21.3 第1课时 用一元二次方程解决传播问题-【夺冠百分百】2025-2026学年九年级上册数学新导学课时练（人教版）

第二十一章一元二次方程 新导学课时练 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时 用一元二次方程解决传播问题 知识梳理·自主学习 A.(1+x)2=91 B.1+x+x2=91 A C.(1+x)x=91 D.1+x+2x=91 1.传播问题 3.(2022沧州青县期中)有一种传染性疾病， 传染源数量为1，每个传染源都传染给x个 蔓延速度极快，据统计，在人口密集的某城 人，经过一轮传染后共有 人感染， 市里，通常情况下，每天一人能传播若干人， 经过两轮传染后共有 人感染 通过计算回答下列问题. 2.握手类问题 (1)现有一人患了这种疾病，开始两天共有 参与对象共x个，所求次数是 225人患上此病，求每人一天传染了几人？ 3.数字问题 (2)两天后，人们有所察觉，这样平均一个人 若一个两位数的十位数字和个位数字分别 以少传播5人的速度在递减，求再过两天共 为x,y,则这个数可以表示为 ,若 有多少人患有此病？ 一个三位数字的百位数字、十位数字、个位 数字分别为x,y,之，则这个三位数可以表示 为 对于连续偶数问题，可设较小 的偶数是x,则另一个较大的偶数是 ；对于连续奇数问题，可设较小的 数为x,则另一个奇数为 ；对于连 续自然数问题，可设较小的数为x,则比其 大的数依次比这个数大1，据此设未知数. B 知识要点·多维突破 知识点一传播类问题 1.有1人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了流感，设每轮传染中每人传染x人， 其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感， 则根据题意可列方程为() 名师点睛 A.0.2(1+x)2=81B.(1+0.2x)2=81 传播类问题：(1)设开始数量为1，每轮感染 C.0.8(1+x)2=81D.(1+0.8x)2=81 的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所 2.(2022邢台信都期中)某种植物的主干长出 列方程为(1十x)m=b.(2)设开始数量为a, 若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目 每轮感染的数量为x,经n轮感染后的数量 的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91， 为b,则所列方程为a(1十x)n=b. 设每个枝干长出x个小分支，列方程为() 19 心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 知识点二握手问题 名师点睛 4.一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分 解决这类题一般利用n个人与其余的人握 别给群里的其他好友发一条信息，共发信息 手或通话或互赠礼品的总次数为2(n 1980条，则可列方程() 1),再根据已知中的总次数，列方程求解 A.2x(x-1D=1980 即可. B.x(x-1)=1980 知识点三数字问题 cxx+10=1980 9.(学科融合·语文)小明同学是一位古诗文 爱好者，在学习了一元二次方程这一章后， D.x(x+1)=1980 改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大 5.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督 (每两队之间都赛一场)，计划安排55场比 东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个 赛，则参加比赛的球队的个数是() 位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华 A.8B.9 C.10 D.11 数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字 6.(2022石家庄藁城期中)李明去参加聚会， 是x,则可列方程为() 每两个人都会互相赠送礼物，他发现共送礼 A.10x十(x-3)=(x-3)2 物30件，则共有( )人参加聚会 B.10(x+3)十x=x2 A.5 B.6 C.9 D.15 C.10x+(x+3)=(x+3)2 7.参加商品交易会的每两家公司之间都签订 D.10(x+3)+x=(x+3)2 一份合同，共签署了91份合同，则有( 10.以三个连续偶数 家公司参加了商品交易会， 为边能构成直角三角形 A.12B.13 C.14 D.15 11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上 8.(教材P2T6变式)某校组织了一次乒乓球 的数字少4，这个两位数十位上的数与个位 赛，赛制为参赛的每两个人之间都要比赛一 上的数交换位置后新两位数与原两位数的 场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时 积为1612，求这个两位数. 间等条件，赛程安排3天，每天安排15场比 赛，求共有多少名学生参加了乒乓球赛？ 220 第二十一章 一元二次方程 新导学课时练) 名师点睛 【素养闯关】 (1)解决这类题关键是用代数式表示出这个 4.【问题提出】 数，常采取间接设未知数的方法求解.(2)有 某中学进行线上学习时，七年级(1)班的全 关数字的应用题，大致可分为三种：一般数 体同学在自主完成学习任务的同时，全班每 字关系、连续数字和数字排列.数字问题涉 两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀， 及和、差、倍、分、奇数、偶数等，解题时要注 互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅 意把握关键的词和语句. 通过一次视频电话，如何求全班50名同学 共通过多少次电话呢？ 综合演练·应用提升 【模型构建】 【能力提升】 用点M1,M2,M3,…,M0分别表示第1,2， 1.有3人患了流感，经过两轮传染后共有 3,…,50名同学，把该班级人数n与视频通 300人患流感，若每轮传染中平均每人传染 话次数S之间的关系用如图模型表示： 的人数相同，则第一轮传染后患流感的人数 M.M, M M 为() M A.9 B.27 C.33 D.30 MM,M.M,MM,MM. M.M. n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 2.如果两个连续偶数的积为168，那么这两个 =1 S=3 S=6 S=10 S=? 数的和等于() 【问题解决】 A.26 B.26或-26 (1)填写如图中第5个图中S的值 C.27或-26 D.-26 为 3.(2022保定定州期中)在一次聚会上，规定 (2)通过探索发现，通电话次数S与该班级 每两个人见面必须握手，且只握手1次。 人数n之间的关系式为S=mm。1山，则当n (1)若参加聚会的人数为6，则共握手 2 次；若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则 =50时，对应的S= 共握手 次 (3)若该班全体女生相互之间共通话190 (2)若参加聚会的人共握手45次.请求出参 次，求该班共有多少名女生？ 加聚会的人数. 【问题拓展】 (4)若该班数学兴趣小组的同学，每两位同 学之间互发一条微信问候，小明统计全组共 发送微信110条，则该班数学兴趣小组的人 数是 21(2),关于x的方程x2十2x+m一2=0有两个不相等的实 (2)225+225×(14-5)+[225+225×(14-5)]×(14- 数根， 5-5) ,'.△=22-4(m-2)=-4m+12>0, =225+2025+2250×4 m<3. =11250(人). ,m为正整数， 答：再过两天共有11250人患有此病. .m=1,2. 4.B5.D6.B7.C 8.解：(1)根据题意，得△=(2m十1)2-4(m2-2)≥0， 8.解：设有x名学生参加了乒兵球赛，则 解得m心-号m的最小基数值为-2。 2x(x-1)=15X3, (2)根据题意，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2=m2一2， 解得x1=10,x2=一9（不符合实际，舍去）. (x1-x2)2十m2=21, 答：共有10名学生参加了乒乓球赛. .(1十x2)2-4x1x2+m2=21, 9.C ∴.(2m十1)2-4(m2-2)+m2=21, 10.6810 整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=一6， 11.解：这个两位数是62. m≥-9 m的值为2. 【综合演练·应用提升】 1.D2.B 9.(1)证明：，△=(k十2)2一8k=(k一2)2≥0， k取任何实数值，方程总有实数根。 3.解：(1)15 2n(n-1)(2)参加聚会的人数为10. (2)解：，Rt△ABC的斜边长a=3, 4.解：(1)15 .∴.a2=b+c2,即9=(b+c)2-2bc. (2)S=n(n-1 ,b,c是方程x2一(k+2)x十2k=0的两个根， 2 .当n=50时，代入得S=1225.故答聚为：1225. ∴.b十c=k+2,bc=2k, (3)设该班共有女生x名，根据题意， .9=(k+2)2-2×2k,解得=±√5. 得(x。1)=190, 当k=一√5时，b十c=2一√5（不合题意，舍去）， 2 当k=√5时，b+c=2+√5. 解得x1=20,x2=-19(不符合题意，舍去)， 故△ABC的周长为a+b+c=5+√5. 答：该班共有20名女生. (4)设该班数学兴趣小组有m人，根据题意， 21.3实际问题与一元二次方程 得m(m-1)=110, 第1课时用一元二次方程解决传播问题 解得=11,2=-10（不符合题意，舍去）， 【知识梳理·自主学习】 故答案为11. 1.(1+x)(1+x)22.x(x-D 2 第2课时用一元二次方程解决平均变化率与利润问题 3.10x+y100x+10y+之x+2x+2 【知识梳理·自主学习】 【知识要点·多维突破】 1.(1)a(1+x)(2)a(1+x)2 1.D2.B 2.(1)进价(4)销售量 3.解：(1)设每人一天传染了x人，依题意有： 【知识要点·多维突破】 1+x+(1+x)×x=225, 1.B2.D3.10% (1+x)2=225, 4.解：设该商品每次降价的百分率为x, ,1+x>0, 根据题意，得60(1一x)2=48.6, .1+x=15, 解得x1=0.1,x2=1.9(舍去) x=14. 答：该商品每次降价的百分率是10%. 答：每人一天传染了14人. 5.C6.5 —156