据题意，得y·25,义=50，整理， 2 第3课时用一元二次方程解决几何图形问题 得y2-25y+100=0. 【知识要点·多维突破】 解得y1=5,y2=20. 1.A2.A3.C4.365.1 20>15,y2=20舍去..BC的长为5m. 6.解：设扩充后广场的长为3xm,则宽为2xm (3)设BC的长为am,则AB的长为24与2n 依题意，得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000, 解得x1=30,x2=一30（不合题意，舍去）. 根据题意，得a.244=45,整理， 3 所以3x=90,2x=60. 得a2-24a+135=0. 答：扩充后广场的长为90m,宽为60m. 解得a1=9,a2=15.∴.BC的长为9m或15m. 157